人教A版高中数学选修1-1课件1、2章末.pptx
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又c＝7，a＝1，b2＝48， 故 F 点的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
[点评] 利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹， 是常考的题型．
求曲线方程的基本方法有：直接法和间接法．常见的 求曲线方程的方法有：直接法、定义法、代入法、参数法 以及求弦的中点轨迹时常用的“设而不求”法．这里仍需 强调的是不管用什么方法求轨迹方程，都要注意检验所求 的方程与曲线是否等价，多余的点要舍去，缺少的点要补 上.
∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y－y0＝－1k(x－x0)． 令 y＝0，得 xG＝x0＋ky0＝－2k22k＋2 1＋2k2k＋2 1 ＝－2k2k＋2 1＝－12＋4k21＋2， ∵k≠0，∴－12<xG<0， ∴点 G 横坐标的取值范围为－12，0.
[点评] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥 曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合 思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中 点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不 求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热 点题型．
[例3] 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，
椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B
不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求
证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析]
(1)
由
题Hale Waihona Puke 意即ae(λ－a2 1)2＋(λba2)2＝1， 所以(1－e2λ)2＋1－λ2e2＝1，
即 e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0， 解得 e2＝1－λ，即 λ＝1－e2.
(2)因为 PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1 为钝角，要 使△PF1F2 为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，
∴|PP1|＝12(|A1A|＋|B1B|) ＝12(|AF|＋|BF|)， ∴|PP1|≥12|AB|＝32. 又|PQ|＝|PP1|－p2＝|PP1|－12， ∴|PQ|≥32－12＝1， 当且仅当 A、B、F 三点共线时取“＝”号．
[点评] 本题利用抛物线的定义，通过图形，借助梯 形中位线定理，从而确定了最值，体现了“转化与化归” 的数学思想，应深刻体会这一重要思想方法．
设
椭
圆
的
标
准
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)，且 a＋c＝3，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1，∴b2＝3，
∴x42＋y32＝1.
y＝kx＋m (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x42＋y32＝1 ， 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0. 又 x1＋x2＝－3＋8m4kk2，x1·x2＝43(m＋2－4k32 )， 所以 y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3(m3＋2－4k42k2).
∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， ∴kAD·kBD＝－1， 即x1y－1 2·x2y－2 2＝－1， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 3(m3＋2－4k42k2)＋43(m＋2－4k32 )＋31＋6m4kk2＋4＝0， 7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，且满足 3＋4k2－m2>0.
[例2] 已知抛物线y2＝2x上两个动点A、B，且|AB|＝3， 求AB的中点P到y轴距离的最小值．
[解析] 如右图，分别过A、B、P作准线l的垂线，设 垂足为A1、B1、P1，PP1交y轴于Q点，连结AF、BF.
由抛物线定义可知
|AF|＝|A1A|， |BF|＝|B1B|， ∴|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|. 又四边形A1ABB1为梯形，P1P是中位线，
空白演示
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章末归纳总结
坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数 的方法研究几何问题．
本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角 坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲 线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、 抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来 求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质， 并利用它们的几何性质解决有关几何问题．
由ax22＋by22＝1 ，得y＝ba2 ，这里 c＝ a2－b2.
所以点 M 的坐标是－c，ba2. 由A→M＝λA→B得－c＋ae，ba2＝λae，a，
即abea－ 2＝cλ＝a λae
，解得 λ＝1－e2.
证法二：因为 A，B 分别是直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y
即12|PF1|＝c. 设点 F1 到 l 的距离为 d， 由12|PF1|＝d＝|e(－c1)＋＋e02＋a|＝ |a1－＋eec2| ＝c， 得 11－＋ee22＝e，所以 e2＝13，于是 λ＝1－e2＝23， 即当 λ＝23时，△PF1F2 为等腰三角形．
[点评] 圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何 性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方 程，准确刻画它们的几何性质．通常由圆锥曲线方程研究 圆锥曲线的几何性质时，常把圆锥曲线方程化成标准方程， 再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称 性等几何性质.
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想， 函数的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
[例1] 已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个 焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方 程．
[分析] 依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标 化即可．
[解析] |AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14.又|AF|＋|AC|＝ |BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故F点的轨迹是 以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
轴的交点，所以 A，B 的坐标分别是－ae，0，(0，a)． 设 M 的 坐 标 是 (x0 ， y0) ， 由A→M ＝ λ A→B 得 x0＋ae，y0 ＝
λae，a，
所以x0＝ae(λ－1) ， y0＝λa
因为点 M 在椭圆上，所以ax202＋by202＝1，
[解析] 设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入x22＋y2＝1， 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F， ∴方程有两个不等实根． 记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 N(x0，y0)， 则 x1＋x2＝－2k42k＋2 1， x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k＋2 1，y0＝k(x0＋1)＝2k2k＋1，
[例 5] 已知椭圆x22＋y2＝1 的左焦点为 F，O 为坐标 原点．设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横 坐标的取值范围．
[分析] 设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．
当 m＝－2k 时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与 已知矛盾；
当 m＝－27k时，l：y＝k(x－27)，直线过定点27，0. 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
[例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分 别是 F1，F2，离心率为 e.直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y 轴分别 交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设A→M＝λA→B.
(1)证明：λ＝1－e2； (2)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． [分析] 解析几何中的向量问题，化为坐标处理．
[解析] (1)证法一：因为 A，B 分别是直线 l：y＝ex＋a
与 x 轴、y 轴的交点，所以 A，B 的坐标分别是－ae，0，(0， a)．
y＝ex＋a
x＝－c
[点评] 利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹， 是常考的题型．
求曲线方程的基本方法有：直接法和间接法．常见的 求曲线方程的方法有：直接法、定义法、代入法、参数法 以及求弦的中点轨迹时常用的“设而不求”法．这里仍需 强调的是不管用什么方法求轨迹方程，都要注意检验所求 的方程与曲线是否等价，多余的点要舍去，缺少的点要补 上.
∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y－y0＝－1k(x－x0)． 令 y＝0，得 xG＝x0＋ky0＝－2k22k＋2 1＋2k2k＋2 1 ＝－2k2k＋2 1＝－12＋4k21＋2， ∵k≠0，∴－12<xG<0， ∴点 G 横坐标的取值范围为－12，0.
[点评] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥 曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合 思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中 点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不 求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热 点题型．
[例3] 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，
椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B
不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求
证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析]
(1)
由
题Hale Waihona Puke 意即ae(λ－a2 1)2＋(λba2)2＝1， 所以(1－e2λ)2＋1－λ2e2＝1，
即 e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0， 解得 e2＝1－λ，即 λ＝1－e2.
(2)因为 PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1 为钝角，要 使△PF1F2 为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，
∴|PP1|＝12(|A1A|＋|B1B|) ＝12(|AF|＋|BF|)， ∴|PP1|≥12|AB|＝32. 又|PQ|＝|PP1|－p2＝|PP1|－12， ∴|PQ|≥32－12＝1， 当且仅当 A、B、F 三点共线时取“＝”号．
[点评] 本题利用抛物线的定义，通过图形，借助梯 形中位线定理，从而确定了最值，体现了“转化与化归” 的数学思想，应深刻体会这一重要思想方法．
设
椭
圆
的
标
准
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)，且 a＋c＝3，a－c＝1，
∴a＝2，c＝1，∴b2＝3，
∴x42＋y32＝1.
y＝kx＋m (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x42＋y32＝1 ， 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0. 又 x1＋x2＝－3＋8m4kk2，x1·x2＝43(m＋2－4k32 )， 所以 y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3(m3＋2－4k42k2).
∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， ∴kAD·kBD＝－1， 即x1y－1 2·x2y－2 2＝－1， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 3(m3＋2－4k42k2)＋43(m＋2－4k32 )＋31＋6m4kk2＋4＝0， 7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，且满足 3＋4k2－m2>0.
[例2] 已知抛物线y2＝2x上两个动点A、B，且|AB|＝3， 求AB的中点P到y轴距离的最小值．
[解析] 如右图，分别过A、B、P作准线l的垂线，设 垂足为A1、B1、P1，PP1交y轴于Q点，连结AF、BF.
由抛物线定义可知
|AF|＝|A1A|， |BF|＝|B1B|， ∴|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|. 又四边形A1ABB1为梯形，P1P是中位线，
空白演示
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章末归纳总结
坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数 的方法研究几何问题．
本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角 坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲 线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、 抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来 求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质， 并利用它们的几何性质解决有关几何问题．
由ax22＋by22＝1 ，得y＝ba2 ，这里 c＝ a2－b2.
所以点 M 的坐标是－c，ba2. 由A→M＝λA→B得－c＋ae，ba2＝λae，a，
即abea－ 2＝cλ＝a λae
，解得 λ＝1－e2.
证法二：因为 A，B 分别是直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y
即12|PF1|＝c. 设点 F1 到 l 的距离为 d， 由12|PF1|＝d＝|e(－c1)＋＋e02＋a|＝ |a1－＋eec2| ＝c， 得 11－＋ee22＝e，所以 e2＝13，于是 λ＝1－e2＝23， 即当 λ＝23时，△PF1F2 为等腰三角形．
[点评] 圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何 性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方 程，准确刻画它们的几何性质．通常由圆锥曲线方程研究 圆锥曲线的几何性质时，常把圆锥曲线方程化成标准方程， 再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称 性等几何性质.
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想， 函数的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
[例1] 已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个 焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方 程．
[分析] 依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标 化即可．
[解析] |AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14.又|AF|＋|AC|＝ |BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故F点的轨迹是 以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
轴的交点，所以 A，B 的坐标分别是－ae，0，(0，a)． 设 M 的 坐 标 是 (x0 ， y0) ， 由A→M ＝ λ A→B 得 x0＋ae，y0 ＝
λae，a，
所以x0＝ae(λ－1) ， y0＝λa
因为点 M 在椭圆上，所以ax202＋by202＝1，
[解析] 设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入x22＋y2＝1， 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F， ∴方程有两个不等实根． 记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 N(x0，y0)， 则 x1＋x2＝－2k42k＋2 1， x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k＋2 1，y0＝k(x0＋1)＝2k2k＋1，
[例 5] 已知椭圆x22＋y2＝1 的左焦点为 F，O 为坐标 原点．设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横 坐标的取值范围．
[分析] 设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．
当 m＝－2k 时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与 已知矛盾；
当 m＝－27k时，l：y＝k(x－27)，直线过定点27，0. 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
[例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分 别是 F1，F2，离心率为 e.直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y 轴分别 交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 F1 关于直线 l 的对称点，设A→M＝λA→B.
(1)证明：λ＝1－e2； (2)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． [分析] 解析几何中的向量问题，化为坐标处理．
[解析] (1)证法一：因为 A，B 分别是直线 l：y＝ex＋a
与 x 轴、y 轴的交点，所以 A，B 的坐标分别是－ae，0，(0， a)．
y＝ex＋a
x＝－c