新高一数学衔接课第十六讲-对数及其运算复习过程
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
高中数学 对数与对数运算课件(精品课件)
3
log9 92
3 2
（2） log 4 3 81
解法一：设 x
log4 3 81
则
x
43
x
81, 34
34 ,
解法二： log4 3 81 log4 3 ( 4 3)16 16
x3 2
x 16
对数运算性质
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
理论证明：
1 loga(MN)= logaM +logaN
例如： log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10
(6)底数a的取值范围： (0,1) (1, )
真数N的取值范围： (0, )
讲解范例
例2 将下列对数式写成指数式：
（1） log1 27 3
（2）
3
log5
1 125
3
13 27
3 53 1
125
（3） ln10 2.303
对数的概念及运算性质
定义： 一般地，如果 a a 0, a 1
的b次幂等于N, 就是 ab N ，那么数 b叫做
以a为底 N为真数的对数，记作 loga N b a叫做对数的底数，N叫做真数。
例如：
42 16
102 100
1
42 2
10 2 0.01
log4 16 2
log10 100 2
log4 2
3 31 log3 2
1 lg9
1002
解: 2 log2 3 log3 7 log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
高一数学对数及其运算教学
高一数学对数及其运算教学一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高一学生讲授数学中的对数及其运算。
对数是数学中一个重要的概念，它在解决复杂数学问题，尤其在自然科学、工程技术和经济学等领域有着广泛的应用。
通过本节课的学习，学生将掌握对数的定义、性质以及基本的对数运算，从而为后续学习指数函数、对数函数以及解决实际问题打下坚实基础。
2、教学对象本节课的教学对象是高中一年级的学生。
这一阶段的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了实数的基本概念和运算规则，但对于对数这一较为抽象的概念可能还感到陌生。
因此，在教学过程中，需要将抽象的概念具体化、形象化，帮助学生理解并掌握对数的本质及其运算方法。
同时，针对不同学生的认知水平和学习风格，采用多样化的教学策略，使全体学生能够积极参与，提高学习兴趣和效果。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解对数的定义，掌握对数的性质，能够准确区分自然对数与常用对数；（2）学会对数的运算方法，包括对数的加、减、乘、除以及幂运算，能够熟练进行对数计算；（3）了解对数在解决实际问题中的应用，例如在物理学、生物学、经济学等领域；（4）掌握对数函数的基本概念，为后续学习对数函数的性质和图像打下基础。
2、过程与方法（1）通过实际例子引出对数的概念，让学生在对数产生的背景中感受对数的意义；（2）采用师生互动、小组讨论的方式，引导学生发现并总结对数的性质和运算规律；（3）设计丰富的例题和练习，让学生在解决问题的过程中运用对数知识，培养分析问题和解决问题的能力；（4）利用数学软件或图形计算器等辅助工具，帮助学生直观地理解对数函数的图像和变化趋势。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习数学的热情；（2）鼓励学生主动参与课堂讨论，敢于提出问题，勇于挑战困难，形成积极向上的学习态度；（3）通过小组合作，培养学生团结协作、互相帮助的精神，增强集体荣誉感；（4）让学生体会数学在自然科学和社会科学中的应用价值，认识到学习数学的重要性，从而树立正确的价值观。
人教A版必修1对数与对数运算知识点总结与例题讲解
对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点(1)对数的概念.(2)对数式与指数式的互化.(3)对数的性质.(4)对数的运算性质.(5)对数的换底公式.知识点一对数的概念一般地，如果a =N (d>0且GHl),那么数X叫做以"为底N的对数，记作X = Iog41 N.其中"叫做对数的底数,N叫做真数.例如,因为16二4,所以］就是以16为底4的对数,记作log164 = -∙2 2对对数概念的理解：(1)底数d必须满足d>0且a≠∖∙,(2)真数N大于O (负数和O没有对数).规定底数"> O且(心1的原因：当"V O时,N取某些值时，X的值不存在.例如,log(.3)9 = 2,但IOg(_J) 27 却不存在.当Q = O时：①若N≠0,则X的值不存在；②若/V = 0,则A-的值是任意正数.(注意:0的负指数弄和0次胳都没有意义)当G = I时：①若N≠∖,则X的值不存在；②若N = I,则X的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数“ > 0且a≠∖.常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作IgN ;将以无理数e (ea 2.71828…)为底的对数叫做自然对数,记作InN.根据对数概念,可以求參数的取值范围例1.求下列各式中X的取值范围.(1)IOg oS(X-3); (2) IOg(X.n(2-x).分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足:(1)底数。
>0且a≠∖i(2)真数∕V>0.解：(1) ⅛题意可知:x-3>0,解之得:x>3.∙∙∙x的取值范圉是(3,乜)；x-l>O(2)由题意可知:«Λ--1 ≠1 ,W-之得:l<x<2.2-x>0・・・x的取值范围是(1,2).例2.求下列对数式中X的取值范围.(1)IOg2(5 - x); (2) 1Ogz 3.解：(1)由题意可知:5-x>0,解之得:x<5..∙∙x的取值范圉是(-s,5);(2)由题意可知:『7>°,解之得：兀<2且心1.2-x ≠ 1■・・・x的取值范围是(-叫1)U(1,2).例3.使IOg U(X+ 1) (“> O且a≠∖)有意义的尤的取值范围是【】(A) [-l,-κ≈c)(B) (-1,S(C) [O,-KX)) (D) (O,-KX))解:由题意可知:x+l>0,解之得:x>-l.・・・x的取值范围是(-1,1).选择【B】. 例4.求IOg lA_3>(4-x)中X的取值范围. 解:山题意可知：x - 3 > O< x-3≠l ,解之得:3vxv4.4-x>0∙∙∙x的取值范围是(3,4)∙例5•使右-log2Cv + 2)有意义的兀的取值范围是(A) [-2,2) (B) [-2,2](C) (-2,2) (D) (-2,2]解:由题意可知:<P^^Λ解之得:_2vx<2.x + 2>0・・・x的取值范围是(-2,2).i⅛择[C ].知识点二指数式与对数式的互化在I=N与X = IOg “ N中，gx、N是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式26 =64化为对数式为6 = Iog2 64.表达形式名称a X N指数式a x =N底数指数S对数式X = IOg a N底数对数Xft知识点三对数的性质(1)负数和O没有对数.⑵1的对数等于α即IOgJ = O仪>0且GH1).⑶ 底数的对数等于亿即logι√∕ = l (。
高中数学对数运算教案
高中数学对数运算教案
目标：学会对数的基本运算，能够灵活运用对数定律解决实际问题。
一、概念复习：
1. 对数和指数的基本概念；
2. 对数的性质：对数的乘法和除法定律、指数函数的性质；
3. 对数运算的基本步骤。
二、对数的基本运算：
1. 对数的加法和减法：
a. 对数的加法：log(a) + log(b) = log(ab)
b. 对数的减法：log(a) - log(b) = log(a/b)
2. 对数的乘法和除法：
a. 对数的乘法：log(a) * b = b * log(a)
b. 对数的除法：log(a) / b = log(a^1/b)
三、对数运算的应用：
1. 解决实际问题时，如何利用对数化简复杂的计算；
2. 使用对数定律简化计算过程，提高计算效率；
3. 练习题目训练学生对对数定律的熟练掌握和灵活运用。
四、实例演练：
1. 计算 log(2) + log(5) 的值；
2. 计算 log(8) - log(2) 的值；
3. 计算 log(3) * 4 的值；
4. 计算 log(64) / 3 的值。
五、课堂小结：
1. 总结对数的基本运算和定律；
2. 总结对数运算的实际应用；
3. 激励学生继续深入学习数学知识，提高数学运算能力。
六、作业布置：
1. 完成课堂练习题目；
2. 自主学习对数运算的相关知识，准确掌握对数的基本运算和应用。
以上是一份高中数学对数运算教案范本，希望对您有所帮助。
祝教学顺利！。
高一数学对数函数知识点
高一数学对数函数知识点一、对数函数的基本概念对数函数是数学中的一种基本函数，它与指数函数有着密切的关系。
在高一数学的学习中，对数函数的概念、性质和应用是重要的知识点。
对数函数可以定义为：如果a^b=c（其中a>0，且a≠1，b和c为实数），那么数b就称为以a为底c的对数，记作b=log_a c。
二、对数的运算法则对数的运算法则是解决对数问题的基础。
以下是几个基本的对数运算法则：1. 乘法变加法：log_a (xy) = log_a x + log_a y2. 除法变减法：log_a (x/y) = log_a x - log_a y3. 幂的对数：log_a (x^b) = b * log_a x4. 对数的换底公式：log_a x = log_c x / log_c a，其中c为新的底数。
掌握这些运算法则对于解决复杂的对数问题至关重要。
三、常用对数函数在高中数学中，最常用的对数函数是自然对数和常用对数。
1. 自然对数：以e（约等于2.71828）为底的对数称为自然对数，记作ln x。
自然对数在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作log x。
常用对数在科学计数法中经常被使用。
四、对数函数的图像和性质对数函数的图像和性质是理解对数函数行为的关键。
对数函数y=log_a x具有以下性质：1. 函数图像总是通过点(1,0)，因为任何底数的0次幂都等于1。
2. 对数函数是单调递增的，这意味着随着x的增加，y也会增加。
3. 当x>0时，函数有定义；当x<=0时，函数无定义。
4. 对数函数的图像是一条在y轴右侧的曲线，永远不会与x轴相交。
五、对数函数的应用对数函数在实际问题中有许多应用，例如：1. 复利计算：在金融领域，对数函数可以用来计算连续复利。
2. 地震强度：地震的强度常常用对数来表示，因为地震能量的增加与震级不是线性关系。
3. pH值计算：在化学中，pH值是衡量溶液酸碱度的指标，它是基于对数的计算。
(完整版)对数的运算总结及方法归纳的手册
(完整版)对数的运算总结及方法归纳的手册1. 对数的定义对数是数学中一种常见的运算方法。
给定一个正数 a 和一个大于 1 的正数 b，若 b 的某个幂等于 a，则称这个幂为 a 关于以 b 为底的对数。
常用记法为 logb(a)。
2. 对数运算规则对数运算涉及以下几个基本规则：2.1. 对数的乘法法则logb(a * c) = logb(a) + logb(c)2.2. 对数的除法法则logb(a / c) = logb(a) - logb(c)2.3. 对数的幂法法则logb(ac) = c * logb(a)2.4. 对数的换底法则logb(a) = logc(a) / logc(b)3. 对数运算方法3.1. 计算对数的步骤计算对数的步骤如下：1. 确定底数和真数；2. 应用对数运算规则计算结果。
3.2. 常用对数常用对数指以 10 为底的对数，记作 lg(a) 或 log10(a)。
常用对数的计算方法很简单，只需要将给定的数在对数表中查找对应的值即可。
3.3. 自然对数自然对数是以无理数 e（约等于2.）为底的对数，记作 ln(a)。
自然对数的计算方法可以通过级数展开或数学函数计算等多种方式。
4. 应用举例以下是一些对数运算的应用举例：1. 计算 log2(8) = 3；2. 计算 log3(27) = 3；3. 计算 ln(e^2) = 2。
对数运算在数学、物理、金融等领域中有广泛的应用，它能够帮助我们简化复杂的计算和问题求解过程。
以上是对数运算的简要总结及方法归纳，希望对您有所帮助！。
高中数学对数及对数的运算优秀课件
添加幻灯片小标题
[尝试解答] (1)∵3－2＝19，∴log319＝－2.
(2)∵14－2＝16，∴log
1 4
16＝－2.
(3)∵log
1 3
27＝－3，∴13－3＝27.
(4)∵log 64＝－6，∴( x)－6＝64. x
2
3.指数与对数的互化 添加幻灯片小标题
当 a＞0，a≠1 时，ax＝N⇔x＝
. 如：
∵23＝8，∴log28＝ ；∵25＝32，∴log232＝ .
4.对数的性质
(1)loga1＝ ；
(2)logaa＝ ；
(3)
和 没有对数．
5.对数恒等式
alogaN＝N(a>0，且 a≠1，N>0)．
[典例精析]
添加幻灯片小标题
求下列各式中 x 的值．
(1)logx27＝32； (3)x＝log2719；
2.2对数函数
对数与对数的运算
01 对数的概念
03 对数的运算性质
CATALOG
02 对数的性质及应用 04 换底公式
1
添加幻灯片小标题
ax b 已知a, x,求b 幂运算 已知b, x,求a 开方运算 已知a,b,求x ??运算
添加幻灯片小标题
1.定义
一般的，如果 aa 0, a 1
3
添加幻灯片小标题
6 .
[典例精析]
添加幻灯片小标题
求下列各式的值：
(1)log2(47×25)；
5
(2)lg
100；
(3)lg 14－2 lg 73＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
对数的概念及运算法则 ppt课件
（1）54 625 log5 625 4
（2） 26 1 64
（3） 3a 27
log 2
1 64
6
log3 27 a
（4）
1
m
5.73
log1 5.73 m
3
3
ppt课件
6
例2： a x N loga N x
感
悟 数
(2) log0.51= 0
学 (3) ln1= 0
你发现了什 么?
“1”的对数等于零,即loga1=o
ppt课件
15
探 求下列各式的值：
究
活
动 感
(1) log33= 1
悟 数
(2) log0.30.3= 1
学
(3) lne= 1
你发现了什 么?
底数的对数等于“1”,即logaa=1
ppt课件
1 2
1
1
27 3
1
3
11 log27 3 3
ppt课件
9
课堂练习
2 将下列对数式写成指数式：
（1） log3 9 2 （2） log5 125 3
32 9 53 125
1 （3） log 2 4 2
（4）
log
3
1 81
4
22 1 4
16
探 求下列各式的值：
究
活
动 ( 1 ) l o g3 34 4
感
悟 数 学
(2) log0.90.92 2
(3) ln e8 8
对数的运算法则及公式推导过程
对数的运算法则及公式推导过程1. 引言：对数，神秘的数学小精灵说到对数，很多人可能一脸懵，甚至有些人会说：“这是什么鬼？”其实，对数在数学中可是个大角色，像个神秘的小精灵，虽然它的名字听起来高大上，但一旦你了解了它的本领，真的会觉得它挺可爱的。
简单来说，对数就是用来处理指数运算的。
你想象一下，指数就像是个狂奔的小马，而对数呢，就是那位骑士，帮你把这个小马的速度给控制住。
哎，听起来是不是有点玄乎？别着急，咱慢慢来，把它搞明白。
2. 对数的基本概念2.1 对数的定义首先，咱们得搞清楚什么是对数。
对数是问：“多少次的乘法能得到一个数？”比如说，(2^3 = 8)，那我们就可以说，(log_2(8) = 3)。
在这里，2是底数，8是被对数，3就是指数。
其实，这就像在问，“我要把2这个小伙伴重复叫几次，才能把它变成8？”有意思吧？2.2 常用对数说到对数，还有一种“常用对数”，它的底数是10。
这就好比在我们的日常生活中，常常用到的那个“十”，比如说我们买东西的时候，价钱总是和10有关系，几块钱几毛的。
所以，(log_{10(100) = 2)就是在告诉我们，10这个小家伙要重复叫两次，才能变成100。
3. 对数的运算法则3.1 加法法则好啦，咱们开始讲对数的运算法则。
第一个法则就是加法法则，这个法则可好用啦！它告诉我们，当你要计算两个对数的和时，可以把它们的底数相乘。
比如说，(log_b(m) + log_b(n) = log_b(m times n))。
举个简单的例子，假如你有(log_2(4))和(log_2(8))，那么你可以把它们合起来，得到(log_2(32))（因为4乘以8等于32）。
这个法则真是方便，简直像是个快速通道，让你一瞬间就能得到答案。
3.2 减法法则接着，咱们聊聊减法法则。
这个法则和加法法则有点像，但稍微复杂一点。
它告诉我们，如果要计算一个对数减去另一个对数，就可以把它们的底数相除。
高一数学人必修教学课件对数及其运算
若方程中底数不同，可先将底数 化为相同，再应用上述方法求解
。
若方程中含有多个项，可先将方 程化为单一项的形式，再应用上
述方法求解。
指数不等式求解技巧
对于形如 $a^x > N$（$a > 1$，$N > 0$）或 $a^x < N$（$0 < a < 1$ ，$N > 0$）的不等式，可直接利用 指数函数的单调性求解。
04 幂函数与对数函 数综合应用
幂函数定义及图像特征
幂函数定义
形如y=x^a（a为常数）的函数，即 以底数为自变量，幂为因变量，指数 为常量的函数称为幂函数。
图像特征
幂函数的图像经过原点，且当a>0时 ，图像在第一象限内向上凸；当a<0 时，图像在第一象限内向下凹。随着a 的增大，图像逐渐变得陡峭。
高一数学人必修教学课件对 数及其运算
汇报人：XX 20XX-01-21
contents
目录
• 对数概念及性质 • 指数与对数关系 • 对数运算及应用 • 幂函数与对数函数综合应用 • 三角函数与对数函数交汇点 • 总结回顾与拓展延伸
01 对数概念及性质
对数定义与表示方法
对数的定义
如果$a^x=N（a>0，a≠1）$， 那么$x$叫做以$a$为底$N$的对 数，记作$x=log_a N$。
对数函数性质
01
回顾对数函数的基本性质，如定义域、值域、单调性等。
三角函数与对数函数的联系
02
理解三角函数与对数函数之间的联系，如通过换元法将三角函
数表达式转化为对数函数形式。
典型题型解析
03
针对三角函数与对数函数结合的典型题型进行深入分析，总结
高中数学暑假初高衔接讲义 对数
练习主题 对数已知1个细胞经过x 次分裂后，相应的细胞个数为y=x 2. 由此，若知道了分裂的次数x ，就能求出分裂后相应的细胞数y. 反过来，若知道了分裂后相应的细胞数y ，怎样求出分裂的次数x 呢?知识点一：对数的概念如果ba =N （a ＞0，a ≠1），那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作N a log =b ，其中，a 叫作对数的底数，N 叫作真数.由对数的定义可知，ba =N 与b=N a log 两个等式所表示的是a 、b 、N 这3个量之间的同一个关系，例如：32=9 9log 3=2， 2log 4=21214=2例1、将下列指数式改写成对数式： （1）24=16； （2）3-3=271； （3）5a=20； （4）b 21）（=0.45例2、将下列对数式改写成指数式： （1）125log 5=3； （2）3log 31=-2； （3）a log 10=-1.699例3、求下列各式的值：（1）64log 2； （2）27log 9； （3）4log 55； （4）33log 3通常将以10为底的对数称为常用对数，如2log 10，12log 10等.为了方便起见，对数N 10log 简记为N lg ，如2lg ，21lg 等.在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，这种对数称为自然对数.e=2.71828…是一个无理数.正数N 的自然对数N e log 一般简记为N ln ，如2log e ,15log e 分别记为2ln ，51ln 等.对应练习：1、将下列指数式改写成对数式： （1）35=243； （2）2-8=2561； （3）2x=10； （4）x 51）（=122、将下列对数式改写成指数式： （1）4log 21=-4； （2）00001lg =4； （3）a lg =0.4771； （4）21ln =b3、求下列各式的值：（1）64log 4； （2）7log 7； （3）81log 2；（4）9log 31； （5）0001lg ； （6）2e 1ln为什么规定a ＞0，a ≠1呢?1、若a ＜0,则当N 为某些值时，b 的值不存在.如b=8log 2-）（不存在. 2、若a=0，则（1）当N ≠0时，b 的值不存在.如3log 0(可理解为0的多少次幂是3)不存在.（2）当N=0时，b 可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即0log 0有无数个值.3、若a=1，则（1）当N ≠1时，b 的值不存在.如3log 1不存在；（2）当N=1时，b 可以为任意实数，是不唯一的，即1log 1有无数个值.因此规定a ＞0，a ≠1.例4、在对数式b=a -5log 2-a ）（中，实数a 的取值范围是 .巩固练习：1、N b log =a （b ＞0，b ≠1，N ＞0）对应的指数式是（ ）A.a b=N B.b a=N C.N a =b D.Nb =a2、若x log a =1，则（ ）A.x=1B.a=1C.x=aD.x=10 3、若）（1-x 2log 55=25，则x 的值等于（ ）A.10B.13C.100D.±100 4、（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ）A.0e =1与1ln =0 B.9log 3=2与219=3 C.31-8=21与21log 8=31- D.7log 7=1与17=7 5、若2log a =m ，3log a =n ，则nm 2a+= .6、已知a4=2， x lg =a ，则x= .7、计算：161log e ln 5log 282532+⨯= . 8、使式子）（）（x -2log 1-2x 有意义的x 的取值范围是 .知识点二：对数的运算我们知道，指数幂运算有下列性质：ts t s aa a +=， t s aa =t -s a ， t t tb a ab =）（根据对数的定义，有：N a log =b ba =N （a ＞0，a ≠1，N ＞0）那么，对数运算也有相应的性质吗？设：M=s a ，N=t a ，于是MN=ts t s aa a +=由对数的定义得：M a log =s ，N a log =t ， ）（MN a log =s+t ， 因此：）（MN a log =M a log +N a log 一般地，我们可以得到如下的对数运算性质：）（MN a log =M a log +N a log ， NMalog =M a log -N a log n a log M =n M a log其中a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R. 例1、求下列各式的值：（1））（53242log ⨯； （2）125log 5； （3）2lg +5lg ； （4）45log 3-5log 3（5）005lg +58lg 25lg 2lg 5064lg 21-）（+⨯+； （6）22lg 2）（+2lg ·5lg ；例2、已知2 lg ≈0.3010，3 lg ≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数）（1）21 lg ； （2）1627lg ； （3）45lg对应练习：1、求下列各式的值：（1））（279log 3⨯； （2））（252184log ⨯； （3）9log -27log 3131；2、已知2 lg ≈0.3010，3 lg ≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数） （1）81 lg ； （2）27 lg ； （3）43lg ； （4）51 lg .3、设2 lg =a ，3 lg =b ，试着用a 、b 表示下列各对数：（1）081 lg ； （2）2518lg知识点三：换底公式alog log log c c a NN =，其中a ＞0，a ≠1，N ＞0，c ＞0，c ≠1. 特别提醒（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明.（3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数. 几个常用的推论：（1）c log a ·a log c =1，次公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数； （2）b log a ·c log b ·a log c =1；（3）n a b log m =b log m na ，次公式表示底数变为原来的m 次方，真数变为原来的n 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍.例1、求下列各式的值：（1）9log 8×32log 3； （2）31log 5·6log 3·251log 6对应练习：1、3log 6×6log 9= .2、计算：2log 3log -3log 2log -3log 2log 3223223）（+= .3、若31log 5·6log 3·x log 6=2，则x= .巩固练习：1、（多选）以下运算错误的是（ ）A.2 lg ×3 lg =6 lgB.22 lg ）（=4 lg C.2 lg +3 lg =5 lg D.4 lg -2 lg =2 lg 2、已知a ＞0且a ≠1，则21log 2log aa +=（ ） A.0 B.21C.1D.2 3、化简2112log 6-22log 6的结果为（ ） A.26 B.212 C.3log 6 D.21 4、（多选）下列运算错误的是（ ）A.102log 51+25.02log 51=2 B.27log 4·8log 25·5log 9=98C.2 lg +05 lg =10D.45-2log -3-2log 2232=+）（）（）（ 5、若 x lg =a ，y lg =b ，则210y lg -x lg ⎪⎭⎫⎝⎛的值是（ ）A.21a-2b-2 B.21a-2b+1 C.21a-2b-1 D.21a-2b+2 6、计算：（1）1-21-2 lg 225 lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+； （2）4 lg5 lg 2 lg 22++）（）（·5 lg （3）21245lg 8lg 34-4932lg +； （4）5 lg 8 lg 3225 lg ++·22 lg 02 lg ）（+。
新高一数学衔接课第十六讲-对数及其运算
新高一数学衔接课第十六讲-对数及其运算(总10页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第十六讲 对数及其运算 知识要点：1、对数式定义：若b a N =，则log a b N = (010)a a N >≠>且，； 例如：328=，23log 8=；2、由对数定义导出几个对数恒等式： ①log b a a b = (01)a a >≠且； ②log a N a N =(01)a a >≠且；③log a a =_____； log 1a =_____注意：等量代换思想的应用.3、对数运算法则：①log log log ()a a a M N M N +=⋅，(010,0)a a M N >≠>>且，； 证明：设log a m M =，log a n N =， 则m a M =，n a N =，又m n m n a a a M N +⋅==⋅， ∴log ()a m n M N +=⋅，∴log log log ()a a a M N M N +=⋅.②log log log a a a MM N N-=；③log log (0,1,0,0)m n a a nb b a a b m m=>≠>≠证明：先证log log n a a b n b =.令log a t b =，则t b a =，故log log ()log n t n a a a b a nt n b ===； 设log m n a b s =，则：()m s n a b =，ms n a b =， ∴ log log n a a ms b n b ==，∴log a ns b m=,∴log log (0,1,0,0)m n a a nb b a a b m m=>≠>≠④换底公式：log log (0,0,0)log b a b NN a b N a=>>>,a b 均不等于1；证明：设log a p N =，log b q N =，log b t a =，则p N a =，q N b =，t a b =，∴p q a b =，∴()t p q b b =，∴pt q =，qp t=，∴log log log b a b N N a =.4、对数相关结论：①若1(0,0)mn m n =>>，则log log 0a a m n +=(01)a a >≠且；若log log 0a a m n +=(01,0,0)a a m n >≠>>且,则1mn =； ②log log log (0,0,0)a b a b c c a b c ⋅=>>>，,,a b c 均不等于1； log log a b b a ⋅=______ ；③若1(0,0,1,1)ab a b a b =>>≠≠，则log a b =______总结对数及其运算： 一个定义：两个重要恒等式：四条重要运算法则：两种特殊的对数（1）以10为底的对数叫做常用对数，记为10log N ，简记为lg N ；（2）以无理数 2.71828e =为底的对数叫做自然对数，并把自然对数log e N 简记为ln N .【典型例题】例1：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： （1）45625=； （2）12log 83=-；（3）121()164-=； （4）lg10003= .例2：使对数式(2)log (38)x x --+有意义的x 的取值范围是__________ .例3：求下列各式中x 的值 .（1）3log 272x =； （2）22log 3x =-； （3）3log (lg )1x = .例4：计算下列各式：（1）1324lg lg 8lg 2452493-+；（2）222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3++⋅+ .例5：给出下列四个式子（已知01a a >≠，，0x y >>；） ①()log log log a a a x y x y ⋅=+ ②()log log log a a a x y xy -= ③()log log aa xx y y=- ④log log log log a a a a xx y y-= 其中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个例6：()2log 2log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ． 1D ．4或1例7：计算：（1）()2lg 2lg 2lg50lg 25+⋅+； （2）(()22222lg5lg 2lg 21+-+例8：已知35a b c ==，且112ab+=，求c 的值．例9：（1）已知2510m n ==，求11m n +的值； （2）已知x ，y ，z 为正数，346xy z ==，2x py = . ①求p 的值；②求证：1112z x y-= .例10：（1）设83log 3log 5a b ==，，试用a b 、表示lg5．（2）已知189185a b ==，，试用a b ，表示36log 45的值．例11：已知732log [log (log )]0x =，那么12x-=（ ）A. 13B. 例12：已知(21)3x xf +=，则(4)f =（ ）A. 21log 53B. 21log 33C. 23D. 43例13：（1）设3436x y ==，求21x y+的值；（2）设lg 2a =，lg3b =，则5log 12=（ ） A. 21a b a ++ B. 21a b a ++ C. 21a b a +- D. 21a b a +-例14：设()()lg 12lg 12xF x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．当x 在什么区间时，()0F x ≥．例15：设11x y >>，，且2log 2log 30x y y x -+=， （1）证明：log 0x t y =>； （2）224T x y =-的最小值．例16：log -等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-※例17：设()0p q ∈+∞，，且满足()91216log log log p q p q ==+，求qp的值．例18：已知lg a ，lg b 是方程22410x x -+=的两个根， 求lg()(log log )a b ab b a ⋅+的值 .例19：已知lg()lg lg y x y x -=-，求()y f x =的解析式及定义域 .对数及其运算习题 A 组一、选择题1、242424log 2log 3log 4++=（ ）A. 1B. 2C. 24D. 122、已知函数1()lg 1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=（ ）A. bB. b -C. 1bD. 1b-3、已知函数2log ,0,()3,0,x x x f x x ≥⎧=⎨≤⎩，则1(())4f f 的值是（ ）A. 19B. 14C. 4D. 9 4、设函数1()()lg 1f x f x x=+，则(10)f =（ ）A. 1B. 1-C. 10D. 1105、已知lg lg(2)1x y -=，则xy的值为（ ）A. 2B. 5C. 10D. 20 二、填空题6、若(ln )34f x x =+，则(0)f =______ .7、计算：23231()(log 9)(log 4)8-+⋅=______ .8、151lg 2lg 2()22-+-=______ .9、32log 223666log 3log 12(log 2)27-⋅+-=______ . B 组一、选择题1、已知函数3log ,0,()2,0x x x f x x ≥⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A. 12B. 14C. 16D. 182、给出函数1(),4,()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(log 3)f =（ ） A. 124 B. 111 C. 238- D. 119 二、填空题3、若1a >，1b >，且lg()lg lg a b a b +=+，则11a b+=______ ；lg(1)lg(1)a b -+-=______ .三、解答题： 4、计算： （1）132103410.027()25631)7-----+-+-；（25、设1a >，若仅有一个常数c 使得方程log log a a x y c +=对任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈，求实数a 的值 .6、已知2()lg x f x ax b =+，(1)0f =，当0x >时，恒有1()()lg f x f x x-= .（1）求()f x 的解析式；（2）若方程()lg()f x m x =+的解集是∅，求实数m 的取值范围 .。
高中数学《对数及其运算》教案16新人教B版必修1
一、
教学目标
（一）情感态度与价值观目标：在解决对数问题的过程中，体会数学知识的严谨性，
每一个结论都是可以经过论证得到的。 认识到数学知识的连贯性， 和旁通性， 新旧知识有紧
密地联系，同时可以通过以前学过的知识来理解新知识。
（二）能力目标：培养学生观察图像利用图像性质解决问题的能力；
提高学生解决
3. 指数式与对数式的相互转化
ab N b log a N
练习：将指数式改写为对数式
练习：将对数式转化为指数式并检验正确性。
用心 爱心 专心
3
知识深化
a b N b loga N
y ax
(a 0且 a 1)
定
R
义
域
bR
值 (0,+ ) 域
特
(0,1)
殊 点
N0 a0 1
N0
log a 1 0
(1,a)
三、教学方式与手段
本次课程采取由以往知识逐渐引入的方式展开， 使学生在接受新知识的同时进行旧知识
的回顾与应用。 让学生接触归纳概括的思想， 并了解数学知识的严谨性与新旧知识联系的紧
密性。
四、教学过程
教学环节 回忆引入
教师活动
例 1：某种细胞分裂，每次每个细胞分裂为两 个，设 1 个细胞经过 x 次分裂后得到 y 个细 胞，求 y 关于 x 的函数关系式。
表格给学生展示。
ab N
指数底数
幂指数
幂值
b
对数
指数式 对数式
log a N 真数
对数底数
式子
名称
a bN
ab N
b log a N
先由教师指 导完成一个 例子， 再由学 生口答， 教师 板书，点评。
PPT教学课件对数及其运算
补充： （1）2Na2O2 + 2H2O = 4NaOH + O2
用带火星的木条插入试管观察现象： 带火星的木条复燃。
结论：有氧气产生。
滴加酚酞观察现象： 溶液先变红色，然后红色褪去。
结论：氢氧化钠溶液使酚酞变红；过氧化钠有 强氧化性，漂白作用使红色褪去。
1二、.金钠属的与化非学金性属质单：质的反应：
随堂 检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0
(B). log55=1与51=5.
1
(C).log 3 9 2与92 3
1
(D).27 3
1与log 3
27
1 3
1 3
解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
2.以7为底, 343 的对数等于()
（四）换底公式与自然对数
在求底数不是10 的对数时，可以根据对数的性质，
利用常用对数进行计算
换底公式：
证明:设log b
Nlo=gbxN， = lloo则 ggaaNb
bx =N
两边取以a为的对数，得
xloga b=loga N
所以
x= loga N loga b
即
logb N=
loga N loga b
(D).logaN=2
解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以
a为底N的对数,记作 logaN=2. ∴应选 D.
4. 若 logx 7 y z ,则( )
(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7•xz (D).y=z7x
课堂练习
1.将下列指数式写成对数式: 3.求下列各式的值:
初升高数学暑假衔接(人教版)第16讲 对数函数及其性质(学生版)
第16讲对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2．初步掌握对数函数的图象与性质；3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式；4．了解反函数的概念及它们的图象特点；一、对数函数的概念1、定义：函数y =log a x （0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域为()0,∞+．2、特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =.（2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =.二、对数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0当0＜x ＜1时，y ＞0；当x ＞1时，y ＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】当1a >时，图象呈上升趋势；当01a <<时，图象呈下降趋势；当1a >时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；01a <<时，a 越小，图象向右越靠近x 轴.三、判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如log (01)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较；2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等；3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。
考点一：对数函数概念及应用例1．下列函数是对数函数的是（）A ．()log 2a y x =B ．lg10xy =C ．()2log a y x x =+D ．ln y x=【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（）A ．()()1log m f x x -=（1m >，且2m ≠）B ．()3lg f x x=C ．()ln f x x=D ．()ln ef x x =+考点二：求对数型函数的定义域例2．函数()1lg f x x=的定义域为__________.【变式训练】函数()()22log 2f x x x =-的定义域为（）A ．(),0∞-B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 考点三：对数函数的图象判断例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【变式训练】如图是对数函数log a y x =的图象，已知a 5，53，45，18，则相应的1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是（）A ．18，45，535B 553，45，18C ．53545，18D 553，18，45考点四：对数函数过定点问题例4．若函数()log (2)7a f x x =-+(0a >，且)1a ≠的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为______．【变式训练】函数()()lg 213f x x =-+的图象过定点P ，则点P 的坐标是______.考点五：对数型函数的单调性判断例5．函数()20.5log 2y x x =--的单调递增区间为（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式训练】已知函数()2()ln 344f x x x =-++，则()f x 的单调增区间为_______.考点六：利用对数函数的性质比较大小例6．下列不等式错误的是（）A ．0.50.5log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5>C ．35log 10log 20>D ．πe log e log π>【变式训练】（多选）已知22log e,ln 2,log πa b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a>B ．a b>C ．c a>D ．a c>考点七：解简单的对数型不等式例7．不等式()3log 212x -≤的解集为（）A ．3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,52⎛⎤⎥⎝⎦C ．(],5∞-D ．7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【变式训练】已知21log log 2aa a <（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为____________.考点八：对数型函数的奇偶性判断例8．设函数3()lg 11xf x x+=+--，则下列函数中为奇函数的是（）A ．(2)1f x --B ．(2)1f x -+C ．(2)1f x +-D ．(2)1f x ++【变式训练】若函数())2log f x x a =--为奇函数，则a =____________．考点九：对数型函数的值域求解例9．函数2log y x =在[]1,2上的值域是（）A ．RB ．(－∞，1]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)【变式训练1】函数()()22log f x x x =-，[]2,5x ∈的值域为（）A ．[]21,2log 5+B ．[]1,2C ．[]22,log 10D ．[]22,1log 5+【变式训练2】函数())2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最小值为________．考点十：反函数的概念及应用例10．与函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于直线y x =对称的函数是（）A ．4xy =B ．4xy -=C ．14log y x=D ．4log y x=【变式训练】已知函数()f x 为2log y x =的反函数，则(4)f =__________．1．若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2221,0()log 1,0x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()()1f f =（）A ．－2B ．－1C ．1D ．23．下列函数中，既是偶函数又在()0+∞，上是增函数的是（）A ．()lg f x x=B ．()0.3xf x =C ．()3f x x=D ．()21f x x =4．当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（）A．B ．C ．D．5．图中曲线是对数函数log a y x =的图象，已知a43，35，110四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为()A 343，35，110B 343，110，35C ．43335，110D ．433110，356．若0.13a =，131log 2b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b<c<aD ．c b a<<7．函数()2)1lg(2e 2xf x x x =+--的定义域为___．8．函数log (27)2a y x =+-（0a >，且1a ≠）的图像一定经过的点是________．9．函数2log (1)(2)y x x =--的单调递减区间是____________.10．若点()2,4P 在函数lo ()g a f x x =的图像上，点(),16Q m 在()f x 的反函数图像上，则m =______.11．若110x <<，2(lg )a x =，2lg b x =，lg(lg )c x =，则a ，b ，c 的大小关系是_____.12．函数21e x y -=的反函数为__________．13．已知函数()f x 为定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的偶函数，当0x >时，()log a f x x =的图象过点(5,2)．（1）求a 的值：（2）求()f x 的解析式；（3）求不等式()4f x >的解集．14．已知函数()()()log 3log 3,0a a f x x x a =+-->且1a ≠.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）若0a >，指出函数的单调性，并求函数()f x 在区间[]0,1上的最大值.15．已知函数()log a f x x =过(2,1)-点．（1）求()f x 解析式；（2）若2()(45)g x f x x =-++，求()g x的值域．1．下列函数是对数函数的是()A ．2log y x =B ．ln(1)y x =+C ．log ex y =D ．log x y x=2．函数()f x =）A ．(]0,2B ．()0,2C ．()(]0,11,2 D ．()()0,11,2 3．函数()()log 352(0a f x x a =-+>且1)a ≠恒过定点（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()1,0D ．()1,24．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<5．函数22log (2)y x x =+≥的值域为（）A ．(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]6．已知0.3113211log 2log 32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则有（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c a b<<7．已知()f x 为对数函数，122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f=______．8．已知函数()f x 是函数x y a =(0a >且1)a ≠的反函数，且()f x 的图象过点()5,2，则=a _______.9．已知()()0.60.6log 2log 1x x +>-，则实数x 的取值范围是_______.10．函数()()1ln 102y x x =->的单调递增区间是________．11．函数()212log 617y x x =-+的值域是__________．12．比较下列各组中两个数的大小：（1） 1.2log 1.6， 1.2log 1.7；（2）23log 0.5，23log 0.6；（3）log 0.9a ，log 0.8a ．13．求下列函数的反函数．（1）13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）51y x =+；（3）2y x =（0x ≤）．14．已知函数42()lg(1)lg(1)2f x x x x x =-+++-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性．15．已知2a >，函数()y f x =的表达式为44()log (2)log ()f x x a x =---．（1）求()f x 的定义域；（2）当4a =时，求不等式(25)(3)f x f -≤的解集．。
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② loga x loga y loga xy ④ log a x loga y loga x log a y
其中正确的个数是（ ）
A． 0 个
B． 1 个
C． 2 个
D．3 个
例 6： 2log a M 2 N log a M log a N ，则 M 的值为（ ） N
设 logam bn s ，
则： (am )s bn ， ams bn ，
∴ ms log a bn nlog a b ，
n
∴s
loga b ,
m
∴log am bn
n log a b( a 0, a 1,b 0, m 0)
m
④换底公式： log a N log b N (a 0, b 0, N 0) a, b 均不等于 1； logb a
1
6、已知 f ( x) lg
， f (1) 0 ，当 x 0 时，恒有 f ( x) f ( ) lg x .
ax b
x
（1）求 f (x) 的解析式；
（2）若方程 f ( x) lg( m x) 的解集是 ，求实数 m的取值范围 .
10
11
；
3
（ 3） log3 (lg x) 1 .
例 4：计算下列各式：
1 32 4
（1） lg
lg 8 lg 245 ；
2 49 3
（2） lg 52
2 lg8
lg 5 lg 20 (lg 2) 2 .
3
4
例 5：给出下 列四个式子（已知 a 0 ，a 1 ， x y 0 ；）
① loga x loga y log a x y x
（1） 54 625 ；
（ 2） log1 8 3 ；
2
1
1 （3） ( )
2
4
16 ；
（ 4） lg1000 3 .
例 2：使对数式 log( x 2) ( 3x 8) 有意义的 x 的取值范围是 __________ .
例 3：求下列各式中 x 的值 .
3 （1） log x 27 ；
2
2
（ 2） log 2 x
② loga M
log a N
M log a ；
N
1
③ loga m bn
n log a b(a 0, a 1,b 0, m 0)
m
证明：先证 log a bn n loga b . 令 t log a b ，则 b at ，故 log a bn log a (at )n nt n log a b ；
10
5、已知 lg x lg(2 y) 1，则 x 的值为（
）
y
A. 2
B. 5
C. 10
二、填空题
D. 20
6、若 f (ln x) 3x 4 ，则 f (0) ______ .
2
7、计算：
1 ()
3
(log 2 9) (log 3 4)
______ .
8
8、 lg 5 2lg 2 ( 1) 1 ______ .
2
2
2
9、 log6 3 log6 12 (log 6 2)2 273 log 3 2 ______ .
B组
一、选择题
log3 x, x 0,
1
1、已知函数 f ( x)
，则 f ( f ( )) （ ）
2x , x 0
9
A. 1 2
B. 1 4
C. 1 6
D. 1 8
2、给出函数 f ( x)
( 1) x , x 4,
2
总结对数及其运算： 一个定义：
两个重要恒等式：
四条重要运算法则：
两种特殊的对数
（1）以 10 为底的对数叫做常用对数，记为 log10 N ，简记为 lg N ；
（2）以无理数 e 2.71828 为底的对数叫做自然对数，并把自然对数 ln N .
log e N 简记为
3
【典型例题】
例 1：将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
例 19：已知 lg( y x) lg y lg x ，求 y f ( x) 的解析式及定义域 .
对数及其运算习题
A组
一、选择题
1、 log 24 2 log 24 3 log 24 4 （ ）
A. 1
B. 2
C. 24
1 D.
2
1x
2、已知函数 f ( x) lg
，若 f (a) b ，则 f ( a) （ ）
7
例 16： log ( n 1 n) ( n 1 n ) 等于（
）
A． 1
B． 1
※例 17： 设 p ，q 0，
C． 2
D． 2
q 且满足 log9 p log12 q log16 p q ，求 的值．
p
例 18：已知 lg a ， lg b是方程 2x2 4x 1 0 的两个根， 求 lg(ab) (log a b log b a) 的值 .
A． 1 4
B． 4
C． 1
D．4 或 1
例 7：计算：
2
（1） lg2 lg2 lg50 lg25 ；
2
（2） 2 lg 2 lg 2 lg5
2
lg 2 lg2 1
例
8：已知
a
3
b
5
c ，且 1
1
2 ，求 c 的值．
ab
5
例
9：（ 1）已知
m
2
n
5
1 10 ，求
1 的值；
mn
（2）已知 x ， y ， z 为正数， 3x 4 y 6z ， 2 x py .
1
3
（1） 0.027 3
(
1 )
2
256 4
31
(2
1)0 ；
7
lg8 lg125 lg 2 lg5
（2）
.
lg 10 lg0.1
5、设 a 1 ，若仅有一个常数 c 使得方程 log a x loga y c 对任意的 x [a,2a] ，都 有 y [ a, a2 ] ，求实数 a 的值 .
2x
2a b A.
1a
a 2b B.
1a
a 2b C.
1a
2a b D.
1a
例 14：设 F x lg x 1 2lg x 1 ．当 x 在什么区间时， F x ≥ 0 ． 2
例 15：设 x 1 ，y 1，且 2log x y 2log y x 3 0 ， （1）证明： t log x y 0 ； （2） T x2 4y 2 的最小值．
注意：等量代换思想的应用 .
3、对数运算法则：
① loga M loga N log a (M N ) ， (a 0且a 1，M 0, N 0) ；
证明：设 m loga M ， n log a N ，
则 am M ， an N ，
又
mn
aa
mn
a
M N，
m n log a (M N ) ，
loga M loga N log a (M N ) .
2
，则 f (log 2 3) （ ）
f (x 1),x 4
1 A.
24
1 B.
11
23 C.
8
1 D.
19
二、填空题
9
3、若 a 1 ， b 1，且 lg( a b) lg a lg b ，则 1 1 ______ ； ab
lg( a 1) lg( b 1) ______ .
三、解答题：
4、计算：
1x
A. b
B. b
1 C.
b
1 D.
b
log2 x, x 0,
1
3、已知函数 f ( x)
3x , x 0,
，则 f ( f ( )) 的值是（ 4
）
8
1 A.
9
1 B.
4
C. 4
4、设函数 f (x) f (1 )lg x 1，则 f (10) （ x
A. 1
B. 1
C. 10
D. 9 ）
1 D.
1 A.
3
B.
3
6
C.
2
4
D.
3
9
例 12：已知 f (2 x 1)
x ，则 f (4) （
）
3
6
1 A. 3 log 2 5
1 B. 3 log 2 3
2 C.
3
4 D.
3
例
13 ：（
1）设
x
3
y
4
36 ，求 2
1 的值；
xy
（2）设 lg 2 a ， lg3 b ，则 log 5 12 （ ）
证明：设 p loga N ， q logb N ， t logb a ，
则 N a p ， N b q ， a bt ，∴a p b q ，∴(bt ) p bq ，
∴pt
q， p
q t ，∴log a N
log b N . log b a
4、对数相关结论：
①若 mn 1(m 0, n 0) ，则 log a m loga n 0 (a 0且a 1) ； 若 loga m log a n 0 (a 0且a 1,m 0, n 0) ,则 mn 1； ② loga b log b c loga c(a 0,b 0,c 0) ， a,b,c 均不等于 1； log a b logb a ______ ； ③若 ab 1(a 0, b 0, a 1,b 1) ，则 log a b ______