偏导数和微分的概念和计算
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梯度的几何意义
梯度的方向垂直于函数在该点的等值线（或等值面），且指向函数增长的方向。梯度的 大小等于函数在该点沿梯度方向的方向导数的最大值。
方向导数定义及计算方法
方向导数的定义
设函数$z = f(x, y)$在点$P(x_0, y_0)$的 某邻域$U(P)$内有定义。自点$P$引射线 $l$，设$x$轴正向到射线$l$的转角为 $alpha (alpha in [0, 2pi))$。若极限 $lim_{rho to 0^+} frac{f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) - f(x_0, y_0)}{rho}$存 在，则称此极限为函数$f(x, y)$在点$P$ 沿方向$l$的方向导数，记作 $frac{partial f}{partial l} |_{(x_0, y_0)}$ 。
隐函数偏导数求解
隐函数求导法则
对于形如F(x, y, z) = 0的隐函数，可以使用链式法则和多元函数求导法则，求出z对x和y的偏导数。
公式法
对于某些特定的隐函数形式，可以直接套用公式求出偏导数。例如，对于形如z = f(x, y)的隐函数，可 以使用公式dz = f'x dx + f'y dy求出z的全微分，进而求出偏导数。
04
梯度、方向导数与偏导数 关系
梯度概念及其与偏导数关系
梯度的定义
梯度是一个向量，其方向是函数在该点处增长最快的方向，大小等于该方向上的方向导 数。
梯度与偏导数的关系
对于二元函数$z = f(x, y)$，其在点$(x_0, y_0)$处的梯度为$nabla f(x_0, y_0) = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0))$，其中$f_x$和$f_y$分别是函数$f$对$x$和$y$的偏导数 。
梯度在方向导数中应用
梯度与方向导数的关系
梯度向量与方向导数密切相关。在二元函数中，梯度向量的方向与函数增长最快的方向 一致，且其模长等于该方向上的方向导数的最大值。因此，通过计算函数的梯度，可以
确定函数在某一点处增长最快的方向和速率。
梯度在优化问题中的应用
在优化问题中，常常需要找到使目标函数达到极值（最大值或最小值）的点。由于梯度 指向函数增长最快的方向，因此可以通过计算目标函数的梯度并沿着其负方向进行迭代 来寻找最小值点。这种方法被称为梯度下降法，是求解无约束优化问题的一种常用方法
_{(x=x_0, y=y_0)}$的几何意义：表示曲面$z = f(x, y)$在 点$(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$处沿$y$轴方向的切线对$y$轴 的斜率。
02
多元函数偏导数求解方法
一阶偏导数计算
01
对x的偏导数
02
对y的偏导数
将多元函数中的其他变量视为常数，对x求导即可得到函数对x的一阶 偏导数。
偏导数几何意义
要点一
偏导数$frac{partial z}{part…
_{(x=x_0, y=y_0)}$的几何意义：表示曲面$z = f(x, y)$在 点$(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$处沿$x$轴方向的切线对$x$轴 的斜率。
要点二
偏导数$frac{partial z}{part…
偏导数和微分的概念和计算
汇报人：XX
汇报时间：2024-01-28
目录
• 偏导数基本概念 • 多元函数偏导数求解方法 • 全微分与偏微分关系及应用 • 梯度、方向导数与偏导数关系
目录
• 多元函数极值与最值问题 • 曲线积分与曲面积分中偏导数应用
01
偏导数基本概念
偏导数定义及意义
偏导数定义
设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的某一 邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在 $x_0$处有增量$Delta x$时，相应地函数 有增量$f(x_0 + Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$ 。如果$lim_{Delta x to 0} frac{f(x_0 + Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{Delta x}$存在 ，则称此极限为函数$z = f(x, y)$在点 $(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数，记作 $frac{partial z}{partial x}|_{(x=x_0, y=y_0)}$或$f'_x(x_0, y_0)$。
VS
方向导数的计算方法
方向导数可以通过偏导数和方向余弦来计 算。具体地，若函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则其在该点沿任意方向$l$ 的方向导数为$frac{partial f}{partial l} |_{(x_0, y_0)} = f_x(x_0, y_0)cosalpha + f_y(x_0, y_0)sinalpha$，其中$alpha$为 方向$l$与$x$轴正向的夹角。
要点三
参数方程在曲线积分 中的应用
在曲线积分中，参数方程可以方便地 表示曲线的路径，从而将曲线积分转 化为对参数的定积分。此时，被积函 数中的$dx$和$dy$可用参数方程中 的$x'(t)dt$和$y'(t)dt$代替。
曲面积分中投影法求偏导数
投影法的定义及性质：投影法是一种 将曲面上的点投影到某一坐标平面上 的方法，通过投影的变化来描述曲面 的形状。在曲面积分中，投影法可以 方便地表示曲面的面积元素。
03
计算函数在该点的偏导数；
全微分在近似计算中应用
01
利用全微分公式计算函数的近似增量 ；
02
将近似增量加到原函数值上得到新的 函数值。
03
近似计算应用举例：例如，在经济学 中经常需要计算总成本、总收入等经 济指标的变化情况。这些指标通常是 多个自变量的函数（如产量、价格等 ）。当这些自变量发生微小变化时， 我们可以利用全微分来近似计算经济 指标的变化情况从而为决策者提供有 用信息。
投影法求偏导数法则：对于投影法表 示的曲面，其偏导数可以通过投影函 数对各坐标变量的偏导数求得。具体 地，若曲面由投影函数$z=f(x,y)$给 出，则其偏导数$frac{partial z}{partial x}$和$frac{partial z}{partial y}$可由$frac{partial z}{partial x}=f_x(x,y)$和 $frac{partial z}{partial y}=f_y(x,y)$ 求得。
曲线积分中参数方程求导
要点一
参数方程的定义及性 质
参数方程是一种用参数表示曲线或曲 面上点坐标的方法，通过参数的变化 来描述曲线或曲面的形状。在曲线积 分中，参数方程可以方便地表示曲线 的路径。
要点二
参数方程求导法则
对于参数方程表示的曲线，其导数可 以通过参数方程中各分量对参数的导 数求得。具体地，若曲线由参数方程 $x=x(t),y=y(t)$给出，则其导数 $frac{dy}{dx}$可由 $frac{dy}{dx}=frac{y'(t)}{x'(t)}$求得 。
判断函数的单调性
通过求解函数的一阶偏导数，可以判断函数在某个方 向上的单调性。
寻找函数的极值点
通过求解函数的一阶偏导数并令其等于零，可以找到 函数的驻点，进一步判断驻点是否为极值点。
确定函数的凹凸性
通过求解函数的二阶偏导数，可以判断函数的凹凸性 ，从而确定函数的最大值和最小值。
06
曲线积分与曲面积分中偏 导数应用
偏导数意义
偏导数反映了多元函数沿坐标轴方向的变化 率。在物理学、工程学等领域中，偏导数常 用来描述某个量随另一个量变化而变化的快
慢程度。
偏导数存在条件
函数在某点的偏导数存在的充分条件
函数在该点的某一邻域内连续，且在该点的某一方向（如$x$方向或$y$方向）上可导。
函数在某点上的偏导数存在。
。
05
多元函数极值与最值问题
多元函数极值条件
01
一阶偏导数条件
在极值点处，函数的一阶偏导 数等于零。
02
二阶偏导数条件
在极值点处，函数的二阶偏导 数组成的Hessian矩阵正定或
负定。
03
约束条件
若函数在约束条件下取得极值 ，则极值点应满足约束条件。
约束条件下最值问题求解
03
拉格朗日乘数法
罚函数法
可行方向法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件融入 目标函数中，构造拉格朗日函数，求解拉 格朗日函数的极值点。
将约束条件转化为罚项加入到目标函数中 ，通过求解罚函数的极值点来逼近原问题 的解。
在可行域内选择一个方向进行搜索，通过 比较目标函数在该方向上的变化来确定下 一个搜索点，逐步逼近最优点。
偏导数在极值和最值问题中应用
偏微分在全微分中作用
偏微分定义
偏微分是多元函数对其中一个自变量求导而保持其他自变量不变的过程。例如，对于二元函数$z = f(x, y)$ ，其关于$x$的偏导数记作$frac{partial z}{partial x}$或$f'_x(x, y)$。
偏微分与全微分关系
全微分是偏微分的线性组合。具体来说，若函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则其全微分可表示为 $dz = frac{partial z}{partial x}dx + frac{partial z}{partial y}dy$。这表明全微分由函数在该点的偏导数决 定。
全微分满足线性叠加原理，即若$z_1 = f_1(x, y), z_2 = f_2(x, y)$在点 $(x_0, y_0)$处可微，则$k_1z_1 + k_2z_2$在点$(x_0, y_0)$处也可微， 且$d(k_1z_1 + k_2z_2) = k_1dz_1 + k_2dz_2$。
若函数$z = f(u, v)$在点$(u_0, v_0)$ 处可微，且$u = varphi(x, y), v = psi(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处也可微 ，则复合函数$z = f[varphi(x, y), psi(x, y)]$在点$(x_0, y_0)$处也可微 ，且其全微分等于各中间变量的全微 分之和。
同理，将多元函数中的其他变量视为常数，对y求导即可得到函数对y 的一阶偏导数。
高阶偏导数计算
二阶偏导数
在一阶偏导数的基础上，继续对其中 一个变量求偏导，即可得到二阶偏导 数。注意求导顺序不同，结果可能不 同。
混合偏导数
先对其中一个变量求偏导，再对另一 个变量求偏导，即可得到混合偏导数 。同样需要注意求导顺序。
投影法在曲面积分中的应用：在曲面 积分中，投影法可以方便地表示曲面 的面积元素，从而将曲面积分转化为 对坐标平面的二重积分。此时，被积 函数中的$dS$可用投影法中的面积 元素$dxdy$代替。
偏导数在曲线和曲面积分计算中作用
描述曲线的切线方向
描述曲面的法线方向
在曲线积分中，偏导数可以描述曲线 的切线方向。通过求解曲线的参数方 程或直角坐标方程的偏导数，可以得 到曲线在任意一点的切线斜率，从而 确定切线的方向。
在曲面积分中，偏导数可以描述曲面 的法线方向。通过求解曲面的投影函 数或直角坐标方程的偏导数，可以得 到曲面在任意一点的法线向量，从而 确定法线的方向。
03
全微分与偏微分关系及应 用
全微分定义及性质
全微分定义
线性性
微分不变性
设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，若函数在点 $(x_0, y_0)$处的全增量$Delta z = f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) f(x_0, y_0)$可表示为$Delta z = ADelta x + BDelta y + o(rho)$，其 中$A, B$不依赖于$Delta x, Delta y$，而仅与$x_0, y_0$有关，$rho = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}$， 则称函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，而$ADelta x + BDelta y$称为函数$z = f(x, y)$在点
偏微分在全微分中的作用
偏微分反映了多元函数在某个方向上的变化率。通过计算多元函数在各个方向上的偏导数，我们可以了解函 数在各个方向上的变化趋势和速度。这些信息对于理解函数的整体性质和进行近似计算具有重要意义。
全微分在近似计算中应用
全微分在近似计算中应用
01
近似计算步骤
02
确定自变量的微小变化量 $Delta x, Delta y$；
梯度的方向垂直于函数在该点的等值线（或等值面），且指向函数增长的方向。梯度的 大小等于函数在该点沿梯度方向的方向导数的最大值。
方向导数定义及计算方法
方向导数的定义
设函数$z = f(x, y)$在点$P(x_0, y_0)$的 某邻域$U(P)$内有定义。自点$P$引射线 $l$，设$x$轴正向到射线$l$的转角为 $alpha (alpha in [0, 2pi))$。若极限 $lim_{rho to 0^+} frac{f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) - f(x_0, y_0)}{rho}$存 在，则称此极限为函数$f(x, y)$在点$P$ 沿方向$l$的方向导数，记作 $frac{partial f}{partial l} |_{(x_0, y_0)}$ 。
隐函数偏导数求解
隐函数求导法则
对于形如F(x, y, z) = 0的隐函数，可以使用链式法则和多元函数求导法则，求出z对x和y的偏导数。
公式法
对于某些特定的隐函数形式，可以直接套用公式求出偏导数。例如，对于形如z = f(x, y)的隐函数，可 以使用公式dz = f'x dx + f'y dy求出z的全微分，进而求出偏导数。
04
梯度、方向导数与偏导数 关系
梯度概念及其与偏导数关系
梯度的定义
梯度是一个向量，其方向是函数在该点处增长最快的方向，大小等于该方向上的方向导 数。
梯度与偏导数的关系
对于二元函数$z = f(x, y)$，其在点$(x_0, y_0)$处的梯度为$nabla f(x_0, y_0) = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0))$，其中$f_x$和$f_y$分别是函数$f$对$x$和$y$的偏导数 。
梯度在方向导数中应用
梯度与方向导数的关系
梯度向量与方向导数密切相关。在二元函数中，梯度向量的方向与函数增长最快的方向 一致，且其模长等于该方向上的方向导数的最大值。因此，通过计算函数的梯度，可以
确定函数在某一点处增长最快的方向和速率。
梯度在优化问题中的应用
在优化问题中，常常需要找到使目标函数达到极值（最大值或最小值）的点。由于梯度 指向函数增长最快的方向，因此可以通过计算目标函数的梯度并沿着其负方向进行迭代 来寻找最小值点。这种方法被称为梯度下降法，是求解无约束优化问题的一种常用方法
_{(x=x_0, y=y_0)}$的几何意义：表示曲面$z = f(x, y)$在 点$(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$处沿$y$轴方向的切线对$y$轴 的斜率。
02
多元函数偏导数求解方法
一阶偏导数计算
01
对x的偏导数
02
对y的偏导数
将多元函数中的其他变量视为常数，对x求导即可得到函数对x的一阶 偏导数。
偏导数几何意义
要点一
偏导数$frac{partial z}{part…
_{(x=x_0, y=y_0)}$的几何意义：表示曲面$z = f(x, y)$在 点$(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$处沿$x$轴方向的切线对$x$轴 的斜率。
要点二
偏导数$frac{partial z}{part…
偏导数和微分的概念和计算
汇报人：XX
汇报时间：2024-01-28
目录
• 偏导数基本概念 • 多元函数偏导数求解方法 • 全微分与偏微分关系及应用 • 梯度、方向导数与偏导数关系
目录
• 多元函数极值与最值问题 • 曲线积分与曲面积分中偏导数应用
01
偏导数基本概念
偏导数定义及意义
偏导数定义
设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的某一 邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在 $x_0$处有增量$Delta x$时，相应地函数 有增量$f(x_0 + Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$ 。如果$lim_{Delta x to 0} frac{f(x_0 + Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{Delta x}$存在 ，则称此极限为函数$z = f(x, y)$在点 $(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数，记作 $frac{partial z}{partial x}|_{(x=x_0, y=y_0)}$或$f'_x(x_0, y_0)$。
VS
方向导数的计算方法
方向导数可以通过偏导数和方向余弦来计 算。具体地，若函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则其在该点沿任意方向$l$ 的方向导数为$frac{partial f}{partial l} |_{(x_0, y_0)} = f_x(x_0, y_0)cosalpha + f_y(x_0, y_0)sinalpha$，其中$alpha$为 方向$l$与$x$轴正向的夹角。
要点三
参数方程在曲线积分 中的应用
在曲线积分中，参数方程可以方便地 表示曲线的路径，从而将曲线积分转 化为对参数的定积分。此时，被积函 数中的$dx$和$dy$可用参数方程中 的$x'(t)dt$和$y'(t)dt$代替。
曲面积分中投影法求偏导数
投影法的定义及性质：投影法是一种 将曲面上的点投影到某一坐标平面上 的方法，通过投影的变化来描述曲面 的形状。在曲面积分中，投影法可以 方便地表示曲面的面积元素。
03
计算函数在该点的偏导数；
全微分在近似计算中应用
01
利用全微分公式计算函数的近似增量 ；
02
将近似增量加到原函数值上得到新的 函数值。
03
近似计算应用举例：例如，在经济学 中经常需要计算总成本、总收入等经 济指标的变化情况。这些指标通常是 多个自变量的函数（如产量、价格等 ）。当这些自变量发生微小变化时， 我们可以利用全微分来近似计算经济 指标的变化情况从而为决策者提供有 用信息。
投影法求偏导数法则：对于投影法表 示的曲面，其偏导数可以通过投影函 数对各坐标变量的偏导数求得。具体 地，若曲面由投影函数$z=f(x,y)$给 出，则其偏导数$frac{partial z}{partial x}$和$frac{partial z}{partial y}$可由$frac{partial z}{partial x}=f_x(x,y)$和 $frac{partial z}{partial y}=f_y(x,y)$ 求得。
曲线积分中参数方程求导
要点一
参数方程的定义及性 质
参数方程是一种用参数表示曲线或曲 面上点坐标的方法，通过参数的变化 来描述曲线或曲面的形状。在曲线积 分中，参数方程可以方便地表示曲线 的路径。
要点二
参数方程求导法则
对于参数方程表示的曲线，其导数可 以通过参数方程中各分量对参数的导 数求得。具体地，若曲线由参数方程 $x=x(t),y=y(t)$给出，则其导数 $frac{dy}{dx}$可由 $frac{dy}{dx}=frac{y'(t)}{x'(t)}$求得 。
判断函数的单调性
通过求解函数的一阶偏导数，可以判断函数在某个方 向上的单调性。
寻找函数的极值点
通过求解函数的一阶偏导数并令其等于零，可以找到 函数的驻点，进一步判断驻点是否为极值点。
确定函数的凹凸性
通过求解函数的二阶偏导数，可以判断函数的凹凸性 ，从而确定函数的最大值和最小值。
06
曲线积分与曲面积分中偏 导数应用
偏导数意义
偏导数反映了多元函数沿坐标轴方向的变化 率。在物理学、工程学等领域中，偏导数常 用来描述某个量随另一个量变化而变化的快
慢程度。
偏导数存在条件
函数在某点的偏导数存在的充分条件
函数在该点的某一邻域内连续，且在该点的某一方向（如$x$方向或$y$方向）上可导。
函数在某点上的偏导数存在。
。
05
多元函数极值与最值问题
多元函数极值条件
01
一阶偏导数条件
在极值点处，函数的一阶偏导 数等于零。
02
二阶偏导数条件
在极值点处，函数的二阶偏导 数组成的Hessian矩阵正定或
负定。
03
约束条件
若函数在约束条件下取得极值 ，则极值点应满足约束条件。
约束条件下最值问题求解
03
拉格朗日乘数法
罚函数法
可行方向法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件融入 目标函数中，构造拉格朗日函数，求解拉 格朗日函数的极值点。
将约束条件转化为罚项加入到目标函数中 ，通过求解罚函数的极值点来逼近原问题 的解。
在可行域内选择一个方向进行搜索，通过 比较目标函数在该方向上的变化来确定下 一个搜索点，逐步逼近最优点。
偏导数在极值和最值问题中应用
偏微分在全微分中作用
偏微分定义
偏微分是多元函数对其中一个自变量求导而保持其他自变量不变的过程。例如，对于二元函数$z = f(x, y)$ ，其关于$x$的偏导数记作$frac{partial z}{partial x}$或$f'_x(x, y)$。
偏微分与全微分关系
全微分是偏微分的线性组合。具体来说，若函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，则其全微分可表示为 $dz = frac{partial z}{partial x}dx + frac{partial z}{partial y}dy$。这表明全微分由函数在该点的偏导数决 定。
全微分满足线性叠加原理，即若$z_1 = f_1(x, y), z_2 = f_2(x, y)$在点 $(x_0, y_0)$处可微，则$k_1z_1 + k_2z_2$在点$(x_0, y_0)$处也可微， 且$d(k_1z_1 + k_2z_2) = k_1dz_1 + k_2dz_2$。
若函数$z = f(u, v)$在点$(u_0, v_0)$ 处可微，且$u = varphi(x, y), v = psi(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处也可微 ，则复合函数$z = f[varphi(x, y), psi(x, y)]$在点$(x_0, y_0)$处也可微 ，且其全微分等于各中间变量的全微 分之和。
同理，将多元函数中的其他变量视为常数，对y求导即可得到函数对y 的一阶偏导数。
高阶偏导数计算
二阶偏导数
在一阶偏导数的基础上，继续对其中 一个变量求偏导，即可得到二阶偏导 数。注意求导顺序不同，结果可能不 同。
混合偏导数
先对其中一个变量求偏导，再对另一 个变量求偏导，即可得到混合偏导数 。同样需要注意求导顺序。
投影法在曲面积分中的应用：在曲面 积分中，投影法可以方便地表示曲面 的面积元素，从而将曲面积分转化为 对坐标平面的二重积分。此时，被积 函数中的$dS$可用投影法中的面积 元素$dxdy$代替。
偏导数在曲线和曲面积分计算中作用
描述曲线的切线方向
描述曲面的法线方向
在曲线积分中，偏导数可以描述曲线 的切线方向。通过求解曲线的参数方 程或直角坐标方程的偏导数，可以得 到曲线在任意一点的切线斜率，从而 确定切线的方向。
在曲面积分中，偏导数可以描述曲面 的法线方向。通过求解曲面的投影函 数或直角坐标方程的偏导数，可以得 到曲面在任意一点的法线向量，从而 确定法线的方向。
03
全微分与偏微分关系及应 用
全微分定义及性质
全微分定义
线性性
微分不变性
设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，若函数在点 $(x_0, y_0)$处的全增量$Delta z = f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) f(x_0, y_0)$可表示为$Delta z = ADelta x + BDelta y + o(rho)$，其 中$A, B$不依赖于$Delta x, Delta y$，而仅与$x_0, y_0$有关，$rho = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}$， 则称函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处可微，而$ADelta x + BDelta y$称为函数$z = f(x, y)$在点
偏微分在全微分中的作用
偏微分反映了多元函数在某个方向上的变化率。通过计算多元函数在各个方向上的偏导数，我们可以了解函 数在各个方向上的变化趋势和速度。这些信息对于理解函数的整体性质和进行近似计算具有重要意义。
全微分在近似计算中应用
全微分在近似计算中应用
01
近似计算步骤
02
确定自变量的微小变化量 $Delta x, Delta y$；