数学(理)卷·2012届浙江杭州学军中学高三第二次月考(2011.10)

杭州学军中学
2011学年高三年级第2次月考
数学试题（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

） 1．已知集合M = {|ln(1)}x y x =-，集合{
}
R x e y y N x
∈==,| （e 为自然对数的底数），
则N M I =
（ ）
A ．}1|{<x x
B ．}1|{>x x
C ．}10|{<<x x
D ．∅
2．已知)23tan(
)sin()(απαπα--=f ，则31()3
f π
-的值为 （ ）
A ．1
2
-
B ．
1
2
C
D ．3．函数2
21()
2
x x y -=的值域为
（ ）
A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
D ．(]0,2
4．设()
()13.0log ,3.0,22
23.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是
（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
5．函数)cos lg(sin )(2
2
x x x f -=的定义域是
（ ）
A ．Z k k x k x ∈+<<-
}42432{π
πππ B ． Z k k x k x ∈+
<<+}4
5242{π
πππ C ．Z k k x k x ∈+<<-
}44{π
πππ
D ．Z k k x k x ∈+<<+}4
34{π
πππ
6．函数x x y 2sin )26
sin(
+-=π
的最小正周期是
（ ） A ．
4
π
B ．
2
π C ．π D ．π2
7．若函数
y =)1(log 2
+-ax x a 有最小值，则
a 的取值范围是
（ ） A ．0<a <1
B ． 0<a <2，a≠1
C ． 1<a <2
D ．a ≥2
8．若R x ∈、+∈N n ，定义：)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x Λ，例如：5
5-M =
（-5）（-4）（-3）（-2）（-1） =-120,则函数19
9)(-=x xM x f 的奇偶性为
（ ）
A ．是偶函数而不是奇函数
B ． 是奇函数而不是偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
9．定义在R 上的函数)(x f y =满足)()5(x f x f -=+，0)()2
5(/
>-x f x ，已知21x x <，
则)()(21x f x f >是521<+x x 的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不
必要
10．如果函数()f x x =+()0a >没有零点，则a
的取值范围为
（ ） A ．()0,1
B ．()0,1)
+∞
U
C ．()0,1()2,+∞U
D ．(()2,+∞U
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．已知,2
3
2,53)4cos(παππ
α<≤=+
则α2cos 的值是 ． 12．设曲线()a ax x f -=3
2在点(1,)a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值
为 ．
13．若函数)sin()(ϕω+=x x f （ϕ < 2
π
）的图象（部分）
如图所示，则)(x f 的解析式是 ．
14．已知函数x ax x x f 33
1)(23
++=
在（0，1）上不是单调函数，则实数a 的取值范围为
15．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意,(3)()x R f x f x ∈+=-有，若tan 2α=，
(15sin cos )f αα=则
16．当(1,2)x ∈时，不等式2
(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．
17． 设集合A （p ,q ）=2
{R |0}x x px q ∈++=,当实数,p q 取遍[]1,1-的所有值时，所有集合
A （p ,q ）的并集为 ．
18．（本小题满分14分）己知集合}2|1||{<-=x x A ，}12
32
|
{2
≥+-+=x x x x B ， }012|{2<-+=mx x x C
（1）求B A B A Y I ,；
（2） 若B A C Y ⊆，求m 的取值范围．
19．（本小题满分14分）把函数)0,0)(cos(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的图像上每一点的
横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移6
π
个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数)(x g ． （1） 求ϕω和的值；
（2）求函数)()()(2
x g x f x h -=的单调增区间．
20． （本小题满分14分）在ΔABC 中，已知角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且满足
b 2=ac
（1）求证：3
0π
≤
<B ；
（2）求函数B
B B
y cos sin 2sin 1++=的值域．
21．（本小题满分15分） 对于两个定义域相同的函数() ()f x g x 、，若存在实数 m n 、使()()()h x mf x ng x =+，则称函数()h x 是由“基函数() ()f x g x 、”生成的．
（1）若2()231h x x x =+-由函数2()f x x ax =+，()( 0)g x x b a b R ab =+∈≠、，且生成，求2a b +的取值范围；
（2）试利用“基函数4()log (41) ()1x f x g x x =+=-、”生成一个函数()h x ，使之满足下列条件：①是偶函数；②有最小值1；求()h x 的解析式．
22．（本小题满分15分）已知函数)(cos 2sin )(R b bx x x
x f ∈-+=
（1）是否存在实数b ，使得()f x 在2(0,)3π为增函数，2(,)3
π
π为减函数，若存在，求
出b 的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当0x ≥时，都有()0f x ≤恒成立，试求b 的取值范围．
参考答案
一、选择题 CBABD BCACC 二、填空题 11．2524
-
12．31 13．)(x f =)6
21sin(π
+x 14．)2,(--∞
15． 0 16．(]1,2 17．]2
5
1,251[++- 三、解答题
18．解：（1） )3,1(-=A ，B=][[)3,2()1,0B A ,4,2()1,0Y I Y =∴]4,1(-=B A Y
]0124,1(2
=-+∴-⊆mx x C 方程小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<-<-≤≤-≥+=≥-=-4411
431,0314)4(01)1(m m m f m f 解之得 19
函数)()()(2
x g x f x h -=的单调增区间为Z k k k ∈+-+-
)12
,127(ππ
ππ． 20．（1）∵≥-+=ac b c a B 2cos 222 ac b ac b ac 212222-=-,ac b =22
1cosB ≥∴,又∵),0(π∈B ,∴30π
≤<B ．
（2）)4sin(2cos sin )cos (sin 2π+=++=
B B B B B y ,12
744π
ππ≤+<B , 2)4sin(21 ≤+<πB ,∴y 的值域为
]2,1(;
21．（1）),27[]21,(+∞--∞Y （2） 2
1,1-==n m 22．
（1） ∴bx x
x
x f -+=
cos 2sin )(，b x x f -++=
'2cos)2(1cos 2)(， （1）若R b ∈∃，使)(x f 在（0，π32
）上递增，在（π3
2
，π）
上递减，则0)32(='πf ， ∴0=b ，这时2
)cos 2(cos 21)(x x x f ++=
'，当)3
2
,0(π∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 递增。

当),3
2
(ππ∈x 时0)(<'x f ，)(x f 递减。

（2）22
cos 2(12)cos 14()(2cos )b x b x b
f x x -+-+-'=+
△＝[
]
)31(4)41()21(42
b b b b -=-+- 若△0≤，即3
1
≥
b ，则0)(≤'x f 对0≥∀x 恒成立，这时)(x f 在[)+∞,0上递减，∴0)0()(=≤f x f 。

若0b <，则当0≥x 时，[0,)bx -∈+∞，
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+33,33cos 2sin x x ，
bx x
x
x f -+=
cos 2sin )(不可能恒小于等于0。

若0=b ，则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈+=
33,33cos 2sin )(x x x f 不合题意。

若310<
<b ，则03
31)0(>-='b f ，01)(<--='b f π， ∴),0(0π∈∃x ，使0)(0='x f ，
),0(0x x ∈时，0)(>'x f ，这时)(x f 递增，0)0()(=>f x f ，不合题意。

综上⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,31b 。

方法2。