2016年春高中数学人教b版高二必修5同步练习：第3章_不等式_3.2_第2课时_word版含解析

第三章 3.2 第2课时
一、选择题
1．a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >c D ．a >c >b
[答案] C
[解析] ∵a 、c 均为正数，且a ≠c ， ∴a 2＋c 2>2ac ， 又∵a 2＋c 2＝2bc ， ∴2bc >2ac ，
∵c >0，∴b >a ，排除A 、B 、D ， 故选C ．
2．设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( ) A ．a 11＝b 11 B ．a 11>b 11 C ．a 11<b 11 D ．a 11≥b 11 [答案] D
[解析] ∵a n >0，b n >0，a 1＝b 1，a 21＝b 21，
∴a 11＝a 1＋a 212＝b 1＋b 21
2≥b 1b 21＝b 11，等号成立时，b 1＝b 21，即此时{a n }、{b n }均为常数列，故选D ．
3．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．24
5
B ．285
C ．5
D ．6 [答案] C
[解析] 本题考查了均值不等式的应用．
由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x 5y ＋12y 5x ＋95＋4
5≥2
3x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135
＝5，
当且仅当3x 5y ＝12y
5x
时，得到最小值5.
4．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )
A ．R A >R
B B ．R A ＝R B
C ．R A <R B
D ．不确定
[答案] A
[解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2
R 1＋R 2
，
R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝(R 1＋R 2)2－4R 1R 2
2(R 1＋R 2)
＝(R 1－R 2)2
2(R 1＋R 2)
>0，所以R A >R B ． 5．已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 [答案] B
[解析] ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0，
又lg a ＋lg b ＝6，∴lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝(62
)2＝9，故选B ．
6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，
且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件 [答案] B
[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800
x ≥2
x 8×800
x
＝20，当且仅当x ＝80等号成立．
二、填空题
7．已知2x ＋3
y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．
[答案] 6 [解析] 2x ＋3
y
≥2
6
xy
，∴26
xy
≤2，∴xy ≥6. 8．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案]
23
3
[解析] ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1. 又∵xy ≤(x ＋y 2)2
，
∴(x ＋y )2≤(x ＋y 2)2
＋1，
即3
4(x ＋y )2≤1. ∴(x ＋y )2≤4
3.
∴－233≤x ＋y ≤233.
∴x ＋y 的最大值为233.
三、解答题
9．已知a 、b 、c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． [解析] ∵a ＋b
2≤
a 2＋
b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b
2
＝
2
2
(a ＋b )(a ，b ∈R 等号在a ＝b 时成立)． 同理b 2＋c 2≥2
2
(b ＋c )(等号在b ＝c 时成立)． a 2＋c 2≥
2
2
(a ＋c )(等号在a ＝c 时成立)． 三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥
22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋2
2
(a ＋c ) ＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c 时成立)． 10．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： (a ＋1)2＋(b ＋1)2≥92.
[解析] ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≤2(a 2＋b 2)，
∴(a ＋1)＋(b ＋1)≤2(a ＋1)2＋2(b ＋1)2， 又∵a ＋b ＝1，
∴3≤2(a ＋1)2＋2(b ＋1)2， ∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥9
2
，
当且仅当a ＝b ＝1
2时，等号成立．
∴(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥9
2
.
一、选择题
1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d
y
，则有( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q
[答案] C
[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y
＝
ab ＋cd ＋adx y ＋bcy
x
≥ab ＋cd ＋2abcd
＝ab ＋cd ＝P .
2．已知x ≥5
2，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )
A ．最大值5
4
B ．最小值5
4
C ．最大值1
D ．最小值1
[答案] D
[解析] ∵x ≥5
2
，∴x －2＞0，
则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝12⎣⎡
⎦⎤(x －2)＋1(x －2)≥1，
等号在x －2＝1
x －2即x ＝3时成立．
3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xy
B ．2xy <x <x ＋y
2<y
C ．x <x ＋y 2<2xy <y
D ．x <2xy <x ＋y
2<y
[答案] D
[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1， ∴设y ＝34，x ＝1
4，
则
x ＋y 2＝12，2xy ＝38
. ∴x <2xy <x ＋y
2<y .
故选D ．
4．设a 、b 是正实数，给出以下不等式：
①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2
ab >2，其中恒成立的序号为( )
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
[答案] D
[解析] ∵a 、b ∈R ＋
时，a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，
∴
2ab
a ＋b
≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2
ab ≥22>2恒成立，故选D ．
二、填空题
5．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
[答案] 1 760
[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4
x m ，则总造价为：
y ＝480＋80×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4
x ≥480＋320×2
x ×4
x
＝1 760. 当且仅当x ＝4
x 即x ＝2时，y 取最小值1 760.
所以水池的最低总造价为1 760元．
6．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．
[答案] 3
[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AB 方程为x 3＋y
4＝1，
∵x ，y ∈R ＋
，∴1＝x 3＋y 4≥2
xy 12
， ∴xy ≤3. 三、解答题
7．若x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1
y )≥9.
[解析] 证法一：左边＝(1＋1x )(1＋1
y )
＝1＋1x ＋1y ＋1
xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy
＝1＋2xy ≥1＋2(x ＋y 2
)2
＝9＝右边．
当且仅当x ＝y ＝1
2时，等号成立．
证法二：∵x ＋y ＝1， ∴左边＝(1＋1x )(1＋1
y
)
＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋x
y )
＝5＋2(y x ＋x
y )≥5＋4＝9＝右边．
当且仅当x ＝y ＝1
2
时，等号成立．
8．已知a 、b 、c ∈R ＋
，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥a ＋b ＋c .
[解析] ∵a 、b 、c ∈R ＋
，a 2b ，b 2c ，c 2
a
均大于0，
又a 2
b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2
c ＋c ≥2b 2c
·c ＝2b ， c 2
a
＋a ≥2c 2a
·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2
a ＋a ≥2a ＋2
b ＋2
c ，
∴a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥a ＋b ＋c .。