归纳、猜想、证明答案

1、x
x
x
x
n x x x x
2
2
2
2
1,
41,
31,
21++++
2、
()()12121
+-n n
3、1+n n
4、()
1
1
21
1
1
113
22
2
2
++<
++++
+n n n
5、221
1;
815,47,23--n n
6、
2
1
43211
2815,47,23,1--====
=n n a a a a a 猜想
下面用数学归纳法证明：
（1） 当n=1时，由上述可知，显然成立
（2） 假设n=k （k ∈N ）时，命题成立，即
2
1
1
2--
=k k
a
，那么
()()()2
21
111
1111
111
221
22212212,1-++-++++++-=⇒+-
=+=-+=+-∴-+=+=+=k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a S S k k k k n 时
∴φ4 ν=κ+1时，命题成立
由（1）（2）知，对n ∈N ，命题成立
7、解：猜想
()()N n n a a a a a
a n n ∈≥⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++++2212
1
111
证明：n=1，
1
1
1
1≥⋅
a
a 显然，n=2，
()422211
211221
2
1
=+≥++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
+
+a a a a a a a a 也成立，
假设k a a k
i i k
i i 2
111≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∙∑∑==，则当n=k+1时，
()
12
2
121111
1
111111111111
111
121211
1111111
+∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑=++=++≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∙++⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅==++===+=+==+=+=+=+=k k k a a a a a a a a a a a a a a
a k k i k
i k i i k k
i i
k i i k i i k k i i k k i i k i k k i i k k i i k i i
k i i
故n=k+1时，不等式也成立
8
、当n=1时，
()12
+n >3n
当n=2时，
()12
+n =3n
当n=3时，
()12
+n <3n
9、
()()N n n n n q ∈≥=,2
下面用数学归纳法证明： 当N n n ∈≥,2时，等式
()
11
3
2
1
-=++++-a a
a a a n n n 成立
1︒当n=2时，
()()121
21212
1
=⨯=-=a
a q ，结论成立
2︒假设当n=k （k=2）时结论成立，则
()()()()()()()11111111111113
2
1
-+=⎪⎭⎫
⎝⎛-+++=++-+=-+=+-=++++++-a a a a a a a a a
a a k k k k k k k k k k k k k k
k k
即当n=k+1时结论成立
由1︒、2︒可知，对于大于1的自然数n ，存在()n n q =，使等式()()
11
2
1
-=+++-a a
a a n n n q 恒成立
10、n+1
11、（1）
n
2
（2）
()1
222
1++-n n n n
（3）()()()N k k n n k n n ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=--=+22122
1
12、证明：设
()
52
2
≥>k k k
，则当n=k+1时，
()()
()()⎪⎭⎫ ⎝
⎛>⋅>
-+
=
--+++=⋅>⋅=-+-++221
21222111122
2
2
2
2
2
221
k k k k k k k k k k k
综上所述，n=1或n=5时，(
)2f
>1
12
2
+-n
n ；n=2或4时，(
)2f
=1
12
2+-n
n
；n=3时，(
)2f
<1
12
2+-n
n
.
13、
a a a a a a sin 3cos sin 2cos 32==
猜想
a na a n sin cos =
以下用数学归纳法证明：
1︒当n=1时，
a a
a sin cos 1=
，猜想正确 2︒假设当n=k 时猜想正确，即
a ka a k sin cos =，则
()[]()a a k a a ka a ka ka a a
ka
a k a a a k
k sin 1cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos 11sin cos 1+=
-=-=-+-=+
∴φ4 ν=κ+1时，猜想也正确
据1︒、2︒可知，对任意的n ∈N ，猜想都正确
14、（1）
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3,2,221b a b a P P （2）猜想
⎪
⎭⎫ ⎝⎛++=1,1n b n a
P n ，下面用数学归纳法证之： n=1时，已得；假设n=k 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,1k b k a P k ，通过（0，b ），⎪⎭⎫
⎝
⎛+0,1k a 的直线方程为()1
11=++y b
x a
k ，与
x a b y =
联立得
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++2,21k b k a P k ，也即当n=k+1时，猜想也真.
15、(n-2)π
16、()321
-n n
17、2
2
+-n n
18、n 2
19、()1
222
1++-n n n n
20、⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=--=+k n n k n n 2,2
12,21
21、证明：
⇒
=+=+
+
+
==++=
++=⇒=⇒
=++01
1
1
,01
1
11101336
5
4
363
2
3233
2
S S z
z
z
S S z
z
z
z S z
z
z z z 猜想
3=S
n。

证明：n=1时显然，设
3=S
k
，则当n=k+1时，
()01111032333231333313=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+++==+++++z z z a a a S S S z k k k k k k k
22、证 先用不完全归纳法得
()
52
2
≥>n n n
，再用数学归纳法证明如下：(1)当n=5时，
5
2
2
5
>显然。

(2)设
()
52
2
≥>k k k
，则n=k+1时，
()()
()
()0
201221112
122
2
2
2
2
2
1
>-⇐
>--⇐>
⇐>
⋅⇔>-++++k k k k k k k k
k 因k-1≥4，故最后一个不等式成立。

由(1)，(2)得
()
52
2
≥>n n n。

即从第5项起
b
a n n
>
23、(1)
12+=
n n S n
(2)①当n=1时，
11122211+⨯=
=
=S 成立 ②假设当n=k 时，
12+=k k S k ，则当n=k+1时，
()()()
S S k a k S k k k k -=∙=
+++++1
2
1
2
111
()()()()1
11212222
2
2
21
11+++=
+∙
+=∙+=∴+++k k k k k
k
k
k S
k
k S k
k ,这表明当n=k+1时猜想成立
根据①②可知对
()12,1
2,2
+=
=+=
∈n n n n
N n n
S a S n n n
24、(1)b 1=2，b 2=8，b 3=18，b 4=32。

(2)由(1)猜想：b n =2n
2
(用数学归纳法证明略)。

(3)令
b
an q
pn n n +=+-2
2，(即通项为n 的一次函数)2=⇒ap ，pb+aq=-1，bq=0，又q ≠0，
()0021,20≠=+⇒-==⇒=∴pq q p aq ap b 。

故存在非零常数p ，q ，使⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+q pn a n 为等
差数列，例如p=2，q=-1即为一个实例。

25、n-1
26、n+1
27、f(n)=f(n-1)+f(n-2)
28、221
1;
815,47,23--n n
29、n!
30、12;
52,21,32+n
31、
1
22111=⇒-=⇒-=a a S a S
n n
n ，又
23
422212=
⇒-=+=a a a a S 。

同理
815,4743==a a 。

猜想2
2
1
1
--=n n
n
a 。

证明：n=1时，显然成立。

设n=k 时，
221
1--=
k k
k
a
，则
当n=k+1时，
a S S
k k k 1
1
+++=，又
()2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2121
21
221
1
1
1
1
11
11
k
k k k k k
k k k k
k k k
k k
a a a a S a S
k k k k k -=⇒+--=-+⇒+--=⇒--=-=+++-++-+-
32、猜想：1
2
-22+32-42+…+(-1)n+1n 2=(-1) n+1(1+2+3+…+n)(n ∈N)。

证明：n=1时显然成立，假设n=k
时上式成立，则当n=k+1时，
()()()()
()()()
()()()()()2211212
11111111143212
2
2
2
1
2
22
1
2
2
2
2
++=⎪⎭
⎫
⎝⎛++-∙+=+
+=
+
+
+-+-=--+--+--++++++k k k k k k k k k k k k k k k k 左证毕。

33、解 设
()1
2
11
12
2
2
+-
=+-=
n
n
n n F ，而()1
2
122+-
=n
f
，因而只须比较2n 与n 2的大小。

n=1时，21＞12，n=2时，22=22，n=3时，23＜32，n=4时，24=42，n=5时，25＞52。

猜想n ≥5时，2n ＞n 2。

简证：设2k ＞k 2(k ≥5)，则当n=k+1时，
2k+1=2·2k ＞2·k 2=k 2+k 2+2k+1-2k-1=(k+1)2 -(k-1)2-2＞(k+1)2。

((k-1)2＞2)，综上所述，n=1或n ≥
5时，
()11
22
2
+->n n
f 。

n=2或4时，()11
22
2
+-=n n f ，n=3时，()1
122
2
+-<n n
f 。

34、(1)
⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3,2,221b a b a P P (2)猜想
⎪
⎭⎫ ⎝⎛++1,1n b n a P n 。

下面用数学归纳法证之：n=1时，已得。

假设n=k 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++1,1k b k a P k ，通过(0，b)，⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,1k a 的直线方程为()111=++y b x a k ，与x a b y =联立得
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++2,21k b k a P k ，也即当n=k+1时，猜想也真。