(必考题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)

一、选择题
1．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．3
2．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b +的最小值为（ ） A ．64 B ．81 C ．100 D ．121 3．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得
2
020ax x b ++=成立，则22a b a b +-的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．22 4．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．当02x π
<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．436．不等式112
x x ->+的解集是（ ）． A ．{}|2x x <-
B ．{}|21x x -<<
C ．{}|1x x <
D ．{}|x x ∈R 7．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是
A
．( B
．⎡⎣ C
．⎡⎤⎣⎦ D ．
[
8．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最小值为（ ）
A ．-1
B ．2
C ．4
D ．5
9．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ）
A ．14
B ．4
C ．18
D ．8
10．设a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，则（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a≥b
D ．a≤b
11．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为
2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝ 12．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t +=+，那么（ ） A ．M N <
B ．M N >
C ．M N
D ．M 与N 的大小关系和t 有关
二、填空题
13．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)x
x c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c
+++≠+的最小值是___________． 14．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236x y y xy
++的最小值是_________． 15．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩
则2z x y =-的最大值为___．
16．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为________.
17．已知0a >，0b >，
182+1
a b +=，则2a b +的最小值为__________． 18．在下列函数中，
①1y x x =+ ②1123212y x x x ⎛⎫=+
+< ⎪-⎝⎭ ③()2114141
x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
其中最小值为2的函数是__________.
19．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________.
20．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a ，35+20a a =，若存在两项,m n a a 使得=32m n a a ，则
14m n
+的最小值为______ 三、解答题 21．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =.
（1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x =
的值域； （2）当0a >时，解不等式()0f x <.
22．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求
11x y +的最小值； （2）当k 取何值时，不等式23208
kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 23．在观察物体时，从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角．研究表明，视角在[26,30]︒︒范围内视觉效果最佳．某大广场竖立的大屏幕，屏幕高为20米，屏幕底部距离地面11.5米．站在大屏幕正前方，距离屏幕所在平面x 米处的某人，眼睛位置距离地面高度为1.5米，观察屏幕的视角为θ（情景示意图如图所示）．
（1）为探究视觉效果，请从sin θ，cos θ，tan θ中选择一个作为y ，并求()y f x =的表达式；
（2）根据（1）的选择探究θ是否有达到最佳视角效果的可能．
24．用硬纸做一个体积为32，高为2的长方体无盖纸盒，这个纸盒的长、宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值.
25．已知函数2()3f x x ax a =-++.
（1）当7a =时，解不等式()0f x >；
（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
26．已知a R ∈，若关于x 的不等式2
(1)460a x x 的解集是(3,1)-．
(1)求a 的值；
(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.
【详解】
因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，
所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，
由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥， 所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，
当且仅当124a b -=+=时等号成立.
因此，+a b 的最小值为7.
故选：B.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．D
解析：D
【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ， z ax by =+中，由于0,0a b >>，a b 是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值，
则561a b +=，
所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当111a b ==
时，等号成立，故56a b
+的最小值为121． 故选：D ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错． 3．D
解析：D
【分析】
根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方
程、二次函数，可得1ab =，将22
a b a b
+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可. 【详解】
解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，
所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩
， 又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，
所以440ab -≥，所以440ab -=，
即0,0,1a b ab >>=，
所以222()22a b a b ab a b a b a b a b
+-+==-+≥--- 当且仅当2a b a b
-=
-时取得最小值. 故选：D.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．C
解析：C
【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系，然后再判断二次函数的图象．
【详解】
∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<， ∴21210b a c a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩
，∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩， 2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．
故选：C ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．
5．C
解析：C
【解析】
0,tan 02x x π
<∴，
()21cos28sin sin2x x f x x
++=
2222cos 8sin 28tan 14tan 42sin cos 2tan tan x x x x x x x x ++===+≥=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x
++=的最小值为4，选C. 6．A 解析：A
【解析】
分析：首先对原式进行移项、通分得到302
x ->+，之后根据不等式的性质可得20x +<，从而求得不等式的解集.
详解：将原不等式化为1202x x x --->+，即302
x ->+， 即302
x <+，则有20x +<，解得2x <-， 所以不等式102
x x ->+的解集为{}|2x x <-，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目.
7．D
解析：D
【分析】
将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线
2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010
x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22
11
2422
m m -+-⨯+≤,解得m ≤≤;故选D.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
8．B
解析：B
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩
作出可行域如图，
化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．
联立1030
x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2． z ∴的最小值为1
3222+=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
9．C
解析：C
【分析】
根据基本不等式求解即可得到所求最大值．
【详解】 由题意得，221121112222228
x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，
所以xy 的最大值是
18
． 故选C ．
【点睛】
运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab +≥
逆用就是222a b ab +；,0)2a b a b +≥>逆用就是2
(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭
等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件． 10．C
解析：C
【解析】
试题分析：作差法化简a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0．
解：∵a=3x 2﹣x+1，b=2x 2+x ，
∴a ﹣b=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2≥0，
∴a≥b ，
故选C ．
考点：不等式比较大小．
11．A
解析：A
【分析】
由约束条件作出可行域，由y z x
=
的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．
【详解】
解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩
作出可行域如图：
目标式y z x =
表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14
，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2
π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．
12．A
解析：A
【分析】
对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小.
【详解】
()()()()()
b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()
0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A
【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.
二、填空题
13．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析：
【分析】
根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值.
【详解】
因为220bx x a -->的解集为{}(,,)x
x c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得
1ab =-，又1c b
=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c
+-+++++++===++++ ()6
b c
b c =++≥+，当b c +=228a b b c
+++的最小值是
故答案为：【点睛】
用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.
14．【分析】由题得化简整理得再利用基本不等式可得解【详解】由得则当且仅当时等号成立此时或；则的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一 解析：11
【分析】 由题得1x y x y xy xy
+=⇒+=，化简整理得()2223636361xy xy x y y xy xy xy xy
-+++==+-再利用基本不等式可得解. 【详解】 由110,0,1x y x y
>>+=， 得1x y x y xy xy
+=⇒+=， 则()2223636x y x y x y y xy xy
+++++=
()2223636x y xy
x xy y xy xy
+-++++== ()236363612111xy xy xy xy xy xy xy
-+==+-≥⨯-=， 当且仅当6xy =时等号成立，
此时3333x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或3333
x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩； 则2236x y y xy
++的最小值是11. 故答案为：11.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=
解析：1
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【详解】
由z=x-2y 得1122
y x z =-，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线11 22
y x z
=-，，
11
22
y x z
=-，的截距最小，
此时z最大，
由
22
22
x y
x y
-
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，得A（1，0）．
代入目标函数z=x-2y，
得z=1-2×0=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
16．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A时此时目标函数在轴上的截距最大此时目
解析：6
【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案.
【详解】
由题意，作出不等式组
4
1
x y
x y
x
-≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
所表示的平面区域，如图所示，
因为目标函数2
z x y
=+，可化为直线2
y x z
=-+，当直线2
y x z
=-+过点A时，此时目标函数在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
又由
4
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得(2,2)
A，
所以目标函数2
z x y
=+的最大值为2226
z=⨯+=.
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
17．8【解析】由题意可得：则的最小值为当且仅当时等号成立点睛：在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得若忽略了某个条件就会出 解析：8
【解析】
由题意可得：
(
)21
11821211161102111029,
a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎡⎤=++⨯+ ⎪⎣⎦+⎝⎭
+⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭
⎛≥+ ⎝= 则2a b +的最小值为918-=. 当且仅当3,52
a b ==时等号成立. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
18．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数 解析：①③
【分析】
结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案.
【详解】
对于①，函数1y x x =+
是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数， 当()0,x ∈+∞
时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x =+
的最小值为2，满足题意；
对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=+
+=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12
x <，所以120x ->，
则11244212x x -+-≥=--，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立， 所以1124212y x x ⎛
⎫=--+
-≤ ⎪-⎝⎭，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意； 对于③，222114144141
x x x y x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭， 因为1x >，所以2104x x
+>，
所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即
2x =
所以()2114141
x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x
=+， 因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以sin cos 0x x >，
所以22
221sin cos 2sin cos x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x
=，即sin cos 1x x =时等号成立， 因为11sin cos sin 222
x x x =≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x
=+
的最小值不是2，不符合题意； 故答案为：①③.
【点睛】 本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
19．【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出再根据向量相等得到最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为DE 分别为ABAC 的中点所以又所以
由所以当且仅当时取等号；故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本 解析：116
【分析】 首先根据平面向量的线性运算表示出()11122
AF t AB AC =-+，再根据向量相等得到12
x y +=，最后利用基本不等式计算可得； 【详解】
解：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =， 所以()
12AF AD DF AD tDE AB t AE AD =+=+=+- ()1111112222
2AB t AC AB t AB AC ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ 又AF x AB y AC =+，所以()11212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由12x y += 所以21216
x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当14x y ==时取等号； 故答案为：
116
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题. 20．【分析】由先求出数列的通项公式由找到把乘以1等量代换最后利用均值定理即可求解【详解】解：设正项等比数列的公比为由又所以所以即当且仅当即时取等号则的最小值为故答案为：【点睛】考查等比数列的性质以及用均 解析：34
【分析】
由28516a a a ，35+20a a =
找到12m n +=,把14m n
+乘以1，等量代换，最后利用均值定理即可求解. 【详解】
解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，
由28516a a a ，255516,16a a a ==，
又35+20a a =，所以34a =，25316=4,24
a q q a === 5515=1622n n n n a a q ---=⨯=，
，所以1110222n m m n a a --==，即12m n +=，
14145531212123124
m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当
123n m m n =，即4,8m n ==时取等号， 则14m n +的最小值为34
故答案为：
34. 【点睛】
考查等比数列的性质以及用均值定理求最小值，基础题.
三、解答题
21．（1）91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
；（2）答案见解析. 【分析】
（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，求得18
a =，得出
()12584
f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解； （2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集. 【详解】
（1）由题意，函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，
所以2
()(21)2f x ax a x =-++，
因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根， 所以228c a a ⨯==，所以18a =，所以()12584
f x y x x x ==+-， 当0x >
时，
125518444x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立； 当0x <
时，125125598484
44x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当4x =-时等号成立.
故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
. （2）由2()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，
因为0a >时，分三种情况讨论：
①当
12a <，即12a >时，1()02f x x a <⇒<<； ②当
12a =，即12a =时，无解； ③当12a >，即102a <<时，1()02f x x a
<⇒<<， 综上所述，当12a >
时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当12
a =时，不等式()0f x <的解集为∅； 当102a <<
时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】
解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；
（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.
22．（1）
33+；（2）30k -<≤. 【分析】
（1）将代数式()123
x y +与11x y +相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围.
【详解】
（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，
所以，()1111112132333333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，
当且仅当x =时，等号成立，
因此，11x y +的最小值为33
+；
（2）由于不等式23208kx kx +-
<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308
-<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得2030k k k <⎧⎨∆=+<⎩
，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤.
【点睛】
结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：
设()()2
0f x ax bx c a =++≠ ①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨
∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨
∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩
； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00
a <⎧⎨∆≤⎩. 23．(1)
sin θ=
;(2)视角30达到最佳． 【分析】 (1)过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB ==,10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=,sin sin()sin cos cos sin θαβαβαβ=-=-,化简即可得出答案．
(2)由基本不等式可得
1sin 2
θ=
≤=,即可得出答案． 【详解】
解:过点A 作AF CE ⊥于F ,则 1.5EF AB == 10DF DE EF =-=,30CF =,设CAF α∠=,DAF β∠=
(1)sin sin()θαβ=-sin cos cos sin αβαβ=-
=
-
= (2)
1sin 2θ=≤=,
当且仅当2290000x x =,即103x =时,sin θ取到最大值12 因为sin θ在(0,90)︒上单调递增,所以观察屏幕视角最大值为[]3026,30︒∈︒︒
即此时视角达到最佳．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用,考查了基本不等式,考查了三角恒等变换.求最值时,我们常用的思路有:根据函数图像求最值,根据函数单调性求最值,结合导数求最值,运用基本不等式求最值,换元法求最值等.在运用基本不等式求最值时,易错点在于忽略一正二定三相等. 24．当这个纸盒的长为4、宽为4时，表面积最小，最小值为48
【分析】
设底面矩形的长为x ，利用长方体的体积公式求出
16x ，即宽为16x ，记所求表面积为S ，进一步利用表面积公式和均值不等式求出结果.
【详解】 解：设底面矩形的长为x ，则宽为16x
，记所求表面积为S ，则 1664162222164S x x x x =+⨯+⨯⨯
=++， 因为x >0，所以646442432x x x x +
⨯=，即321648S +=， 当且仅当644x x
=
，即x =4时取等号， 此时宽也为4. 所以当这个纸盒的长为4、宽为4时，表面积最小，最小值为48.
【点睛】
本题考查的知识要点：长方体面积和体积公式的应用，均值不等式的应用，属于基础题. 25．（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.
【分析】
（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集.
（2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围.
【详解】
（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->，
∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .
（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立，
24(3)0a a ∴∆=-+≤，
即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 26．(1)3；(2)6b ≥-
【分析】
(1)将1x =代入方程2
(1)460a x x ，即可求出a 的值； (2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，利用分离参数即可求出b 的取值范围.
【详解】
(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根，将1x =代入方程解得3a =；
(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立，即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立， 当0x =时，03≤恒成立，此时a R ∈；
当2(]0,x ∈时，不等式可转化为13()b x x -≤+在[0,2]上恒成立，
因为1
3()36x x +≥⨯=，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立， 所以6b -≤，所以6b ≥-,
综上，实数b 的取值范围为6b ≥-.
【点睛】
本题主要考查三个二次式关系的应用，不等式恒成立问题的求法，属于中档题.。