高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系导学案 苏教版必

高中数学第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数关系导学案苏教版必修4
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1.2.2 同角三角函数关系
课堂导学
三点剖析
1.同角三角函数关系
【例1】已知sinθ—cosθ=2
1,则sin 3θ—cos 3θ=__________________. 思路分析：把sin 3θ—cos 3
θ变形凑出含有sinθ—cosθ的代数式代入求值。

解析 ：∵sinθ—cosθ=2
1， ∴（sinθ-cosθ）2=4
1。

∴1-2sinθcosθ=4
1。

∴sinθ·cosθ=83. ∴sin 3θ-cos 3
θ
=（sinθ-cosθ)（sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ） =21·(1+83）=16
11。

答案：1611 温馨提示
若已知sinα—cosα与sinα+cosα其中一个条件，求sin 2α·cos 2 α,sin 3α±cos 3
α时，常用凑出sinα·cosα与sinα±cosα的关系来变化.
2．求三角函数式的值及证明三角函数恒等式
【例2】 已知cosα=178 ,求sinα及tanα的值. 思路分析：用同角三角函数关系解题。

解：∵cosα＜0，且cosα≠-1
∴α是第二或第三象限角.
如果α是第二象限角，那么
sinα=1715)178(1cos 122=-
-=-a . tanα=ααcos sin =1715×（-817）=8
15-. 如果α是第三象限角，那么 sinα=—1715，tan α=8
15. 温馨提示
(1)要会用公式sin 2α+cos 2
α=1的变形
sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1—sin 2α。

(2）若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限,要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算,这时有两组结果，本题就属这种类型。

【例3】求证：θθθθθθcos sin 1sin cos 1sin cos 1+=-+++. 思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明. 证法1：左边=θ
θθθsin cos 1sin cos 1-+++ =)
sin cos 1(cos cos sin cos cos 2θθθθθθθ-+++ =)
sin cos 1(cos sin 1)sin 1(cos 2θθθθθθ-+-++ =θ
θθθθθθθcos sin 1)sin cos 1(cos )sin 1)(cos sin 1(+=-+-++=右边. ∴原式成立.
思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角θ的函数,因此可用三角函数定义证明. 证法2：设P （x,y)是象限角θ终边上一点，|OP|=r ＞0,则由三角函数的定义知:
sin θ=r
y ，cos θ=r x ，且x 2+y 2=r 2。

所以,左式=r
y r x r
y
r x -+++11 =)()
()()()()(222y r x x y r x y r y r x x r y x x y r x x y r x x y r x y r x -+++-=-+++=-+++=-+++
x y
r y r x x x y r y r +
=-++-+=)())(( =θθ
cos sin 11+=+r
x r y
=右式。

故原式成立。

思路分析3：考虑到A=B ⇔A —B=0，故此题可采用比较法。

证法3：因为θθθθsin cos 1sin cos 1-+++-θθ
cos sin 1+
=
)sin cos 1(cos )
sin cos 1)(sin 1()sin cos 1(cos θθθθθθθθθ-+-++-++ =0)sin cos 1(cos 1
cos sin 22=-+-+θθθθθ, 所以θθ
θθθθcos sin 1sin cos 1sin cos 1+=-+++。

3。

关于“1”的变换
【例4】 已知tanα=2，求sin 2α—3sinαcosα+1的值.
思路分析：主要应用“1”的变换。

解：sin 2α-3sinαcosα+1
=sin 2α-3sin αcos α+（sin 2α+cos 2α)
=2sin 2α—3sin αcos α+cos 2 α
1tan 1
tan 3tan 2cos sin cos cos sin 3sin 2222222++-=++-=ααααααααα =53
121
232222=++⨯-⨯.
温馨提示
已知tanα的值，求形如asin 2α+bsinαcosα+ccos 2
α的值，可将分母1化为1=sin 2α+cos 2α代入，从而转化为关于t anα的表达式后再求值.
各个击破
类题演练1 已知1tan tan -αα
=-1，求值.
ααα
αcos sin cos 3sin +-。

解析：由已知，tan α=21
，所以，
3
51213
2
1
1tan 3
tan cos sin cos 3sin -=+-=+-=+-αααααα
变式提升1
已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα。

解：∵sin 2 α+cos 2 α=1,
∴sin 2α=1—cos 2α. 又∵αα
cos sin =tanα，
∴tan 2α=1cos 1
cos cos 1cos sin 22222-=-=ααα
αα
. 于是α2cos 1
=1+tan 2α cos 2α=α2tan 11
+。

由于tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上,
从而cosα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.
,,tan 11
,
,,tan 112
2三象限角为第二当四象限角
为第一当αααα
sinα=cosαtanα
=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-+.,,tan 1tan ,,,tan 1tan 2222三象限角为第二当四象限角为第一当αααααα 类题演练2
已知sinθ+cosθ=5
1,θ∈(0,π），求 tanθ的值。

解：将已知等式平方，得 2sinθ·cosθ=25
24-。

∵sinθ+cosθ=5
1＞0，∴sinθ＞0，cosθ＜0 ∴cosθ＜0＜sinθ,∴sinθ-cosθ＞0.
而（sinθ—cosθ）2=1-2sinθcosθ=
2549，于是sinθ-cosθ=5
7。

和已知等式联立，便可解得 sinθ=54,cosθ=53-,tanθ=43-. 变式提升2
已知f （x ）=x x +-11，若α∈（2
π,π），则f （cosα)+f(-cosα)可化简为_______________. 解：f(cosα)+f（-cosα）=α
ααααααα22
22cos 1)cos 1(cos 1)cos 1(cos 1cos 1cos 1cos 1-++--=-+++- =.|
sin |2|sin |2|sin |cos 1|sin |cos 1αααααα==++- 答案：α
sin 2 类题演练3
求证：（1)
ααααααααsin tan sin tan sin tan sin tan •+=-•； （2)x
x x x x x x x sin cos 1)1cos )(sin 1cos (sin cos sin 2+=+--+。

思路分析：（1）切化弦，（2)左边入手,利用平方差公式.
证明：（1）左边=αα
αααααααα
ααα
α
sin cos 1)cos 1(sin cos 1cos sin sin sin sin cos sin cos sin 222+=--=-=- =ααα
ααααααsin tan sin tan tan 1sin 1sin cos sin 1•+=+=+=右边.
所以,原命题成立.
(2）左边=)]1(cos )][sin 1(cos [sin cos sin 2---+x x x x x
x =22)1(cos sin cos sin 2--x x x
x =1cos 2cos sin cos sin 222-+-x x x x
x =x x x x x cos 1sin
cos 2cos 2cos sin 22-=- =)cos 1)(cos 1()
cos 1(sin x x x x +-+ =x x
x x x sin cos 1sin )cos 1(sin 2+=+
所以，原命题成立.
变式提升3
已知tan 2α=2tan 2β+1，求证：sin 2β=2sin 2α-1。

证明:因为tan 2α=2tan 2β+1, 所以1cos sin 2cos sin 2222+=ββ
βα =ββ
βββ22222cos sin 1cos cos sin 2+=+， 所以ββ
αα2222sin 1sin 1sin 1sin -+=-.
所以sin 2α（1-sin 2β)=(1—sin 2α)（1+sin 2β).
所以sin 2β=2sin 2α—1.
类题演练4
ααcos sin 21+的值为（ )
A 。

sinα+cosα
B 。

sinα—cosα C.cosα—sinα D.｜sinα+cosα|
解析:∵1+2sinαcosα=sin 2α+2sinαcosα+cos 2α
=（sinα+cosα）2
∴原式=2)cos (sin αα+=｜sinα+cosα｜，
故选D.
答案：D
变式提升4
若β∈［0，2π)，且β2cos 1-+β2sin 1-=sinβ—cosβ,则β的取值范围是（ ) A 。

[0,2π
) B.［2π,π] C.[π, 23π］ D 。

［23π
，2π)
解析:∵β2cos 1-+β2sin 1-=ββ22cos sin +
=｜sinβ|+|cosβ|=sinβ—cosβ,
∴sinβ≥0,cosβ≤0，∴β是第二象限角（包括x 轴负半轴和y 轴正半轴）. ∵0≤β＜2π,∴β∈[2π
,π］.
答案：B。