高中物理必修三专题强化训练—电场线、等势面与电荷运动轨迹问及等分法的应用

高中物理必修三专题强化训练—电场线、等势面与电荷运动轨迹问及
等分法的应用
一、电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题
如图1所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为a M、a N，速度大小分别为v M、v N，电势能分别为E p M、E p N.下列判断正确的是()
图1
A.v M＜v N，a M＜a N
B.v M＜v N，φM＜φN
C.φM＜φN，E p M＜E p N
D.a M＜a N，E p M＜E p N
答案 D
解析由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，E p M<E p N；N点附近电
场线比M点密，故场强E M<E N，由加速度a＝Eq
m知a M<a N，粒子若从N点运动到
M点，静电力做正功，动能增加，故v M>v N，粒子若从M点运动到N点，静电力做负功，动能减小，故v M>v N.综上所述，选项D正确.
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(合外力指向轨迹凹侧)，从而分析电场方向或电荷的正负.
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向，确定静电力做功的正负，从而确定电势能、电势和电势差的变化等.
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况.
针对训练1(多选)如图2所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹.设电子在A、B两点的加速度大小分别为a A、a B，电势能分别为E p A、E p B.下列说法正确的是()
图2
A.电子一定从A向B运动
B.若a A＞a B，则Q靠近M端且为正电荷
C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有E p A＜E p B
D.B点电势可能高于A点电势
答案BC
解析电子仅在静电力作用下可能从A运动到B，也可能从B运动到A，A错误；若a A＞a B，说明电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力，所以A距离点电荷较近，B距离点电荷较远，又因为电子受到的静电力指向轨迹凹侧，因此Q靠近M端且为正电荷，B正确；无论Q是正电荷还是负电荷，若电子从A运动到B，一定是克服静电力做功，若电子从B运动到A，一定是静电力做正功，即一定有E p A＜E p B，C正确；对于同一个负电荷，电势低处电势能大，B点电势
一定低于A点电势，D错误.
如图3所示，O是一固定的点电荷，虚线是该点电荷产生的电场中的三条等势线，正点电荷q仅在静电力的作用下沿实线所示的轨迹从a处运动到b处，然后又运动到c处.b点为轨迹上离O点最近的点，由此可知()
图3
A.O为负点电荷
B.在整个过程中q的电势能先变小后变大
C.在整个过程中q的速度先变大后变小
D.在整个过程中，静电力做功为零
答案 D
解析由运动轨迹分析可知q受到库仑斥力的作用，O点的电荷应为正点电荷，A错；从a到b的过程q受到逐渐变大的库仑斥力，速度逐渐减小，加速度增大，电势能逐渐增大；而从b到c的过程q受到逐渐变小的库仑斥力，速度逐渐增大，加速度减小，电势能逐渐减小，B、C错；由于a、c两点在同一等势线上，整个过程中，静电力做功为零，D对.
二、用等分法确定等势线和电场线
1.在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离.
由U＝Ed可以得到下面两个结论：
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝φA＋φB
2，如图4甲所示.
图4
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U AB＝U CD(或φA－φB＝φC －φD)，同理有U AC＝U BD，如图乙所示.
2.确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.
(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是()
答案BC
解析匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分.把AB等分为三段，AB间电压为3 V，则每等分电压为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则
FC 为等势线，电场线垂直于FC ，从高电势指向低电势，C 正确；AC 上，G 为中点，AC 被等分为两份，AC 间电压为2 V ，则G 点电势为4 V ，GH 为等势线，电场线垂直于GH ，从高电势指向低电势，B 正确.
如图5所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O 处的电势为0，点A 处的电势为6 V ，点B 处的电势为3 V ，则电场强度的大小为( )
图5
A.200 V/m
B.200 3 V/m
C.100 V/m
D.100 3 V/m 答案 A
解析 在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA 的中点C 的电势φC ＝3 V(如图所示)，因此B 、C 在同一等势面上.O 点到BC 的距离d ＝OC sin α，
而sin α＝
OB
OB 2＋OC 2＝12，所以d ＝12OC ＝1.5×10－2 m.匀强电场的电场强度E ＝U d ＝31.5×10－2
V/m ＝200 V/m ，故选项A 正确.
针对训练2如图6△ABC中，∠B为直角，∠A＝60°，AB＝4 cm，空间中存在一匀强电场，其方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为0、2 V、8 V，则该电场的电场强度大小为()
图6
A.50 V/m
B.50 3 V/m
C.100 V/m
D.1003
3V/m
答案 C
解析如图所示，过B点作AC的垂线，则垂足D为AC的四等分点，因A、C
两点的电势分别为0、8 V，可知D点的电势为2 V，则BD为等势面；根据E＝U d
可得电场强度：E＝U DA
DA
＝
2
0.04×cos 60°V/m＝100 V/m，故选C.
考点一电场线、等势面与电荷运动轨迹的综合问题
1.若带正电荷的小球在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内()
A.一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B.一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C.不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动
D.不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动
答案 D
解析小球的运动情况取决于合力和初速度的关系，小球只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，小球有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且小球的运动方向沿着电场线时，小球才沿电场线运动，小球不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确.
2.(多选)一带电粒子从电场中的A点运动到B点，轨迹如图1中虚线所示.不计粒子所受重力，则()
图1
A.粒子带正电荷
B.粒子加速度逐渐减小
C.粒子在A点的速度大于在B点的速度
D.粒子的初速度不为零
答案BCD
解析带电粒子所受合外力(即静电力)指向轨迹凹侧，结合题图可知带电粒子所受静电力方向偏向左，故粒子带负电荷，A项错误；根据电场线疏密表示场强大
小知E A>E B，由a＝qE
m知，B项正确；粒子从A到B受到的静电力为阻力，粒子
速度减小，C项正确；由于电场线为直线，粒子轨迹为曲线，故粒子在A点速度不为零，D项正确.
3.一带电粒子沿图2中曲线穿过一匀强电场中的等势面，且四个等势面的电势关
系满足φa>φb>φc>φd，若不计粒子所受重力，则()
图2
A.粒子一定带正电
B.粒子的运动是匀变速运动
C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D.粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
答案 B
解析由于φa>φb>φc>φd，所以电场线垂直于等势面由a指向d，根据粒子运动轨迹可知该粒子所受静电力由d指向a，即该粒子带负电，从A点到B点的运动过程中，粒子做匀变速曲线运动，静电力做正功，粒子的动能增大，电势能减小，故选B.
4.(多选)如图3所示，平行线代表电场线，但未标明方向，一个带正电、电荷量为10－6 C的微粒在电场中仅受静电力作用，当它从A点运动到B点时动能减少了10－5 J，则以下判断正确的是()
图3
A.微粒的运动轨迹如图中的虚线1所示
B.微粒的运动轨迹如图中的虚线2所示
C.B点电势高于A点电势
D.B点电势低于A点电势
答案AC
解析由题知，带正电的微粒仅受静电力的作用，从A点运动到B点时动能减少了10－5J，说明静电力做负功，则知静电力方向水平向左，根据曲线运动的合力指向轨迹的内侧，故微粒的运动轨迹如题图中虚线1所示，故A正确，B错误；由于微粒带正电，所受静电力水平向左，则电场强度方向水平向左，沿着电场线方向电势逐渐降低，则B点电势高于A点电势，故C正确，D错误.
5.(2020·陕西十校联考)两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图4中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列判断正确的是()
图4
A.粒子带正电
B.b点和d点的电场强度相同
C.粒子的动能先减小后增大
D.粒子在a点的电势能小于在e点的电势能
答案 C
解析根据两个固定的等量异种点电荷所形成的电场的等势面的特点可得，题图中正电荷在上方，负电荷在下方，因粒子运动轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了向上的力的作用，所以粒子带负电，A错误；在电场中等势面与电场线是垂直的，由题图可知，b、d两点弯曲的方向不同，则过b、d两点，与－5 V的等势面垂直的电场线的方向是不同的，所以b、d两点电场强度是不同的，B错误；粒子
从a到c的过程中，静电力做负功，从c到e的过程中，静电力做正功，粒子在静电场中静电力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，动能先减小后增大，C正确；a、e两点电势相等，故粒子在a、e两点电势能相等，D错误.
考点二等分法的应用
6.如图5所示，ABCD是匀强电场中平行于电场线的矩形的四个顶点，A、B、C 三点电势分别为φA＝8 V，φB＝2 V，φC＝3 V，则D点的电势为()
图5
A.7 V
B.6 V
C.10 V
D.9 V
答案 D
解析因为U AB＝U DC，即8 V－2 V＝φD－3 V，故φD＝9 V，选项D正确.
7.(2021·湖南岳阳市岳阳一中高二期末)如图6所示，A、B、C、D是匀强电场中一个以坐标原点为圆心、半径为1 m的圆与两坐标轴的交点，已知A、B、D三点的电势分别为φA＝3 V、φB＝－2 V、φD＝8 V，由此可知场强的大小为()
图6
A.4 V/m
B.5 V/m
C.6 V/m
D.7 V/m
答案 B
解析在匀强电场中，由U＝Ed可知沿着同一方向(非等势面上)，每前进相同的距离，电势的降低相等；根据几何知识可知AB＝CD，且AB∥CD，说明AB间的电势差等于CD间的电势差.故φA－φB＝φD－φC，代入数据，解得φC＝3 V，即C 点的电势为3 V，可知AC为等势面，场强方向与等势面垂直，从高电势到低电势，
即由D指向B，根据U＝Ed，可得场强大小为E＝U DB
2r＝
8－()
－2
2×1V/m＝5 V/m，
故选B.
8.如图7，在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3 m、BC＝0.4 m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55 V，φB＝19 V，φC＝－45 V，则匀强电场的电场强度大小和方向为()
图7
A.120 V/m，沿AB方向
B.200 V/m，沿AC方向
C.160 V/m，沿AD方向
D.300 V/m，沿BD方向
答案 B
解析连接AC，过B点作BB′⊥AC交AC于B′，由几何关系知，AB′＝0.18 m，B′C＝0.32 m，据题知U AC＝100 V，U AB＝36 V，U BC＝64 V，所以B′与B等电势，则BB′为等势线；利用等势线与电场线垂直确定场强方向，可知匀强电场的电场
强度方向沿AC方向，匀强电场的电场强度大小E＝U AB
d＝
36
0.18V/m＝200 N/m，
故A 、C 、D 错误，B 正确.
9.(多选)(2021·河南驻马店市高二期末)如图8所示，在xOy 坐标系中有一底角为60°的等腰梯形，空间有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中原点O 的电势为9 V ，A 点电势为4.5 V ，B 点电势为0，则由此可以判定( )
图8
A.电场的电场强度大小为150 3 V/m
B.电场的电场强度大小为100 3 V/m
C.电场的方向与x 轴正方向成30°角向上
D.电场的方向沿x 轴正方向 答案 AC
解析 因原点O 的电势为9 V , B 点电势为0，可知OB 连线中点(设为D )的电势为φD ＝φO ＋φB
2＝4.5 V ，因A 点电势为4.5 V ，可知AD 为等势面，则由几何关系可知，场强方向沿OB 方向，与x 轴正方向成30°角向上，大小为E ＝U OB
d OB
＝
92×2×3
2
V/cm ＝150 3 V/m ，故选A 、C.
10.(多选)(2020·天津一中期中)如图9所示，一带正电的点电荷固定于O 点，两虚
线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点.不计重力.下列说法正确的是()
图9
A.M带负电荷，N带正电荷
B.M在b点的动能小于它在a点的动能
C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D.N在从c点运动到d点的过程中克服静电力做功
答案ABC
解析如题图所示，M粒子的轨迹向左弯曲，可知M粒子受到了引力作用，故M 粒子带负电荷，而N粒子的轨迹向下弯曲，说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电荷，选项A正确；由于虚线是等势面，故M从a到b静电力对其做负功，电势能增加，动能减小，选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，从e到d静电力做功为零，电势能不变，选项C正确；由于N粒子带正电荷，故从c点运动到d点的过程中，静电力做正功，选项D错误.
11.(多选)如图10，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为L＝2 cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面.已知A、B、D、E 的电势分别为－2 V、0、6 V、4 V.则下列说法正确的是()
A.C点的电势φC＝2 V
B.A、F间的电势差U AF＝2 V
C.C、F间的电势差U CF＝4 V
D.该匀强电场的场强大小E＝200 V/m
答案CD
解析连接AD、BF、CE，由图可知AD与BF、CE都垂直，沿DA方向分析可知O′的电势为4 V，与E的电势相等，故电场强度方向由D指向A，由正六边形对称性可知F与B的电势相等，C与E的电势相等，故F点的电势为0，C点的电势为4 V，则A、F间的电势差为U AF＝φA－φF＝－2 V－0＝－2 V，C、F间的电势差为U CF＝φC－φF＝4 V－0＝4 V，由几何关系得：d OA＝L sin 30°，而U OA＝
U F A＝－U AF＝2 V，则电场强度的大小为E＝U OA
d OA＝
2
2×10－2×
1
2
V/m＝200 V/m，故
A、B错误，C、D正确.
12.如图11所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10－6 C的电荷从电场中的A 点移到B点，克服静电力做了2.4×10－5 J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10－5 J的功.
(1)求A 、B 两点间的电势差U AB 和B 、C 两点间的电势差U BC ； (2)如果规定B 点的电势为零，则A 点和C 点的电势分别为多少？ (3)作出过B 点的一条电场线. 答案 见解析
解析 (1)U AB ＝W AB q ＝－2.4×
10－
5－6×10－6
V ＝4 V
U BC ＝W BC q ＝1.2×
10－5－6×10－6 V ＝－2 V
(2)U AB ＝φA －φB ，U BC ＝φB －φC 又φB ＝0
故φA ＝4 V ，φC ＝2 V
(3)取AB 的中点D ，则D 点的电势为2 V ，连接CD ，CD 为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图.。