2014年改版数字信号处理第二章-2-2

ROC ：R x1- z R x1
ROC ：R x2- z R x2
复卷积
1 z -1 ZT [x1 (n) x2 (n)] X 1 (v) X 2 ( ) v dv 2j c v ROC ：R x1- R x2- z R x1 R x2
c是v平面收敛域中一条闭合单围线。
单位脉冲响应h(n)：设系统初始状态为零，系统对 输入为单位采样序列 (n ) 的响应称为 h(n) 。 称 h(n) 的傅里叶变换： H (e j )

n
h ( n )e

jn
为系统的传输函数 (频率响应）。
称 h(n) 的Z变换：H ( z ) h(n) z n 为系统的系统函数。
单位圆上的Z变换就是序列的傅立叶变换。
2.5.2 序列特性对收敛域的影响
1. 有限长序列 整个Z平面均收敛
x (n ) n1 n n2 x(n) 其他 0
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
n n1
n2
由于是对有限项求和，所以除0和 两点是否收敛 与n1和n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。 *注意 左序列
2.6 利用z变换分析信号和系统的频域特性
2.5 序列的Z变换
连续信号 和系统
傅里叶变换
拉普拉斯变换
频域分析
复频域分析
时域离散 信号系统
傅里叶变换
Z变换
频域分析
复频域分析
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉氏变换在
连续时间系统中的作用一样， 它把描述离散系统的差
分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
n X ( z ) x ( n ) z 单边Z变换： n 0
c ( Rx , Rx )
2. *FT和ZT的关系
X ( z)
j
n


x(n) z
n
X (e ) X ( z )
j n
j
X (e )
n


z e j
x ( n )e
z = e jω表示在Z平面上 r =1的圆，该圆称为单位圆。
右序列
n1 0, n2 0 时， 0 z
n1 0, n2 0 时， 0 z
圆内域
环状域 圆外域
0 z 双边序列 n1 0, n2 0 时，
圆
外
域
n 1 n
2. 右序列
X ( z ) x ( n) z x ( n ) z x ( n) z n
2.长除法
X ( z ) ZT[ x(n)]
n
n x ( n ) z

Rx | z | Rx
该方法也称为幂级数法，它是指利用Z变换定义， 用长除的方法将X(z)写成幂级数形式，其系数就是序 列 x(n )。 该方法的缺点是在复杂的情况下，很难得到x(n) 的封闭解形式。
n
如果H(z)的收敛域包含单位圆， H (e j ) H ( z)
z e j
即：单位脉冲响应在单位圆上的Z变换就是系统的传 输函数。极点位置与h(n)形状的关系如图所示。
极点位置与h(n)形状的关系
j Im z
单位圆外增幅
单位圆内减幅
1
O
1
Re z
单位圆上等幅
2.6.2 用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
则：
*6. 终值定理 如果 x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个 一阶极点在z=1上，其他极点均在单位圆内，则：
lim x ( n ) lim ( z 1 ) X ( z ) n z 1
x() Re s[ X ( z ),1] ，如果在在单位圆上X(z)无极点，则 x ( ) 0
k 0
ak y(n k ) bk x(n k )
k 0
N
M
设x(n)是因果序列，已知初始条件y(-1), y(-2), …y(-N) 求移位序列的单边Z变换：
N 1 M

k 0
a k z k [Y ( z )
l k

y (l ) z l ] bk X ( z ) z k
*3.部分分式展开法
该方法适合于大多数单阶极点的序列。
X ( z) 注意是对 进行部分分式展开 z
§2.5.4 Z变换的性质和定理
1. 线性
2. 序列的移位
3. 乘以指数序列
4. 复序列取共轭
5. 初值定理 6. 终值定理 7. 序列时域卷积定理 8. 复卷积定理（序列相乘） 9. 帕斯维尔定理
Z变换的性质和定理
设 F ( z ) X ( z ) z n 1 在Z平面上有N个极点，在 收敛域内的封闭曲线c将Z平面上极点分成两部分：
c内极点N1个，c外极点N2个
则
Re sF ( z )，z Re sF ( z )，z
k 1 1k k 1 2k
N1
N2
成立条件：F(z)的分母阶次比分子阶次高二阶或以上。 定理说明：在满足辅助定理条件情况下，如果c内有多 阶极点，而 c外极点没有高阶的，可以改求 c圆外极点 留数之和，最后加一个负号。
注
（1）收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界。 （2）同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序 列是不同的。 （3）右序列收敛域必在某个圆之外，左序列收敛 域必在某个圆内。
§2.5.3 序列的逆Z变换
定义：
x(n) 1 n 1 X ( z ) z dz 2j c c ( Rx，Rx )
k 0
M
N
M
k k a Y ( z ) z b X ( z ) z k k k 0 k 0 k b z k k a z k k 0 k 0 N M
Y ( z)
X ( z) H ( z) X ( z)
y(n) z T [Y ( z )]
1
（2）求零输入响应、全响应
因果性：其单位脉冲响应h(n)一定满足： n<0 时，h(n)=0
其系统函数H(z)的收敛域 z r ，一定包含 稳定性：要求收敛域包含单位圆。
因果、稳定： *P59，例2.6.1
r z
0 r 1
即H(z)的极点集中在单位圆内
2.6.3 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性 系统函数表示为：
*2. 序列的移位
ZT[x(n)] X (z) ROC ：R
1
ZT[x(n n0 )] z n0 X ( z) ROC :R
x(n 1) z X ( z ) x(1) 2 1 x(n 2) z X ( z ) x(2) x(1) z
3. 乘以指数序列
ZT[x1 (n)] X 1 ( z ) ROC ：R1
ZT[x2 (n)] X 2 ( z)
ROC ：R 2
1. 线性 ZT[ax1 (n) bx2 (n)] aX1 ( z) bX2 ( z)
ROC ：R1 R 2
相加后Z变换的收敛域一般为两个序列原来收敛域的交 集，某些情况下个别零点和极点相互抵消后可能扩大收敛域。
留数法（残数法） 部分分式展开法 长除法

c是X(z)收敛域内一条 逆时针的闭合曲线
X ( z ) ZT[ x(n)]
n
x ( n) z
n
Rx | z | Rx
1.留数法
1 n 1 x(n) X ( z ) z dz 2j c c ( Rx , Rx )
ZT[x(n)] X ( z) ROC : R n z ZT[a x(n)] X ( ) ROC : a R a
4. 复序列取共轭
若
x(n) X (z) ROC : R
则：
x(n) X (z)
ROC : R 。
*5. 初值定理
如 果 x(n) 0
n0 （ 因 果 序 列 ） x(0) lim X ( z) z
如果 F ( z ) X ( z ) z n1 在围线c内的极点用 z k表示，
则有留数定理：
x(n)
1 2 j
n 1 n 1 X ( z ) z dz Re s [ X ( z ) z , zk ] c k
逆Z变换是围线C内所有的极点留数之和。
留数辅助定理
例2.5.6，*2.5.7，例6.3.3
k 0
N
M
在数字信号处理中，一般只研究系统的稳态响应，即 系统在加入输入序列之前是处在“零状态”下，也就是系
统的任何部分都没有预先赋予初值，无需考虑初始状态。 这是大多数系统的实际工作情况。 在求解给定初始条件的离散时间系统时，则应用单边Z 变换，求出系统的暂态解。
（1）求零状态响应
k 0
N
ak y(n k ) bk x(n k )
当
n1 0 时，没有第一项，所以收敛域为: z Rx
圆 内
域
3.左序列
X ( z)
n
n x ( n ) z
n2
n
n n x ( n ) z x ( n ) z n 1
0
n2
(1)当 n2 0 时， 0 z Rx 当n2>0时 第一项的收敛域为左序列,收敛域为 0 z Rx
0 1 1 H ( z ) iN A rN Az ( N M ) rN i 1 ai z (1 d r z ) ( z dr ) i 0 r 1 r 1
9. 帕斯维尔定理
x(n) X (e )
j
1 | x ( n ) | 2 n
2

X(e
-

j
) d
2
物理意义：时域的序列能量 = 频域的频谱能量
§2.5.5 利用Z变换解差分方程
N阶线性常系数差分方程
k 0
ak y(n k ) bk x(n k )
第二项有限长序列,收敛域为 将两个收敛域相与，得到收敛域为
(2)当 n2 0 时， 0 z Rx 如果n2<0，没有第二项，则收敛域为
0 z
0 z Rx 0 z Rx
环
状
域
4.双边序列
一个双边序列可以看成是一个左序列和一个右序列之和。
X ( z) X1 ( z )
n 1 n x ( n ) z X1 ( z ) X 2 ( z )
X 2 (z)
n n 0
x ( n) z n
z R x z R x-
n x ( n ) z
X(z)的收敛域为两个收敛域的公共部分。 如果 R x- R x ，其收敛域为 R x - z R x ，是一环状域。 如果 R x - R x ，则两个收敛域没有公共收敛域，即收敛域不存在。
*7.序列时域卷积和定理
ZT[x1 (n)] X1 ( z ) ROC:R1
ZT[x2 (n )] X 2 ( z )
ROC:R2
ZT[x1(n) x2(n)] X1(z) X 2(z)
8、Z域复卷积定理（序列相乘）
ROC : R1 R2
ZT[x1(n)] X1(z)
ZT[x2(n)] X 2(z)
由于是对有限项求和所以除0和两点是否收敛有限长序列整个z平面均收敛其z变换为252注意右序列圆外域左序列双边序列环状域第一项的收敛域为左序列收敛域为第二项有限长序列收敛域为一个双边序列可以看成是一个左序列和一个右序列之和
数字信号处理 Digital Signal Processing
2.5序列的z变换
n n1 n n1 n 0
(1)当 n1 1 时， R x z
第一个序列为有限长序列，其收敛域为 0 z 第二个序列为因果序列，其收敛域为 R x z 将两个收敛域相与，得到收敛域为 R x z (2)当 n1 0 时，z Rx

2.5.1 Z变换的定义 1. 定义
X ( z ) ZT[ x(n)]
存在条件：绝对可和
n
可小到0
可大到
x ( n) z
n

n
Rx | z | Rx
n
x(n) z

1 n 1 x(n) IZT[ X ( z )] X ( z ) z dz 2j c
k 0
考虑了初 始状态的 Z变换
Y ( z)

k 0 k 0 N
M
bk z k ak z k
X ( z)

k 0
N
ak z k y ( l ) z l
l k
1

k 0
N
ak z k
零输入解
零状态解
§2.6 利用z变换分析信号和系统的频域特性
2.6.1 频率响应函数（传输函数）与系统函数