D22求导法则86000 共26页

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(2) (uv)uvuv
证: 设 f(x ) u (x )v (x ),则有
f(x)lim f(xh)f(x) liu m (x h )v (x h ) u (x )v (x )
h 0
h
h 0
h
hl im 0u(xhh)u(
第二节/第三节
第二章
函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
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思路:
f(x)limf(xx)f(x) ( 构造性定义 )
x 0
x
本节内容
(C) 0
(sinx)coxs 证明中利用了
(lnx) 1
两个重要极限
x
求导法则
其它基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
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一、四则运算求导法则
定理1. 函u 数 u(x)及 vv(x)都x在 具有导 u(x)及v(x)的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
( 1 )[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
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内容小结
求导公式及求导法则
注意: 1)
(u)vuv,

u v


u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
1.
1 x
x




1 x
3
4

3 4

1 x



cos2 x sin2x cos2 x
se2cx
(csxc)
1 sin
x


(sixn) sin 2 x

co xs sin 2 x
cx s cc x ot
类似可证: (cxo) tcs2xc, (sx )e s ce xtc a x.n
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x a

1 x ln
a
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例1. yx(x 3 4 co x ss1 i)n ,求 y及 yx1.
解: y ( x ) (x34cox ssi1n )
x (x34cox ssi1n )
1(x34co x ssi1)nx(3x2 4sixn) 2x
3. 复合函数求导法则
yf(u),u(x)

u v

uv uv v2
(v 0)
说明: 最基本的公式 (C) 0
d y d y d u f(u)(x)
dx d u dx
(sinx) coxs
(lnx) 1
x
4. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
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例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
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例4. 求下列导数: (1)(x); (2)(xx);
解: (1)
(x)(elnx)elnx (lnx) x
x
x1
(2) (xx)(exlnx)exlnx(xlnx) xx (lnx1)
例5. 设 ylncoesx)(, 求 d y . dx
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0时必 y 有 0, 因此
f(x)limy lim x0x y0
1
x y

1 [f 1(y)]
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例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 yarcsxi,n则 xsin y, y(, ),
2) 设 yax(a0,a 1 ),则 x lo a y ,y g (0 , )
(ax) 1 (loga y)
1
1
ylnaaxlna
y ln a
特别当 ae时, (ex)ex
小结:
(arcxs)in
1 1
x
2
(arcxt)an 1
1
x
2
(ax)axlna
y
x1

1 2
( 1 4co1ssin1) (34si1n )
77si1n2co1s 22
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(3)

u
v
uvv2uv
证:
设
f
(x)
uv
( (
x x
) )
,
则有
u(x
f(x)lim f(xh)f(x)limv( x

h) h)
解: y(esin x2 cosx2 2x)arcx t2a 1n
esixn2( 1 x
2
2
1
2x )
x2 1
2xcos x2 esin x2arctanx2 1

1
esin x2
x x2 1
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
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例9. 设 y1arct1axn21ln1x21,求 y .
x)
v(xh)u(
x)
v(xh)v(x) h
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) 故结论成立.
推论: 1) (Cu)C u ( C为常数 )
2) (uvw)u v w u v w u v w
3 ) (loax g ) llnn
备用题 1. 设 ycot x tan2 , 求 y .
2
x
解： y csc 2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )

u(x) v(x)
h 0
h
h 0
h
h l i0 m u(xhh) u(x)vv((x x ) h u)v (x()x)v(xhh)v(x)

u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
解:
dy dx

1 cos( e x )
(sine(x)) e x
extanex()
例6. 设 yln (xx21),求 y.
解:
y x
1 1
x2 1
2
1 2x
x2 1
1 x2 1
四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数
(C) 0
(arccx)os 1
1 x2
(arccox)t
1
1 x
2
(ex) ex
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三、复合函数求导法则
定理3. ug(x)在点 x 可导, y f (u)在点 ug(x)
可导
复合函数 y f [g (x)]在点 x 可导, 且
dyf(u)g(x) dx 证: yf(u)在点 u 可导, 故 limy f(u)
二、反函数的求导法则
定理2. 设 yf(x)为 xf1(y)的反 ,f函 1(y)在 数
y 的某邻域内单调可导, 且 [f1(y)]0
f
( x)

[f
1 1(y)]
或d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x0,由反函数的单调性知
y f( x x ) f( x ) 0, y x
(x ) x1
(sixn)coxs
(cox)ssixn
(taxn)sec2 x
(cox)tcs2cx
(sexc)sextcaxn (csxc)csxcoxt
(ax ) ax lna
(ex ) e x
(loaxg)x
1 ln
a
(arcxs)in 1
1 4
对吗?

3 4

1 x
14

1 x2
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2. 设 f(x ) (x a )(x ),其中(x) 在 xa处连续,
在求 f (a) 时, 下列做法是否正确?
因 f ( x ) ( x ) ( x a ) ( x )
h 0
h
li[m u (x h ) v (x h )] [u (x ) v (x )]
h 0
h
lim u(xh)u(x) limv(xh)v(x)
h0
h
h0
h
u(x)v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
例 ,(u 如 v w ) u v w
且导数仍为初等函数
用求导法则推出.
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例7. 设 yxaaaxaaax(a0)求, y . 解: y aaxaa1axa lna a x a1
aax lnaax ln a
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例8. yesixn2arctxa2 n1,求 y .
故 f(a)(a)
正确解法:
f(a)lim f(x)f(a)lim(xa)(x)
x a xa xa xa
lim(x) (a) xa
阅读 L.P 51 例1
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3. 求下列函数的导数
(1) yab, x
(2) yax. b
u0u
y f( u ) u u（当 u0时0)
故有
x yf(u) u x u x( x0 )uy f(u)
dy dx
lxi m0xylxi m 0f (u)uxuxf(u)g(x)
22 coy s0, 则
(arcsxi)n
1 (siny)

1 cos
y

1 1sin2 y
1 1 x2
(arcxc) o?s 1 1 x2
利a用rccxosarcsxin
2
类似可求得
(arctxa)n11x2 , (arccx)ot11x2
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(3) u v((x x)) u(x)v(x v)2 (x u )(x)v(x) (v(x)0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
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(1 )(uv)uv
证: 设 f(x)u(x)v(x), 则
f(x)lim f(xh)f(x)
解: (1)
y

b

ห้องสมุดไป่ตู้
a

b1



x
a x2



a bb x b1
(2)
y a x ln b
a b
(x) b x ln a
a b
或 y b x b x ln b
a a a
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2
4 1x21
解: y 1
1
x
2 1 ( 1 x2 )2 1 x 2
1 1 x 1 x
4 1 x2 1 1 x 2 1 x2 1 1 x 2
1 2
x 1 x2

1 2 x2

1 x2


1
(2xx3) l1nx1 2(x21)ln1 (x21)
1 x2
(lnx) 1
x
(arccx)os 1
1 x2
(arcxt)an
1
1
x
2
(acrc ox)t
1
1 x
2
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2. 有限次四则运算的求导法则
(uv) uv
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uvuv
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f( u ) ,u ( v ) ,v ( x )
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv d x
f( u )( v ) (x )
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.