2019年高考数学一轮课时分层训练23简单的三角恒等变换理

课时分层训练(二十三) 简单的三角恒等变换
(对应学生用书第242页)
A 组 基础达标
一、选择题
1．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )
A.π2
B ．2π3
C ．π
D ．2π
C [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 故选C.]
2．(2018·东北三省三校二联)函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )
A ．[－2,2]
B ．[－3，3]
C ．[－1,1]
D ．⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－
32，32 C [由于f (x )＝sin x ＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x ＋cos x cos π6－sin x sin π6＝12sin x ＋
32cos x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－1,1]，故选C.]
3．化简：cos 40°
cos 25°1－sin 40°
＝( )
【导学号：79140128】
A ．1
B ． 3 C. 2
D ．2
C [原式＝cos 2
20°－sin 2
20°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°
cos 25°＝
2，故选C.]
4．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＜2α＜π，tan ()α－β＝12，则tan(α＋β)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－2
11
D ．211
A [由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－3
4
，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－
β)]＝
tan 2α－tan(α－β)
1＋tan 2αtan(α－β)
＝－2.]
5．(2018·济南一模)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2
＋n ＝4，则
m n
2cos 2
27°－1
＝( ) A ．8 B ．4 C ．2
D ．1
C [由题意得n ＝4－m 2
＝4－4sin 2
18°＝4cos 2
18°，则
m n
2cos 2
27°－1
＝
2sin 18°4cos 2
18°cos 54°＝2sin 18°×2cos 18°cos 54°＝2sin 36°
sin 36°＝2，故选C.]
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝1
3，则cos(α－β)＝________.
－7
9 [由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )， sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 又sin α＝1
3
，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2
α＋sin 2
α＝2sin 2
α－1 ＝2×19－1＝－79
.]
7．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝1
3
，则tan αtan β的值为________．
13 [因为cos(α＋β)＝1
6
， 所以cos αcos β－sin αsin β＝1
6. ①
因为cos(α－β)＝1
3
，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝1
3. ②
①＋②得cos αcos β＝1
4
.
②－①得sin αsin β＝1
12
.
所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝1
3
.]
8．(2018·石家庄质检(二))在平面内将点A (2,1)绕原点按逆时针方向旋转3π
4，得到点B ，
则点B 的坐标为________.
【导学号：79140129】
⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
2
，22 [由题意得|OB |＝|OA |＝5，设射线OA 与x 轴正半轴的夹角为θ，
则易得sin θ＝
15＝
55，cos θ＝25
＝255，则x B ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝5
⎣⎢⎡⎦⎥⎤255×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－22－55×22＝－322. y B ＝5sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋
3π4＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋25
5
×22＝22，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，22.]
三、解答题
9．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，
并求出α＋β的值． [解] 由cos β＝
55，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
得sin β＝25
5
，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝－13＋21＋2
3＝1.
∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
∴π2＜α＋β＜3π
2， ∴α＋β＝5π4
.
10．(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .
(1)当f (x )＝2时，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值； (2)若g (x )＝f (2x )，求函数g (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．
[解] (1)依题意，sin x ＋cos x ＝2⇒(sin x ＋cos x )2
＝2⇒sin 2x ＝1， ∴cos 2x ＝0，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝12.
(2)g (x )＝f (2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，1. ∴函数g (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－1，2]．
B 组 能力提升
11．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α，
则sin 2α的值为( ) A.1
18 B ．－118
C.1718
D ．－1718
D [由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α，得3(cos 2α－sin 2
α)＝22(cos α－sin α)，又
α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2
，π，得cos α－sin α≠0，所以cos α＋sin α＝
2
6
，两边平方可得1＋sin 2α＝118，则sin 2α＝－17
18
，故选D.]
12．(2018·银川质检)关于函数f (x )＝2cos 2
x
2＋3sin x (x ∈[0，π])，下列结论正确的是
( )
A ．有最大值3，最小值－1
B ．有最大值2，最小值－2
C ．有最大值3，最小值0
D ．有最大值2，最小值0
C [由题意得f (x )＝2cos 2x 2＋3sin x ＝cos x ＋1＋3sin x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，因
为0≤x ≤π，所以π6≤x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1,0≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1≤3.所
以f (x )的最大值为3，最小值为0，故选C.]
13．已知0＜θ＜π，tan ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.
－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－4
3
sin θ，
∴sin 2
θ＋cos 2
θ＝sin 2
θ＋
169sin 2θ＝259
sin 2
θ＝1. ∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴c os θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－1
5
.]
14．(2017·广东湛江一模)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图像相邻
两条对称轴的距离为π
2，且f (0)＝1.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α、β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)的值.
【导学号：79140130】
[解] (1)∵函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图像相邻两条对称轴的距离为
π2，∴T 2＝πω＝π
2，∴ω＝2， 又f (0)＝1，∴1
2A ＝1，∴A ＝2，
∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－π3＝2cos(2α－π)＝－2cos 2α＝－1013， ∴cos 2α＝513，sin 2α＝1－cos 2
2α＝1213，
则tan 2α＝sin 2αcos 2α＝12
5
.
∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6－π3＝2cos 2β＝65， ∴cos 2β＝35，∴sin 2β＝1－cos 2
2β＝45，
则tan 2β＝sin 2βcos 2β＝4
3
.
∴tan(2α－2β)＝tan 2α－tan 2β1＋tan 2α·tan 2β＝125－431＋125×
43
＝16
63
.。