第 03 讲 映射与函数

第 3 讲 映射与函数
（第课时）
对应⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫图像法解析法（公式法）列表法表示法值域对应法则定义域三要素近代定义（映射）传统定义（对应）定义两个数集之间的映射函数一般映射映射一对一多对一一对多)( 对应、映射与一一映射这三者之间的关系：
重点：1．映射的概念；2．函数的概念；3．函数的表示法。

难点：1．求有特殊要求的映射的个数；2．对函数概念的正确理解。

2．函数的概念可能以小题的形式出现，也可能以大题的形式出现。

参看上面的映射关系图。

⑴ 对应: 若有两个集合A 和B ，有一种关系f ，能使对A 中每一个元素都确定出B 中的一个或几个元素，那么就说f 是一种对应关系，或者说f 使对A 中每一个元素，B 中都有一个或几个元素与之对应。

⑵ 映射: 若有两个集合A 和B ，如果按照某种对应法则f ，使A 中每一个元素在B 中都有唯一的一个元素与之对应，那么这种关系叫做从A 到B 的映射。

记为 f :A →B 。

A 中元素a 所对应的B 中元素b 叫做a 的像，a 叫做b 的原像。

理解映射概念要注意四点:
①映射含有对应法则f 以及两个集合 ②映射具有方向性
即映射中的两个集合是有顺序的，即f :A →B 和 f :B →A 不是一回事。

③剩余元素
不允许A 中有剩余元素，但允许B 中有剩余元素（即任何一个元素在B 中都可以找到唯一的像。

而B 中的元素可以没有原像，也可以有一个或多个原像。

）
④一对多不是映射。

⑶ 一一映射: 对于映射f :A →B ，若A 中元素在B 中有不同的像，而且B 中每一个元素都有原像，那么这个映射就叫做A 到B 上的一一映射。

理解一一映射概念要注意三点: ①一一映射的对应关系是一对一。

②B 中任一元素都必须有原像。

③一一映射与一一对应不是一回事。

例如，A 是实数集，B 是数轴上的点集，我们说实数与数轴上的点一一对应有两方面的含义，一是任给一个实数，在数轴上可以找到一点与之对应，即 1f :A →B ；二是任给数轴上一点，可以找到一个实数与之对应，即 2f :B →A ；故一一对应是由两个互为逆映射的一一映射构成的。

⑷ 逆映射: 设有一个映射 f :A →B ，如果使B 中每一个元素在A 中都有原像与之对
应，这样得到的映射就叫做映射 f :A →B 的逆映射，记为 1
-f :B →A 。

例如,映射f :X →Y 使Y 中的元素12+=x y 与X 中的元素x 对应。

那么其逆映射为
1
-f
:Y →X 使X 中的元素2
1
-=
y x 与Y 中的元素y 对应。

理解逆映射概念要注意两点: ①只有一一映射才有逆映射。

②求逆映射的对应法则时，原像集合与像集合都不得扩大或缩小。

例．若A ={1，2，3，4，5} ，B ={1，3，7，15，31}，则符合f :A →B 的f 是 (A) f :x →12+-x x ； (B) f :x →3)1(-+x x ； (C) f :x →12
1
--x ； (D) f :x →12-x 。

分析:先看(A)，当4=x 时，B x x ∉=+-1312，故排除(A)。

次看(B)，当3=x 时，B x x ∉=-+17)1(3 ，故排除(B)。

再看(C)，当1=x 时，B x ∉=--0121 ，故排除(C)。

最后看(D)，当54321、、、、=x 时，311573112、、、、=-x ，都属于B ，故应选(D)。

例．在映射f :S →T 中，下列判断正确的是
(A) S 中的任何一个元素在T 中都有像，但不一定唯一； (B) T 中的元素在S 中可能有多个原像，也可能没有原像； (C) 集合S 和T 一定是数集；
(D) 记号f :S →T 与f :T →S 的含义是相同的。

分析：(A)中的对应是一对多，不是映射，故排除；(B)正确；(C)是错的，故排除；(D)是错的，因为映射中的两个集合是有序的。

2．函数的概念
⑴ 函数：一个非空数集到另一个非空数集的映射叫做函数。

记为 )(x f y =。

理解函数概念时注意三点：
①函数的三要素为：对应法则、定义域和值域。

②f :A →B 中，前面一个集合是定义域，后面一个集合是值域，“f ”应理解为对应法则；
③A 、B 是非空数集。

例．下列对应是否为从A 到B 的映射？能否构成函数？
① R A =，R B =，f :1
1
+=→x y x ；
② {}N n n a a A ∈==,2| ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈==N n n b b B ,1| ，f :a b a 1=→ ；
③ A ={平面α内的矩形}，B ={平面α内的圆}，f :作矩形的外接圆。

解：① 一个对应要是映射，必须这个对应f 的原像集合中不能有剩余元素，但这里的原像集合x 中有剩余元素-1（即当1-=x 时，y 不存在），所以这个对应不是映射。

② A 、B 两集合即 A ={2，4，6……}，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧= ,41,31,21,11B ，由对应法则 a b a 1=→
可知，这个对应是映射；又A 、B 为非空数集，所以这个映射是函数。

③ 这个对应是映射，但A 、B 不是数集，所以这个映射不是函数。

例．设 x
x f 2)(= ，x x g 8log )(2= ，求满足 )]([)]([x f g x g f =的x 。

解：2)8(log
8log
28log
)8(2
2
2
)]([2
2
2
2
x x g f x x
x
==== ，
)3(2)2(log )3(2log )28(log )]([22322+=+==∙=+x x x f g x x ，
解)3(2)8(2
+=x x 得 643851±-=
x ，由)(x g 可知0>x ，∴ 64
385
1+-=x 。

点评：对函数 )(x f y = 中的“f ”应理解为对应法则，而这一法则是可以反复使用的，
在使用时要注意函数符号与函数值符号的区别。

⑵ 函数的表示法：列表法，解析式法，图像法。

⑶ 常用函数：正比例函数，反正比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数，常数函数（c y =，c 为常数）。

⑷ 判断两个函数是否同一函数
要判断两个函数是否同一函数，只要看它们的定义域和对应法则是否都相同。

例．判断函数 2x y =
和 x y = 是否同一函数？
解：二者定义域相同，但对应法则不同，前者的对应法则为 x y = ，后者的对应法则为
x y = ，所以2x y =
和 x y = 不是同一函数。

例．判断函数 2x y =
和 x y = 是否同一函数？
二者定义域相同，对应法则表面不同，但实际上是一回事，所以2x y = 和 x y = 是同
一函数。

点评：同一函数，其对应法则有时可能有不同的表现形式。

例．判断函数 )
1(1
--=
x x x y 和 x y 1= 是否同一函数。

解：二者对应法则相同，但定义域不同，前者的定义域为 0≠x 且 1≠x ，但后者为0≠x ，
所以二者不是同一函数。

3．分段函数与复合函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可以各用各的对应法则，这种形式的函数叫做分段函数。

处理分段函数的问题，需要用到分类讨论的思想，同时要注意其中局部与整体的关系。

如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即)(u f y = ，)(x g u = ，那么)]([x g f y =叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是)(x g 的值域。

例．已知 ⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>+=)
0(0)0()
0(1)(2x x x x x f π
，求 )]}1([{-f f f 。

分析：)(x f 是一个分段函数，)]}1([{-f f f 表示复合函数)]}([{x f f f 当1-=x 时的函数值。

解： 0)1(=-f ，π==-)0()]1([f f f ，1)()]}1([{2+==-ππf f f f 。

解题错误：写1()2-=x f 。

B ＝R ，对应法则是“取平方根”；②A ＝{矩形},B ＝R ＋
，对应法则是“求矩形的面积”；③A ＝{非负实数}，B ＝（0，1），对应法则是“平方后与1的和的倒数”，其中从A 到B 的对应中是映射的是 （ ）。

A . ② ；
B . ②③ ；
C . ①②③ ；
D . ①② 。

2．
已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2
（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是 （ ）
A . 16 ；
B . ±16 ；
C . 2 ；
D . ±2 。

3．下列几图中，不可能是函数)(x f y =的图像是 （ ） 4．给出如下三个等式：①)()()(y f x f y x f +=+；②)()()(y f x f xy f +=；③)()()(y f x f xy f ∙=；则不满足其中任何一个等式的函数是 （ ）
A . 2x ；
B . x 3 ；
C . x lg ；
D . x sin 。

5．给出函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)
4()1()
4()21()(x x f x x f x
，则 =)3(log 2f （ ）
A . 823- ；
B . 111 ；
C . 191 ；
D . 24
1。

6．判断下列各对函数是否同一函数：
⑴ 3x y = 和 x y lg 3= ； ⑵ 2
x y = 和 x y lg 2= 。

7．已知定义域为R 的函数满足 )()()(b f a f b a f ∙=+ ，（a ，b ∈R ），且 0)(>x f ，若 21
)1(=f ，求)2(-f 。

8﹡．函数)(x f 对一切实数x 均有 )(y x f +-)(y f =x y x )12(++ 成立，且0)1(=f ，求⑴)0(f 的值；⑵ 当x x f a log 2)(<+ ，)2
1,0(∈x 恒成立时，求a 的取值范围。

9﹡．设 2)(+=x x f ，13)(+=x x g ，求：⑴ )]([x f g ；⑵ 又当 )()]}([{x f x f g h =成立时，求)(x h 。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 DS 22 01 映射与函数 映射的判断 √ 象和原象的概念 √ 一一映射
逆映射 函数的定义 √ 函数的三要素 √ √ √ 函数的表示法
√ 判断两个函数是否同一函数 √ 分段函数 √ 复合函数 √
1．有下列三个对应：①A ＝R ＋
，B ＝R ，对应法则是“取平方根”；②A ＝{矩形},B ＝R ＋
，对应法则是“求矩形的面积”；③A ＝{非负实数}，B ＝（0，1），对应法则是“平方后与1的和的倒数”，其中从A 到B 的对应中是映射的是 （ ）。

A . ② ；
B . ②③ ；
C . ①②③ ；
D . ①② 。

解：A 。

点评：考查映射的概念。

2．已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2
（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是 （ ）
A . 16 ；
B . ±16 ；
C . 2 ；
D . ±2 。

解：D 。

点评：考查象和原象的概念。

3．下列几图中，不可能是函数)(x f y =的图像是 （ ） 解：答案D 中的对应y x →是一对多，所以它不是映射，故它不是函数。

点评：考查函数的定义。

4．给出如下三个等式：①)()()(y f x f y x f +=+；②)()()(y f x f xy f +=；③)()()(y f x f xy f ∙=；则不满足其中任何一个等式的函数是 （ ）
A . 2x ；
B . x 3 ；
C . x lg ；
D . x sin 。

解：2x 满足③；x 3满足①；x lg 满足②，故应选D 。

点评：考查函数的三要素。

5．给出函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)
4()1()
4()21()(x x f x x f x
，则 =)3(log 2f （ ）
A . 823-
； B . 111 ； C . 191 ； D . 24
1。

解：24
1
)21()24(log )3log 3()3log 1()3(log 24log 22222===+==+=f f f f ，故应选D 。

点评：考查分段函数。

6．判断下列各对函数是否同一函数：
⑴ 3x y = 和 x y lg 3= ； ⑵ 2x y = 和 x y lg 2= 。

解：（略）⑴是，⑵不是。

点评：考查同一函数的判别。

7．已知定义域为R 的函数满足 )()()(b f a f b a f ∙=+ ，（a ，b ∈R ），且 0)(>x f ，若 2
1
)1(=
f ，求)2(-f 。

解：令 0==b a ，代入 )()()(b f a f b a f ∙=+ 得 )0()0()0(f f f ∙= ， ∵ 0)(>x f ，∴ 两边同时除以)0(f 得 1)0(=f ，
又 4
1
2121)1()1()11()2(=∙=
∙=+=f f f f ， )2()2()22()0(-∙=-=f f f f ， 把1)0(=f 和 4
1
)2(=f 代入上式可得 4)2(1)2(==
-f f 。

点评：本题使用。

8﹡．函数)(x f 对一切实数x 均有 )(y x f +-)(y f =x y x )12(++ 成立，且0)1(=f ，求⑴)0(f 的值；⑵ 当x x f a log 2)(<+ ，)2
1,0(∈x 恒成立时，求a 的取值范围。

解：⑴ 令 1=x ，0=y ，代入 )(y x f +-)(y f =x y x )12(++ 得 2)0()1(=-f f ， ∵ 0)1(=f ，∴ 2)0(-=f 。

⑵ ∵ 2)0(-=f ，即 )0(2f -= ，∴ )0()(2)(f x f x f -=+，
根据 )(y x f +-)(y f =x y x )12(++ 可得 x x f x f )1()0()0(+=-+ ， ∴ x x x f )1(2)(+=+，
∵ )21,0(∈x ，∴ )4
3,0(2)(∈+x f ，
根据对数函数的性质，当 1>a 且 )2
1
,0(∈x 时，0log ≤x a ，故x x f a
l
o g 2)(<+不可能，
又根据对数的定义有 1≠a ，
∴ 1444321log 103
<≤⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<a a a 。

9﹡．设 2)(+=x x f ，13)(+=x x g ，求：⑴ )]([x f g ；⑵ 又当 )()]}([{x f x f g h =成立时，求)(x h 。

解：⑴ 731)2(3)2()]([+=++=+=x x x g x f g 。

⑵ ∵ )(x f 是一次的，故可设 b ax x h +=)( ， 由于 2)(+=x x f ，)()]}([{x f x f g h = ，
∴ 2)]}([{+=x x f g h ，即 2)73(+=++x b x a ，即 273+=++x b a ax ， 比较两边系数得 13=a ，27=+b a ，即 31=a ，31-=b ，∴ 3
1
31)(-=x x h 。

点评：考查复合函数。