近世代数学习报告

中国地质大学（武汉）近世代数学习报告
课程名称：近世代数
学号： ***********
**：***
学院：数理学院
专业：数学与应用数学
对近世代数的重要性的认识
抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。

抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。

由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。

抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。

抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。

被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。

他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学。

他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。

伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。

他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。

伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。

最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。

本学期学习总结
第一章基本概念
1、集合的幂集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为或2A。

（含n个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）
2、积（笛卡尔积）：A×B={（a，b）|aA，bB}叫A与B的积。

（A×B≠B×A）
3、A到B的对应法则为A到B的映射①②③，x的象在B中。

4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有个，一一映射共有n！个。

5、代数运算：一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算。

（o为A×B到D 的代数运算（a，b）A×B，ab有意义，且ab唯一，属于D）。

6、满射：y，设y=（x），求出x（x为y的函数），若x存在且xA，则为满射。

（中的每一个元素都有原象）；单射：a，bA，若a≠b，则a）≠b）。

（元素不同象不同）；一一映射：即单又满。

（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）
7、一个A到A的映射叫做A的一个变换；有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。

8、一个A 到的映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同态映射，假如满足：a,bA，a，b→则aob→（运算的象=象的运算）；A与同态A 与存在同态满射。

9、一个A 到的一一映射，叫做一个对于代数运算o和来说的，A 到的同构映射。

（同构映射的逆映射也是同构映射）。

10、若R为法则，若R满足a，bA，要么aRb，要么ab，唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A 的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足①反射律（aA，
有aa）②对称律③推移律
11、A 的一个分类即为A 的一些子集、、…满足：①=A.②=（i≠j）（不相交）。

（集合A 的元间的一个等价关系决定A的一个分类）
12、模n的同余关系（a≡b（n）读作a同余b模n）：若n∣（a-b）则a≡b（a与b 同除n后余数相同）。

若=则a≡b（n）即n|a-b。

第二章群论
1、群的定义：一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：
①乘法封闭。

②结合律成立。

③存在单位元。

④逆元存在。

2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得=e成立的最小正整数m，记为，若这样的m不存在，则说a是无限阶的。

（单位元的阶为1）
3、元素的阶的性质：①设a的阶为m，若=e则m∣n；②任何元素与它的逆元同阶；③设G为一个群，aG，若a的阶为2，则a=；④在一个有限群G中，阶大于2的元素的个数一定是偶数。

4、交换群：a，bG，ab=ba
5、若一个有乘法的有限集满足①乘法封闭；②结合律成立；③消去律成立（若ax=a，那么x=；若ya=a则y=）。

则必能做成一个群。

（无限集不适用）
6、群同态：假定G与对于它们的乘法来说同态，若G是群，那么也是一个群（具有相同的特性）。

但是反之却不成立。

7、设（G，·）和（，·）是两个群，如果存在G和的同态满射，则称G和同态，记为G～；如果存在G和的同构映射，则称G和同构，记为G≌。

8、A的一个变换就是一个A到A自己的映射。

9、一个集合A的所有一一变换作成一个变换群G。

（变换群是非交换群）；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，
10、任何一个群都同一个变换群同构。

11、一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。

（置换群的表示不唯一，置换群是非交换群）
12、一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群；n次对称群的阶是n！。

13、每一个有限群都与一个置换群同构。

14、循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。

（循环群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一个群）
15、假定G是一个由元a生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来决定：①a 的阶若是无限，那么G与整数加群同构；②a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n 的剩余类加群同构。

16、一个循环群一定是一个交换群。

17、设H为群G的非子集，如果H按G中的运算作成一个群，则称H为G 的一个子群，记为H≤G。

18、子群的判法：⑴定义法；⑵一个群G的一个非空子集H作成G的一个子群的充要条件是①乘法封闭；②逆元成立（aHH）；⑶充要条件是：a、bHaH；⑷充要条件是：a、bHaH。

19、群G中由等价关系a～baH决定G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用Ha表示。

20、群G中由等价关系a～′bH决定G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用aH表示。

21、一个子群H的右陪集个数和左陪集个数相等。

（一般的，a，Ha≠aH，a为单位元时才相等）
22、一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数，记为。

（陪集个数=H中元素个数）
23、子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。

24、一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN （指Na与aN这两个集合一样）。

25、一个交换群G的每一个子群H都是不变子群。

26、不变子群的判法：⑴定义法：a，有Na=aN；⑵a，aN=N；⑶a，n anN
27、一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群叫做一个商群，用G/N表示；=G/N 的阶。

（每一个不变子群都可产生一个商群）
28、一个群G同它的每一个商群G/N同态。

29、假定G与是两个群，并且G与同态，那么这个同态满射的核N是G的一个不变子群，并且G/N≌
30、一个群G和它的每一个商群同态；群的同态满射的核是一个不变子群。

心得体会
近世代数是一门比较抽象的学科，但作为数学专业的学生，它是我们必须要攻克的难关，只要方法得当，并认真去学，我相信，学好近世代数不是难事，I firmly believe that I can make it！。