(江苏专用)2019高考数学二轮复习 第二篇 第10练 三角恒等变换与解三角形试题 理

第10练 三角恒等变换与解三角形
[明晰考情] 1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.
(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.
1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6.
(1)求角B 的大小；
(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b
sin B
，可得
b sin A ＝a sin B .
又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，
即sin B ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3
.
(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π
3，
得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝217.
因为a ＜c ，所以cos A ＝27
7.
因此sin2A ＝2sin A cos A ＝43
7
，
cos2A ＝2cos 2
A －1＝17
.
所以sin(2A －B )＝sin2A cos B －cos2A sin B ＝
437×12－17×32＝33
14
. 2.已知在△ABC 中，AC cos C ＝BC ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM . (1)证明：△ABC 是直角三角形； (2)若AC ＝6CM ＝6，求sin∠ACM 的值.
(1)证明 记BC ＝a ，AC ＝b ，因为AC cos C ＝BC ，
故cos C ＝BC AC ＝a b ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
，
故a 2
＋c 2
＝b 2
，故B ＝90°，故△ABC 是直角三角形. (2)解 因为∠ACM ＝∠BCM ，
故cos∠BCA ＝cos 2∠BCM ＝2cos 2
∠BCM －1， 即a 6＝2a 2
－1，解得a ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－23舍去，
故cos∠BCM ＝cos∠ACM ＝3
4，
则sin∠ACM ＝
74
. 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知BA →·BC →
＝2，cos B ＝13，b ＝3，
求：
(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.
解 (1)由BA →·BC →
＝2，得ca cos B ＝2. ∵cos B ＝1
3，
∴ac ＝6.
由余弦定理得，a 2
＋c 2
＝b 2
＋2ac cos B . ∵b ＝3，
∴a 2
＋c 2
＝9＋2×2＝13. 联立⎩⎪⎨
⎪
⎧
ac ＝6，a 2
＋c 2
＝13，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，c ＝3
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，c ＝2.
∵a ＞c ， ∴a ＝3，c ＝2.
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2
B ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132 ＝22
3
. 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42
9
.
∵a ＝b ＞c ， ∴C 为锐角， ∴cos C ＝1－sin 2
C ＝
1－⎝
⎛⎭⎪⎫4292＝7
9
， ∴cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 考点二 三角形的面积问题 方法技巧 三角形面积的求解策略
(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.
4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 2
3sin A .
(1)求sin B sin C ；
(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长. 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a
2
3sin A ，
即12c sin B ＝a
3sin A
. 由正弦定理，得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，
故sin B sin C ＝2
3
.
(2)由题设及(1)，得cos B cos C －sin B sin C ＝－1
2
，
即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π
3.
由题意得12bc sin A ＝a
2
3sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.
由余弦定理，得b 2
＋c 2－bc ＝9，
即(b ＋c )2
－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.
5.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且(2a ＋
c )sin B tan C ＋b sin C tan B ＝0.
(1)求B ；
(2)若a ＝2c ，b ＝2，求△ABC 的面积.
解 (1)由题意知(2a ＋c )sin B tan C ＋b sin C tan B ＝0， 所以2a ＋c cos C ＋b
cos B
＝0，
由正弦定理得2sin A ＋sin C cos C ＋sin B
cos B ＝0，
整理得2sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin A ＝0，又sin A ≠0， 所以cos B ＝－12，B ＝2
3π.
(2)当a ＝2c 时，
由余弦定理得4＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝7c 2
， 所以c ＝277，a ＝47
7
，
所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×87×32＝2
7
3.
6.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足：sin A －sin B ＋sin C sin C ＝sin B
sin A ＋sin B －sin C .
(1)求角A ；
(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值. 解 (1)设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 根据sin A －sin B ＋sin C sin C ＝sin B
sin A ＋sin B －sin C ，
可得
a －
b ＋
c c ＝b a ＋b －c
，化简得a 2＝b 2＋c 2－bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2
，
又因为0<A <π，所以A ＝π
3
.
(2)由正弦定理得a sin A ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)，所以a ＝2R sin A ＝2sin π
3
＝3，
所以3＝b 2
＋c 2
－bc ≥2bc －bc ＝bc ，
所以S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝33
4(当且仅当b ＝c 时取等号).
考点三 解三角形的综合问题
方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.
(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.
(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.
7.已知函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos x －3，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.
(1)求f (x )的最大值、最小值；
(2)CD 为△ABC 的内角平分线，已知AC ＝f (x )max ，
BC ＝f (x )min ，CD ＝22，求C .
解 (1)f (x )＝12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos x －3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6cos x －3
＝63sin x cos x ＋6cos 2
x －3 ＝33sin2x ＋3cos2x ＝6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上是减函数， 又f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝3 3. ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝6，f (x )min ＝f (0)＝3. (2)在△ADC 中，AD sin
C 2
＝AC
sin∠ADC ，
在△BDC 中，BD sin
C 2＝BC
sin∠BDC ，
∵sin∠ADC ＝sin∠BDC ，AC ＝6，BC ＝3，
∴AD ＝2BD .在△BCD 中，BD 2
＝CD 2
＋BC 2
－2CD ·BC ·cos C 2＝17－122cos C
2，
在△ACD 中，AD 2
＝AC 2
＋CD 2－2AC ·CD ·cos C 2＝44－242cos C
2，又AD 2＝4BD 2
，
∴44－242cos C 2＝68－482cos C
2
，
∴cos C 2＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π
2
.
8.已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1)，函数f (x )的图象关于直
线x ＝π对称.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝1
4
，求△ABC 面积的最大值.
解 (1)f (x )＝12－12cos2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3 ＝12cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos2ωx
＝－14cos2ωx ＋34sin2ωx ＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2ωx －π6.
令2ωx －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π3ω＋k π
2ω，k ∈Z .
∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π
2ω，k ∈Z .
令
π3ω＋k π
2ω
＝π，k ∈Z ， 解得ω＝2＋3k
6
，k ∈Z .
∵12＜ω＜1，∴取k ＝1，ω＝56， ∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53
x －π6.
∴f (x )的最小正周期T ＝2π53
＝6π
5.
(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1
4，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1
2.
又0<A <π，∴A ＝π
3
.
由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝1
2
，
∴b 2
＋c 2
＝bc ＋1≥2bc ，当且仅当b ＝c 时，等号成立. ∴bc ≤1.
∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3
4，
∴△ABC 面积的最大值是
3
4
. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n . (1)求角B 的大小；
(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.
解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，
又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝1
2，又0<B <π，
所以B ＝π
3
.
(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2
－ac ，即1＋3ac
＝(a ＋c )2
.
又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.
从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值3
4.
设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝3
6
.
例 (14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；
(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图
向量m ∥n ―→边角关系式―――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式―――→余弦定理求得角B ―――→引进变量
(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，
所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0， 1分
由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0， 即a 2
＋c 2
－b 2
＝ac .
3分
由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12
.
因为B ∈(0，π)，所以B ＝π
3
.
6分
(2)设∠BAD ＝θ，
则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.
由正弦定理及AD ＝3，有
BD
sin θ
＝AB
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－θ＝
3
sin
π3＝2，
所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，
所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，
10分
从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.
由θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，
所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π
3
时，
a ＋2c 取得最大值4 3.
12分
此时a ＝23，c ＝3，
所以此时S △ABC ＝12ac sin B ＝33
2.
14分
构建答题模板
[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.
[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的等价性与合理性.
1.在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－1
7.
(1)求A ；
(2)求AC 边上的高.
解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－1
7，
所以sin B ＝1－cos 2
B ＝43
7
. 由正弦定理得sin A ＝
a sin B
b ＝3
2
. 由题设知π2＜B ＜π，所以0＜A ＜π2，所以A ＝π
3.
(2)在△ABC 中，
因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33
14，
所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝33
2
.
2.(2018·全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin∠A ＝AB
sin∠ADB ，
即
5sin45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB ＝2
5
.
由题意知，∠ADB ＜90°， 所以cos∠ADB ＝1－sin 2
∠ADB ＝
1－225＝23
5
. (2)由题意及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝
2
5
. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2
＝BD 2
＋DC 2
－2BD ·DC ·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×2
5
＝25， 所以BC ＝5.
3.已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，1，n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫3sin x 4，cos 2
x
4，设函数f (x )＝m ·n .
(1)求函数f (x )的单调增区间；
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求f (B )的取值范围.
解 (1)f (x )＝m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，cos 2x 4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋1
2
，
令2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π
3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z .
(2)由b 2
＝ac 可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1
2
(当且仅当a ＝c 时取等号)，
所以0<B ≤π3，π6<B 2＋π6≤π3，1<f (B )≤3＋1
2，
综上，f (B )的取值范围为⎝ ⎛
⎦
⎥⎤
1，
3＋12. 4.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD 内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，且∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1km.
11 /
11
(1)求BC 的长；
(2)野生动物貂熊的活动区ABECD 的面积约为多少？(3≈1.732，结果保留两位小数) 解 (1)在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理BC sin∠CEB ＝CE
sin∠CBE ， 得BC ＝CE sin∠CBE ·sin∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝2(km). (2)依题意知，在Rt△ACD 中，
AC ＝DC ·tan∠ADC ＝1×tan 60°＝3(km)，
又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24
， sin 15°＝sin(60°－45°)＝6－24
， 所以活动区ABECD 的面积S ＝S △ACD ＋S △ABC ＋S △BCE ＝12×AC ×CD ＋12×AC ×CB ×sin 15°＋12
×BC ×CE ×sin 105°＝12×3×1＋12×3×2×6－24＋12×2×1×6＋24＝1＋32
≈1.87(km 2
)，
故野生动物貂熊的活动区ABECD 的面积约为1.87 km 2.。