人教A版高考数学(文)复习课件 专题 数学思想方法第1部分专题7第1讲
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▪(3)挖掘隐含条件，准确界定参数的取值范围， 参数的范围决定图形的范围．
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▪
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021
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解 (1)由 e＝ 33，得 1－ba22＝13，即 b2＝23a2，① 将 x＝ 26，y＝1 代入方程ax22＋by22＝1 中， 得23a2＋b12＝1，② 由①②解得 a2＝3，b2＝2， ∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.
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＝(a－1)＋a－4 1＋5≥9. 当且仅当 a－1＝a－4 1， 即 a＝3 时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法二 若设 ab＝t，则 a＋b＝t－3， 所以 a，b 可看成方程 x2－(t－3)x＋t＝0 的两个正根．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
▪ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月26日星期一2021/7/262021/7/262021/7/26
▪ 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021 3:00:49 PM
▪ 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/262021/7/262021/7/26Jul-2126-Jul-21
▪ 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/262021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021
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规律方法 (1)等差、等比数列中，通项公式、前 n 项和公式， 可以看成 n 的函数，可以用函数方法解决． (2)数列求值问题的实质是解方程，所以，方程思想在数列问题 中也有着重要的应用．
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∴k1·k2＝32－－xy0022， ∵点 P 在圆 O 上， ∴x20＋y20＝5，即 y20＝5－x20， ∴k1·k2＝32－－xy0022＝2－3－5－x02x20＝3x02－－x302＝－1. 探究提高 考查直线与圆锥曲线相交时，往往要把直线方程与 圆锥曲线方程联立，经过消参等过程求解相关问题，充分体现 了函数与方程思想的应用．
▪ 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/26
▪ 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 ▪ 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 ▪ 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 ▪ 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
▪(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)， 当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函 数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数 的性质也离不开不等式．
▪(2)数列的通项与前n项和公式是自变量为正整 数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分 重要，数列也可用方程思想求解．
▪(3)①解析几何中的许多问题，需要通过解二元 方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函 数的有关理论；
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▪数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两 个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是 借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联 系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用 函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借 助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用 曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
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【训练 1】 若 a，b 是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取 值范围为________．
解析 法一 (看成函数的值域) ∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝aa＋ －31. 而 b＞0，∴aa＋ －31＞0.即 a＞1 或 a＜－3， 又 a＞0，∴a＞1，故 a－1＞0. ∴ab＝a·aa＋ －31＝a－12＋a－5a1－1＋4
[微题型 3] 函数与方程思想在解析几何中的应用 【例 1－3】 已知椭圆 C 的方程是ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，离心率
为 33，且经过点( 26，1)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)圆 O 的方程是 x2＋y2＝a2＋b2，过圆 O 上任一点 P 作椭圆 C 的两条切线，若切线的斜率都存在，分别记为 k1，k2，求 k1·k2 的值．
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(2)设 P(x0，y0)，过点 P 的切线方程为 y－y0＝k(x－x0)， 由y2－x2＋y0＝3yk2＝x－6 x0 得，(2＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(kx0－y0)2 －6＝0. ∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0， 即[6k(y0－kx0)]2－4(2＋3k2)[3(kx0－y0)2－6]＝0， 整理得(3－x20)k2＋2x0y0k＋2－y20＝0， ∵椭圆 C 的两条切线的斜率分别为 k1，k2，
▪ 第1讲 函数与方程思想、数形 结合思想
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▪ 1．函数与方程思想
▪ 函数与方程是中学数学的重要概念，它们 之间有着密切的联系．函数与方程的思想是 中学数学的基本思想，主要体现在依据题意， 构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决 问题，是历年高考的重点和热点．
▪
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▪数形结合思想是重要的思维方式，在高考中占 有非常重要的地位．近几年的高考题中的曲线 方程问题、函数与不等式问题、参数范围问题、 可行域与目标函数最值、向量两重性等，都用 到了数形结合的思想方法，它不仅是我们解题 的一种思想方法，还是我们进一步学习、研究 数学的有力武器.
▪ 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
▪ 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/262021/7/26July 26, 2021
▪②立体几何中有关线段、角、面积、体积的计 思想概述 ·应用点拨
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▪ 2．数形结合思想
▪ 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言 与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维 和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或 示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直 观为精确，从而使问题得到解决．
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即－ 1－1－ a≥a＜ 0，0， ∴－1＜a≤1. 故 a 的取值范围是(－1,1]．
探究提高 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解 的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方 程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化 为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等 式或构造函数加以解决．
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[微题型 2] 函数与方程思想在数列中的应用
【例 1－2】 已知函数 f(x)＝13x，等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)
－c，则 an 的最小值为________． 解析 由题设，得 a1＝f(1)－c＝13－c；
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29；
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法二 令 t＝sin x，由 x∈(0，π2]， 可知 t∈(0,1]． 将方程变为 t2＋t－1－a＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设 f(t)＝t2＋t－1－a. 其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t＝－12，如图所示． 因此 f(t)＝0 在(0,1]上有解等价于ff01＜≥00，.
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热点一 函数与方程思想在解题中的应用 [微题型 1] 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等 式问题 【例 1－1】 如果方程 cos2x－sin x＋a＝0 在(0，π2]上有解，求 a
的取值范围．
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▪ 方程的思想与函数的思想密切相关：方程
f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交
点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方
程f(x)－y＝0，通过方程进行研究；方程f(x)＝
a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数
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▪函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几 个方面思考：
▪在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注 意三点：
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▪(1)要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义 以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论 既分析其几何意义又分析其代数意义；
▪(2)选择好突破口，恰当设参、合理用参，建立 关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227，
又数列{an}是等比数列， ∴－922＝13－c×－227，
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∴c＝1. 又∵公比 q＝aa32＝13， 所以 an＝－2313n－1＝－213n，n∈N*. 因此，数列{an}是递增数列， ∴n＝1 时，an 有最小值 a1＝－23. 答案 －23
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解 法一 设 f(x)＝－cos2 x＋sin x(x∈(0，π2])． 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，a＝f(x)有解． ∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝(sin x＋12)2－54， 且由 x∈(0，π2]知 sin x∈(0,1]． 易求得 f(x)的值域为(－1,1]． 故 a 的取值范围是(－1,1]．
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▪
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021
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解 (1)由 e＝ 33，得 1－ba22＝13，即 b2＝23a2，① 将 x＝ 26，y＝1 代入方程ax22＋by22＝1 中， 得23a2＋b12＝1，② 由①②解得 a2＝3，b2＝2， ∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1.
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＝(a－1)＋a－4 1＋5≥9. 当且仅当 a－1＝a－4 1， 即 a＝3 时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 法二 若设 ab＝t，则 a＋b＝t－3， 所以 a，b 可看成方程 x2－(t－3)x＋t＝0 的两个正根．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
▪ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月26日星期一2021/7/262021/7/262021/7/26
▪ 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021 3:00:49 PM
▪ 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/262021/7/262021/7/26Jul-2126-Jul-21
▪ 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/262021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021
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规律方法 (1)等差、等比数列中，通项公式、前 n 项和公式， 可以看成 n 的函数，可以用函数方法解决． (2)数列求值问题的实质是解方程，所以，方程思想在数列问题 中也有着重要的应用．
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∴k1·k2＝32－－xy0022， ∵点 P 在圆 O 上， ∴x20＋y20＝5，即 y20＝5－x20， ∴k1·k2＝32－－xy0022＝2－3－5－x02x20＝3x02－－x302＝－1. 探究提高 考查直线与圆锥曲线相交时，往往要把直线方程与 圆锥曲线方程联立，经过消参等过程求解相关问题，充分体现 了函数与方程思想的应用．
▪ 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/26
▪ 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 ▪ 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 ▪ 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 ▪ 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
▪(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)， 当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函 数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数 的性质也离不开不等式．
▪(2)数列的通项与前n项和公式是自变量为正整 数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分 重要，数列也可用方程思想求解．
▪(3)①解析几何中的许多问题，需要通过解二元 方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函 数的有关理论；
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▪数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两 个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是 借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联 系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用 函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借 助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些 属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用 曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
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【训练 1】 若 a，b 是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取 值范围为________．
解析 法一 (看成函数的值域) ∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝aa＋ －31. 而 b＞0，∴aa＋ －31＞0.即 a＞1 或 a＜－3， 又 a＞0，∴a＞1，故 a－1＞0. ∴ab＝a·aa＋ －31＝a－12＋a－5a1－1＋4
[微题型 3] 函数与方程思想在解析几何中的应用 【例 1－3】 已知椭圆 C 的方程是ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，离心率
为 33，且经过点( 26，1)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)圆 O 的方程是 x2＋y2＝a2＋b2，过圆 O 上任一点 P 作椭圆 C 的两条切线，若切线的斜率都存在，分别记为 k1，k2，求 k1·k2 的值．
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(2)设 P(x0，y0)，过点 P 的切线方程为 y－y0＝k(x－x0)， 由y2－x2＋y0＝3yk2＝x－6 x0 得，(2＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(kx0－y0)2 －6＝0. ∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0， 即[6k(y0－kx0)]2－4(2＋3k2)[3(kx0－y0)2－6]＝0， 整理得(3－x20)k2＋2x0y0k＋2－y20＝0， ∵椭圆 C 的两条切线的斜率分别为 k1，k2，
▪ 第1讲 函数与方程思想、数形 结合思想
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▪ 1．函数与方程思想
▪ 函数与方程是中学数学的重要概念，它们 之间有着密切的联系．函数与方程的思想是 中学数学的基本思想，主要体现在依据题意， 构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决 问题，是历年高考的重点和热点．
▪
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▪数形结合思想是重要的思维方式，在高考中占 有非常重要的地位．近几年的高考题中的曲线 方程问题、函数与不等式问题、参数范围问题、 可行域与目标函数最值、向量两重性等，都用 到了数形结合的思想方法，它不仅是我们解题 的一种思想方法，还是我们进一步学习、研究 数学的有力武器.
▪ 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
▪ 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/262021/7/26July 26, 2021
▪②立体几何中有关线段、角、面积、体积的计 思想概述 ·应用点拨
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▪ 2．数形结合思想
▪ 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言 与直观的图形语言有机结合，达到抽象思维 和形象思维的和谐统一．通过对规范图形或 示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直 观为精确，从而使问题得到解决．
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即－ 1－1－ a≥a＜ 0，0， ∴－1＜a≤1. 故 a 的取值范围是(－1,1]．
探究提高 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解 的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方 程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化 为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等 式或构造函数加以解决．
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[微题型 2] 函数与方程思想在数列中的应用
【例 1－2】 已知函数 f(x)＝13x，等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)
－c，则 an 的最小值为________． 解析 由题设，得 a1＝f(1)－c＝13－c；
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29；
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法二 令 t＝sin x，由 x∈(0，π2]， 可知 t∈(0,1]． 将方程变为 t2＋t－1－a＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设 f(t)＝t2＋t－1－a. 其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t＝－12，如图所示． 因此 f(t)＝0 在(0,1]上有解等价于ff01＜≥00，.
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热点一 函数与方程思想在解题中的应用 [微题型 1] 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等 式问题 【例 1－1】 如果方程 cos2x－sin x＋a＝0 在(0，π2]上有解，求 a
的取值范围．
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▪ 方程的思想与函数的思想密切相关：方程
f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交
点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方
程f(x)－y＝0，通过方程进行研究；方程f(x)＝
a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数
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▪函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几 个方面思考：
▪在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注 意三点：
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▪(1)要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义 以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论 既分析其几何意义又分析其代数意义；
▪(2)选择好突破口，恰当设参、合理用参，建立 关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227，
又数列{an}是等比数列， ∴－922＝13－c×－227，
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∴c＝1. 又∵公比 q＝aa32＝13， 所以 an＝－2313n－1＝－213n，n∈N*. 因此，数列{an}是递增数列， ∴n＝1 时，an 有最小值 a1＝－23. 答案 －23
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解 法一 设 f(x)＝－cos2 x＋sin x(x∈(0，π2])． 显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时，a＝f(x)有解． ∵f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝(sin x＋12)2－54， 且由 x∈(0，π2]知 sin x∈(0,1]． 易求得 f(x)的值域为(－1,1]． 故 a 的取值范围是(－1,1]．