云南省玉溪一中高三数学上学期期中试题 理(含解析)

云南省玉溪一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题，椭圆，参数方程等；
【题文】一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
【题文】1．已知集合}1|||{<=x x A ，|{x B =0log 3
1>x },则B A ⋂是 ( )
A ．∅
B ．()1,1-
C ．
D ．()1,0 【知识点】集合及其运算A1
【答案解析】D 由题意得A={x 11x -<<},B={x 01x <<}则A B ⋂={01}x x <<， 故选D.
【思路点拨】先分别求出A,B 再求B A ⋂。

【题文】2．已知复数z 满足25)43(=+z i ，则=z （ ）
A ． i 43-
B ． i 43+
C ． i 43--
D ．i 43+-
【知识点】复数的基本概念与运算L4
【答案解析】A ∵复数z 满足（3+4i ）z=25，
【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出． 【题文】3．下列命题中正确的是( )
A ．若01,:2
<++∈∃x x R x p ,则01,:2
<++∈∀⌝x x R x p
B ．若q p ∨为真命题,则q p ∧也为真命题
C ．“函数)(x f 为奇函数”是“0)0(=f ”的充分不必要条件
D ．命题“若0232
=+-x x ,则1=x ”的否命题为真命题
【知识点】命题及其关系A2
【答案解析】D 对A 选项，￢P 为：∀x ∈R ，x 2
+x+1≥0，故A 错误；
对B 选项，若p ∨q 为真命题，则命题p 、q 至少一个为真命题；而p ∧q 为真命题，则命题p 、q 都为真命题，故B 错误；对C 选项，∵奇函数f （x ）的定义域不包括0，则f （0）=0不成
立，∴不满足充分性，故C 错误；对D 选项，∵命题“若x 2
-3x+2=0，则x=1”的否命题是：
“若x 2-3x+2≠0，则x≠1”，又x 2
-3x+2≠0⇒x≠1且x≠2，故D 正确．故选：D ．
【思路点拨】根据特称命题的否定是全称命题判断A 是否正确；根据复合命题真值表判断B 的正确性；利用函数是否在0上有定义判断C 是否正确；写出命题的否命题，判断真假，可得D 是正确的．
【题文】4．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a -，2a -，3a 成等差数列，若11=a ，则4S ＝ ( )
A ．20-
B ．0
C ．7
D ．40
【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3 【答案解析】A 设数列的公比为q （q≠1），则∵-3a 1，-a 2，a 3成等差数列，∴-3a 1+a 3=-2a 2，
∵a 1=1，∴-3+q 2
+2q=0，∵q≠1，∴q=-3∴S 4=1-3+9-27=-20故选A ．
【思路点拨】利用-3a 1，-a 2，a 3成等差数列，确定数列的公比，从而可求S 4．
【题文】5．若框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )．
A ．k ＝9?
B ．k ≤8?
C ．k ＜8?
D ．k ＞8?
【知识点】算法与程序框图L1
【答案解析】D k=10，s=1，不输出，k 的值满足判断框中的条件 经过一次循环得到s=11，k=9，此时不输出，k 的值满足判断框中的条件 再经过一次循环得到s=20，k=8输出，k 的值满足判断框中的条件 即k=10，k=9满足判断框中的条件；而k=8不满足判断框中的条件 所以判断框中的条件是k ＞8故选D
【思路点拨】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，由结果中的s 的值，判断是否需要输出；得到k 取什么值满足条件，取什么值不满足条件；得到判断框中的条件． 【题文】6．函数a x
x f x
--
=2
2)(的一个零点在区间(1,2)内，
则实数a 的取值范围是 （ ）
( )．
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2)
【知识点】函数与方程B9
【答案解析】C 由题意可得f （1）f （2）=（0-a ）（3-a ）＜0，解得：0＜a ＜3， 故实数a 的取值范围是（0，3），故答案为：C 【思路点拨】由题意可得f （1）f （2）=（0-a ）（3-a ）＜0，解不等式求得实数a 的取值范围． 【题文】7． 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 内一动点，则三棱锥BCD P -的正视图与侧视图
的面积之比为（ ）
A ．1 1
B ．21
C ．23
D ．32
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案解析】A 由题意可知，P 在主视图中的射影是在C 1D 1上，
AB 在主视图中，在平面CDD 1C 1上的射影是CD ，P 的射影到CD 的距离是正方体的棱长；P 在左视图中，的射影是在B 1C 1上，在左视图中AC 在平面BCC 1B 1三度
（7题图）
11在左视图中到AC 在平面BCC 1B 1三度射影的距离，即可求出正视图与左视图的面积的比值． 【题文】8．在平行四边形ABCD 中，=∠=BAD AD ,160°，E 为CD 的中点，若21=•，
则AB 的长为( ) A ．
2
1
B ．1
C ．2
D ．3 【知识点】平面向量的数量积及应用F3
A ．31
B ．32
C ．2
1 D ．22
【知识点】几何概型K3
【题文】10．已知A
),(A A y x 是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线OA 绕原点逆时
针旋转30°到OB 交单位圆于点B
),(B B y x ，则B A y x -的最大值为（ ）
A ．
2
1
B ．1
C ．
2
3 D ．2
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切C5
【答案解析】B 由题意可得：x A =cosθ，y B =sin(θ+30°
)． ∴
x A -y B =cosθ-sin
（
θ+30°
）
=cosθ-(
32
sinθ+
12
cosθ)=
12cosθ-32sinθ=cos(θ+3
π
)≤1． ∴x A -y B 的最大值为1．故选B ．
【思路点拨】由题意可得：x A =cosθ，y B =sin(θ+30°
)．可得x A -y B =cosθ-sin （θ+30°），利用两角和的正弦公式、余弦函数的单调性即可得出． 【题文】11．函数y ＝x 3
3x －1
的图象大致是 ( )
【知识点】导数的应用B12 【答案解析】C 根据定义域x 不等于0排除A,利用导数判断单调性为x>0时先增后减排除B,D 故选C.
【思路点拨】根据定义域和单调性排除即可。

【题文】12．函数
)()(3R x x x x f ∈+=，当2
0π
θ<
<时，0)1()sin (>-+a f a f θ恒成立，
则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．(]1,∞-
B ．()1,∞-
C ．[)+∞,1
D ．()+∞,1
【知识点】函数的单调性与最值B3
【答案解析】A 由f （x ）=x 3
+x ，∴f （x ）为奇函数，增函数，∴f （a sinθ）+f （1-a ）＞0恒成立，即f （a sinθ）＞f （a-1），∴a sinθ＞a-1，当0≤θ≤
2
π
时，sinθ∈[0，1]， ∴01
1
a a a >-⎧⎨
>-⎩，解得a ＜1，故实数m 的取值范围是（-∞，1），故选A ．
【思路点拨】由f （x ）=x 3
+x ，可知f （x ）为奇函数，增函数，得出a sinθ＞a-1，根据sinθ∈[0，1]，即可求解．
第Ⅱ卷
【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
【题文】13．将2名教师，4名学生分成2个小组，安排到甲、乙两地参加活动，每个小组由1
名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有__________种.
【知识点】排列、组合J2
【答案解析】12 第一步，为甲地选一名老师，有1
2C =2种选法；
第二步，为甲地选两个学生，有2
4C =6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法,故不同的安排方案共有2×6×1=12种,故选 A.
【思路点拨】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
【题文】14．数列{}n a 的前n 项和为n
S ，若12-=n n a S 则7S =____________.
【知识点】数列的概念与简单表示法D1
【答案解析】a n =2n-1
∵数列{a n }的前n 项和为S n ，2a n =S n +1 ①，令n=1可得 a 1=1． 再由当n≥2时，2a n-1=S n-1+1 ②，①减去②可得 2a n -2a n-1=a n ，∴a n =2a n-1，
故数列{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，故a n =1×2n-1=2n-1，故答案为 a n =2n-1
． 【思路点拨】在2a n =S n +1 ①中，令n=1可得 a 1=1．再由当n≥2时，2a n-1=S n-1+1 ②，用①减去②可得 a n =2a n-1，数列{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此可得数列{a n }的通项公式．
【题文】15．如果存在实数x 使不等式k x x <--+21成立，则实数的取值范围是__________. 【知识点】绝对值不等式的解法E2
【答案解析】k ＞-3 ∵存在实数x 使不等式|x+1|-|x-2|＜k 成立，|x+1|-|x-2|表示数轴上的 x 到-1的距离减去它到2的距离，最小值等于-3，故 k ＞-3，故答案为：k ＞-3． 【思路点拨】利用表示数轴上的 x 到-1的距离减去它到2的距离，它|的最小值等于-3，而且存在实数x 使不等式|x+1|-|x-2|＜k 成立，可得k ＞-3． 【题文】16．已知函数x x x f sin cos )(⋅=，给出下列五个说法：
①4
1)12
1921(=πf . ②若)()(21x f x f -=，则21x x -=.③)(x f 在区间⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-36ππ，上单调递增. ④将函数)(x f 的图象向右平移4
3π个单位可得到x y 2cos 2
1=的图象.
⑤)(x f 的图象关于点)04(，π-成中心对称．其中正确说法的序号是 .
【知识点】三角函数的图象与性质C3
【题文】17．（本小题满分10分）
已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C 的极坐标方程为).sin (cos 2θθρ+= （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程.
（Ⅱ）直线:l ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+==t y t
x 23121（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点，于y 轴交于点E ，求EB EA 11+.
【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3
【题文】18.（本小题满分12分）
已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦
．设x α=时()f x 取到最大值．
（Ⅰ）求()f x 的最大值及α的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12
A πα=-，且2sin sin sin
B
C A =，试判断
三角形的形状．
【知识点】解三角形C8
【答案解析】(1) 512x π
α==时，max () 3.f x = （2）等边三角形
(1)()1cos(2)21sin 2212sin(2).23f x x x x x x ππ
⎡
⎤=-+
=+=+-⎢⎥⎣
⎦
又,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则32326πππ≤-≤x ，故当232x ππ-=
即512
x π
α==时，max () 3.
f x = （2）由（1）知123
A π
π
α=-
=
，由2sin sin sin B C A =即2
bc a =，
又22222
2cos a b c bc A b c bc =+-=+-，
则22
b c bc bc +-=即2()0b c -=， 故0.b c -= c b =∴
又123A π
π
α=-
=
所以三角形为等边三角形.
【思路点拨】利用三角函数图像和性质求出最值，根据余弦定理求出角确定三角形的形状。

【题文】19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
45、35、2
5
,且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；
（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. 【知识点】离散型随机变量及其分布列K6 【答案解析】（Ⅰ）
101125（Ⅱ）57
25
（Ⅰ）记“该同学能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5P A =
，23()5
P A =，32
()5P A =， ∴该同学被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++
142433101555555125
=+⨯+⨯⨯=．
（Ⅱ）ξ的可能值为1,2,3，11(1)()5
P P A ξ===
， 1212428(2)()()()5525
P P A A P A P A ξ====⨯=
，
12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=． ∴ξ的分布列为
∴1812571235252525
E ξ=⨯
+⨯+⨯= 【思路点拨】分析出各种情况求出概率，根据可能取的值求出分布列数学期望。

【题文】20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是直角
梯形，AD AB ⊥，CD AB //，222===CD AD AB ，E 是PB 的中点。

（Ⅰ）求证：平面⊥EAC 平面PBC ； （Ⅱ）若二面角E AC P --的余弦值为3
6
，求直线PA 与 平面EAC 所成角的正弦值。

3
（Ⅰ）⊥PC Θ平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，
PC AC ⊥∴，2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC
222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴
又C PC BC =I ，⊥∴AC 平面PBC ，
∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC (2)以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）。

设P （0，0，a ）（a>0），则E （
21，21-，2
a
）， )0,1,1(=，),0,0(a =，)2
,21,21(a
-=，
取m =（1，－1，0）
则0=⋅=⋅CA m CP m ，∴m 为面PAC 的法向量
设),,(z y x =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅， 即⎩⎨
⎧=+-=+0
,
0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，
P
A B
C
D
E
B
依题意，3
6
2
,cos 2=
+=
=
><a a ，则2=a 。

于是)2,2,2(--= 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ
，则3
2,cos sin =
=
><=n θ， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
3
2。

【思路点拨】利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求出法向量求出正弦值。

【知识点】椭圆及其几何性质H5
【答案解析】（1）22
143
x y +=（2）1 （1）1)23
(1)23,1(,21222=+==b
a P a c e 满足，又2
22c b a +=134,3,42
222=+∴==y x b a
所以，1,F PF 22==λ
【思路点拨】根据椭圆的a,b,c 的关系求出椭圆方程，联立直线和椭圆根据根与系数的关系求出参数值。

【题文】22.（本小题满分12分）设 ()ln a
f x x x x
=
+, 32()3g x x x =--. （Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;
（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;（Ⅲ）如果对任意的1
,[,2]2
s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围. 【知识点】导数的应用B12
【答案解析】（1）3y x =-+（Ⅱ）4（Ⅲ）a≥1
（1）当2a =时,2()ln f x x x x =
+,22
'()ln 1f x x x
=-++, (1)2f =,'(1)1f =-, 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+;
(2)存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立 等价于12max [()()]g x g x M -≥, 考察
32()3g x x x =--,
22
'()323()3g x x x x x =-=-,
由上表可知min max 285
()(),()(2)1327
g x g g x g ==-
==,
- 11 - 12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=
, 所以满足条件的最大整数4M =; (3)当1
[,2]2x ∈时,()ln 1a f x x x x =
+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立,。