基于马氏距离的改进非局部均值图像去噪算法

第28卷第3期 2016年3月
计算机辅助设计与图形学学报
Journal o f Computer-Aided Design & Computer Graphics
Vol.28 No.3
M ar.2016
基于马氏距离的改进非局部均值图像去噪算法
阴盼强义路东明 '袁渊2)
南京理工大学电子工程与光电技术学院南京210094)
2>(微光夜视技术重点实验室西安710065)
(yinpanqiang@)
摘要：通过对原非局部均值(NLM)图像去噪算法进行改进，提出一种利用马氏距离作为衡量图像像素点相似性的 非局部均值图像去噪算法.首先针对样本空间中马氏距离不稳定的特点计算特征空间中的马氏距离；然后对图像数 据进行相关性分析和降维处理，提取数据主成分，简化特征空间中马氏距离的计算方法；最后利用此马氏距离生成 高斯加权核函数，对图像进行去噪.采用一系列加有噪声的典型图像对文中算法进行实验，证明了该算法可获得比 原NLM图像去噪算法更好的去噪效果；利用多组数据对文中算法中的滤波参数A进行分析，得到噪声方差与滤波参 数A的关系式，可以获得接近于改进图像去噪算法的最佳去噪性能.
关键词：非局部均值算法；马氏距离；图像去噪
中图法分类号：TP751.1
An Improved Non-local Means Image De-noising Algorithm Using Mahalanobis Distance
Y in Panqiang1)，Lu Dongm ing1),and Yuan Yuan2)
^ (School o f E lectronic and Optical Engineering, Nanjing University o f S cience & Technology, Nanjing210094)
2) (Science and Technology on Low-Light-Level Night Vision Laboratory, Xi 'an710065)
A bstract:An improved non-local means(N LM)image denoising algorithm is proposed,which uses Mahal­
anobis distance to measure the sim ilarity between the image pixels.Firstly,calculating the Mahalanobis dis­tance between the image pixels in the eigenspace since the Mahalanobis distance is not robust in the sample space.Secondly,the image data is analyzed w ith the principal component analysis method,thus the Maha­lanobis distance equation is sim plified.F inally,the improved N LM image denoising algorithm is obtained w ith the Gaussian weighted kernel function which is composed o f the sim plified Mahalanobis distance.The experimental results on several typical images show that the improved N LM algorithm can achieve better denoising effect than the original N LM algorithm w ith a variety o f image quality evaluation method.The filte r parameter in the improved N LM denoising algorithm is analyzed in details and the equation be­tween the filte r parameter and the image noise variance is estimated.Based on the equation,the experi­mental results achieve nearly best denoising performance o f the improved filte rin g algorithm.
Key words:non-local means algorithm;Mahalanobis distance;image de-noising
收稿日期：2015-03-06;修回日期：2015-07-24.基金项目：微光国家重点实验室基金.阴盼强(1990_)，男，硕士研究生，主要 研究方向为红外微光数字图像处理；路东明(1976—)，男，硕士，讲师，主要研究方向为光电探测与图像工程；袁渊(1986—)，男，硕士研究生，主要研究方向为微光器件总装集成技术.
第3期阴盼强，等：基于马氏距离的改进非局部均值图像去噪算法405
图像是人类感知世界、获取信息、传递信息的 重要手段，图像信息在获取、传递和记录的过程中 会受到大量噪声的干扰[1].图像中广泛存在的一类 噪声是完全随机叠加在图像中的近似呈高斯分布 的白噪声，去除这类噪声是图像去噪研究的基础. 因为去除高斯白噪声的研究不仅会对去除其他类 噪声有重要的借鉴作用，而且对大多数噪声的处 理最终会归结到对高斯白噪声处理的问题上[2].
对图像中髙斯白噪声的处理已经有许多经典 算法，如高斯滤波、均值滤波和中值滤波等算法. 但这些算法会造成图像中细节信息的丢失，并且 在噪声较大时并不能获得令人满意的去噪效果.近 年来，浦现出一些新型的去噪算法，如小波阈值去 噪(也称小波萎缩法)[3]、全变法(total variation,TV)图像去噪、基于偏微分方程(partial differential equation, PDE)的非线性扩散图像去噪、非局部均值(non-local means,N LM)滤波、三维块匹配(block matching3D, B M3D)去噪等[4].其中，由8仙(168等[5-6]于2005年提出的N L M图像去噪算法是一种与其他去噪方法 截然不同的图像去噪方法，它充分利用白噪声均 值为零的性质和图像内的图像块存在局部相似性 的性质，通过对相似像素进行加权平均来估计像 素的真实值，获得了良好的图像去噪效果.
然而，N L M图像去噪算法的一个不足之处是 计算量较大，它同时计算了2个像素的像素值相似 度和结构相似度，需要考虑2个像素周围一定区域 内多个像素；另外一个不足来自于利用2个像素间 的欧氏距离计算像素权值.欧氏距离是一种对不 同样本数据进行相似性度量的方法，该方法虽然 简单，但也有明显的缺陷：它没有考虑不同样本分 布的不同，也不能排除数据间相关性的干扰，因此 影响了 N L M图像去噪算法获得更好的图像去噪效果[7-9]
本文针对N L M图像去噪算法的第二个不足，提 出了一种基于马氏距离的改进N L M图像去噪算法 (improved non-local means,IN L M),获得了 明显优 于原N L M图像去噪算法最佳性能的图像去噪效果. 根据仿真实验数据，对所提算法中的滤波参数办进行 分析，得到了滤波参数A与图像噪声方差的关系式.
1 N L M图像去噪算法
N L M图像去噪算法是在图像全域内搜索与目 标点相似的所有像素，通过加权平均估算像素点的方法.相似像素之间不仅像素值相似，邻域结构 也相似[1<)].其具体处理过程如下：
给定一幅带噪声的图像r
C/}，经过N L M图像去噪算法滤波后得到图像 N L M.对图像中某个像素i,按坐标M的窗 口邻域内的像素的灰度值对f进行加 权平均，为窗口邻域内其他像素的坐标.
其中，是坐标为的像素的灰度值,
w(x,■，乃,',。

）是衡量在窗口邻域{(5,')e Z}内各 像素y X^f像素〖相似度的权值.在原N L M图像去噪 算法中，权值w(x,.，乃，~,々）定义为
1 Gg^S1(xi,yl,xj,yj) =^^^(2)其中，炉(X,.，乃，勺，々)表示像素滴像寰/相似度的欧
Ga®S1{xi,yi,xj,yj)
氏距离的平方，C〇c,.，：v,.)=X e^，
{Xj,yj)^L
为标准差为a的高斯核，®表示对应坐标的像 素的灰度值相乘.
•，乃，从)
=^br
h2+l2
e f l2\u{Xj+h,yj+l)-u{xt+h,yi+l)\(3)
(h,l)eK
h2+l2
其中，Z)(A，/)= Z e7，吵为欧氏距
(h,l)^K
离衡量像素相似度所选图像块大小.G a的目的是 为了提高欧氏距离计算的可靠性，突出图像块中 心像素的作用.但实验证明，G a的存在并不能提高 N L M图像去噪算法的去噪效果[11].
文献[5]中通过理论和实验证明，N L M图像去 噪算法的去噪性能优于以往提出的各种图像去噪 算法.但N L M图像去噪算法的计算复杂度较大，对 像素大小为M x#的图像，计算复杂度为
在实际应用中，可以根据欧氏距离的 对称性使计算复杂度减半[12-13].
2马氏距离
马氏距离是印度统计学家M ahalanobis 提出的
406计算机辅助设计与图形学学报第28卷
一种比欧氏距离更有效、可靠的对样本数据进行相 似度衡量的方法，它克服了欧氏距离存在的不足. 马氏距离通过对各样本数据进行标准化处理，排 除变量之间相关性的干扰，更加有效地衡量了样本 数据间的相似度[14].
2.1马氏距离的定义
假设2组样本数据U组成的列向量为jc,，分 则两向量之间的马氏距离々定义为[15]
d y= s~l(x i~x j)(4)其中,*5为向量x,.与易的协方差矩阵，
*S'= (jCy-J c m)(x(,-J c m)T(5)其中，、=(A Xj), Xm=^d x i Xi) + (Xj Xj)).
由式(5)可知，当为单位矩阵时，马氏距离就退化 为欧氏距离，所以马氏距离是欧氏距离的一种扩展[16].
2.2马氏距离的推广计算
在计算马氏距离时，会出现式(5)中协方差矩 阵5的逆矩阵不存在的情况，因此式(4)定义的马 氏距离是不稳定的.为了解决这个问题，引人S的广义逆矩阵.
对式(5)进行奇异值分解，得到
S = U V H(6)
l〇V
其中，t/,F为酉矩阵，Z= d ia g h,')，為(;= 1，2，〜,a〇为矩阵S的非零奇异值且;i!彡;i2彡…彡'，〃为5的秩；上标H表示对矩阵进行共辗转置. 对式(6)求解Moore-Penrose逆矩阵，得到
(V-1
S+=V Z°Un(7)
l〇
其中，厂L d ia g^W，…，;l；1).式(7)是在特征空间对f1的推广，用^替换&1代人式(4).得到 特征空间的马氏距离
dH = ^l(x i_x j f s+(x i-x j)(8)在 = diagM，；^，...，')中，；i j〇•= 1，2,…，r)的值 表示各不相关的数据成分的能量大小.对图像数据 而言，為(/ = 1，2,…，r)表示图像中各不相干的组分 信息的方差.本文在实验中发现，4总是远远大 于其他值，即;可以认为，4表示 了图像块中有用信号的方差.于是计算时，可以只 保留;l!,而忽略;^為#;1〇,认为其他奇异值为零.这是主成分分析方法的思想，不仅可以有效地降低 数据维度，还可以抑制非有用信号即噪声的干扰.
根据以上分析，得到
"10"
对式(9)求逆，得到2T
00
(9)
.将2T1代入式(7)并进行推演，得到
UK(i〇)将式(10)代人式(8)，得到改进的马氏距离
A
(11)
式(11)不仅避免了马氏距离的不稳定性，还简 化了计算，抑制了噪声的干扰.由于马氏距离具有 对称性，因此在使用时可以利用对称性在不牺牲 去噪性能的条件下使计算复杂度减半.
3实验结果与分析
3.1 IN L M图像去噪算法去噪性能验证
我们在软件平台上分别对原N L M图像去噪算 法和本文提出的IN L M图像去噪算法进行编程仿 真，选择多组典型图像进行实验处理.对L e n a图进行处理得到的结果如图所示，待处理图像分 别为噪声标准差％为10, 20, 30, 40的噪声图像(图 像为256级的灰度图).
主观上可以直观地看到，当噪声〜值较小时，
a.噪声图像
b.NLM去噪
c.INLM去噪
图1<7…=10时图像处理效果
图2
<7…=20时图像处理效果
第3期阴盼强，等：基于马氏距离的改进非局部均值图像去噪算法407
a.噪声图像
b.NLM去噪
c.INLM去噪
图3〜=30时图像处理效果
a.噪声图像
b.NLM去噪
c.INLM去噪
图4〜=40时图像处理效果
IN L M图像去噪算法更好地保留了图片的细节信息，对比度明显，有更好的视觉效果；当噪声％值较大时，原N L M图像去噪算法处理后的图像出现明 显的“雪斑”，而IN L M图像去噪算法则较好地避免 了这种现象，能够更好地还原图像.这是因为当噪 声％值较大时，N L M图像去噪算法中使用欧氏距 离衡量图像中图像块间相似度的方法出现较大偏 差，图像中较为密集的噪声点无法利用加权平均 的方法予以有效的消除[17];而IN L M图像去噪算法 使用马氏距离的方法考虑了图像块中像素间的相 关性，利用像素间相关性的特点抑制了一部分噪 声，因此获得了比N L M图像去噪算法更好的去噪 效果■
从客观上对2种算法进行评价，比较它们对多 幅图像进行处理后得到的去噪图像的峰值信噪比 (peak signal to noise ratio,PSNR)和结构相似度 (structural sim ilarity,SSIM)[18],分析算法的去噪效 果，结果如表1~2所t K.
表1~2中得到的PSNR和SSIM都是在优化了 算法中的滤波参数A得到的对图像处理的最佳效 果.可以看到，在大部分情况下，IN L M图像去噪算 法都取得了比原N L M图像去噪算法更好的去噪效 果；尤其是当图像中％比较大时，IN L M图像去噪 算法不仅比原N L M图像去噪算法更加明显的抑制 了噪声，还获得更好的SSIM，得到更佳的视觉效 果.由此证明，IN L M图像去噪算法是有效可靠的.
在计算效率方面，由于马氏距离比欧氏距离 复杂度更高，因此在选取相同窗口进行图像去噪 处理时，IN L M图像去噪算法比原N L M图像去噪算 法的计算量更大.但是，马氏距离比欧氏距离能够
表1图像去噪后的PSNR dB 图像算法_
(T n
10203040 Lena NLM32.2127.9725.8924.52
INLM32.2629.2027.0925.51 Girl NLM33.2728.9526.5125.12
INLM33.0030.0228.1726.42 Cameraman NLM33.2229.1326.6724.77
INLM32.5828.7726.7325.13 Tree NLM30.7726.9925.0423.64
INLM31.5427.6125.3423.60 Moon NLM31.4228.9627.7726.86
INLM32.1329.0627.4326.47 Plane NLM32.1228.0025.8724.42
INLM32.8628.5125.8024.23
表2图像去噪后的SSIM
图像算法.
10203040 Lena NLM0.9100.8120.7400.686
INLM0.9070.8210.7550.715 Girl NLM0.8830.8050.7510.702
INLM0.8790.8030.7500.706 Cameraman NLM0.8850.8070.7480.686
INLM0.8870.8100.7600.711 Tree NLM0.8580.7870.7210.651
INLM0.8690.7960.7270.672 Moon NLM0.9070.8330.7450.656
INLM0.9280.8470.7560.665 Plane NLM0.9040.8420.7670.696
INLM0.9100.8420.7800.714
更好地衡量图像块间的相似性，因此选取较小的 窗口和图像块，IN L M图像去噪算法就能达到与 N L M图像去噪算法相同的去噪效果，从而使 IN L M图像去噪算法的计算量大大减少.目前，有 许多改进的减少N L M图像去噪算法计算量的算法 被提出，但这些算法在提高N L M图像去噪算法的 速度的同时会降低它的去噪效果.IN L M图像去噪 算法可以有效提高地图像的去噪效果，其计算效 率的提高仍需要进一步的研究.
3.2滤波参数A的分析
综上，证明了 IN L M图像去噪算法是有效的. 在原N L M图像去噪算法中，图像的去噪效果与滤 波参数A有关[19].Buades等[5]给出了 A的全局性估 计，认为A与(7…有近似线性关系，并给出了关系 式A= 10cr…[2<)].本文在仿真实验中发现IN L M
图像
408计算机辅助设计与图形学学报第28卷
10 +20 30
+40
严-2.7371n(x)+35.588
去噪算法的图像去噪性能同样与A 有关.为了定量 地分析滤波参数如何影响去噪性能，选取多幅典 型图像进行实验.当A 在一定范围内变化时，各图 像经过处理后的PSN R 和S S IM 的变化曲线如图 5〜6所示.
图5
图像
P S N R 随A 变
化的曲线
0.95 r 0.90
Cameraman G irl
Moon
1 6 11 16 21 26
31 36 41 46 51 56
l 〇-3x/i
图7
Cam eram an 图
去噪效果随
A 变
化的曲线
办与图像的噪声标准差有关；当图像的噪声标准差 变大时，图像能够达到最优去噪效果时的PSNR 变 低.从虚线表示的图像PSN R 的变化趋势可以预见， 当图像中的噪声足够大时,PSNR 趋向于0,去噪算 法将无法从噪声中分离出足够多的有用信息，从
而使得去噪算法失去作用.
进一步分析发现A 与噪声方差<有近似的线 性关系，即A = ，其中灸为常数.以为横坐
标，滤波系数为纵坐标，A :与〇…的关系曲线图如
图8所示.
图8滤波系数灸与％的关系曲线图
图8中，当〇…在一定范围内变化时，在20〜30 内变动.对不同的图像，*变动的范围不同，说明炎 值与图像特征有关.然而，要讨论对大部分图像都 基本适用的A 的关系式，只能从多组实验数据大致 估计的值.观察图7可以看到,P S N R 曲线随/z 变 化，当
P S N R
从左到右经过峰值后变化趋渐平缓,
说明当A 取值稍大于最优滤波参数时，图像去噪效 果没有明显的降低，因此为了用统一的公式表示办, 可以用稍大一点的A 代替最优滤波参数.又从图8 可以看到，当％变大时&有变小的趋势，所以令
k :
[30, cr n^30 ^25，〇…>30
(12)
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
l 〇-3x /?
图6图像
S SIM 随
变化的曲线
从图5〜
6
中可以看出，同时用P S N R 和SSIM 2
种图像质量客观评价方法对I N L M 图像去噪算法 的去噪性能进行分析，算法中的A 都存在一个最优 值，即存在一个A 使得算法的去噪性能最好；并且 虽然同一个A 使得算法对不同图像的去噪效果不 同，但对各图像的去噪效果达到最优值时的A 却大 致相同.这样，就为分析一个对各图像通用的最优 办提供了依据(由于其他非最优滤波参数非研究的 重点，方便起见，下面直接称最优滤波参数为/〇.
选择C a m e ra m a n 图，在其原256级无噪灰度 图上加不同程度的高斯白噪声，噪声标准差分别
为10, 20, 30, 40;然后对各噪声图用I N L M 图像去 噪算法进行处理，A 在一定范围内变化，得到处理 后各图像的P S N R 随/z 变化的曲线如图7所示，其 中虚线表示不同噪声图像达到最优去噪效果时对 应P S N R 的变化趋势.
图7中，当同一幅图像所加噪声的噪声标准差 不同时，达到最优去噪效果对应的A 也不同，说明
6
420864200
3333222221e p /H N S
d
第3期阴盼强，等：基于马氏距离的改进非局部均值图像去噪算法409
将式(12)代人中，得到
, = {3〇C T-C T^3°(13)
[25a2n,〇-…>30
用式(13)得到的A和最优A对图像进行处理，比较两者的去噪效果如表3所示.可以看到，由式 (13)得到的A对图像去噪的效果十分接近最优去噪 效果.因此，在估计最优滤波参数时是可行的，可 以用它来代替最优滤波参数.
表3最优A与计算A对图像去噪效果的PSNR dB
图像h
10203040
Lena最优32.256 329.200 227.093 225.529 6
计算32.256 328.883 426.840 625.449 3
Girl最优33.001 930.022 328.173 926.421 2
计算33.001 930.022 328.032 226.405 9 Cameraman最优32.575 428.772 826.726 425.128 6
计算32.575 428.772 826.617 725.071 4 Tree最优31.538 227.612 625.343 123.642 3
计算31.538 227.612 625.036 923.589 4 Moon最优32.115 229.064 527.774 126.865 7
计算31.712 228.944 327.637 626.731 8 Plane最优32.861 228.510 925.865 424.421 5
计算32.861 227.977 525.846 624.375 7
4结语
本文通过分析N L M图像去噪算法中用欧氏距 离判别图像块相似度方法的缺陷，提出一种改进 的基于马氏距离的N L M图像去噪算法.利用软件 平台进行多组图像的实验仿真，证明了本文算法 可以达到比原N L M图像去噪算法更好的去噪效果. 最后，对本文算法中滤波参数A进行分析，得出最 优滤波参数与图像噪声的方差成近似线性正比关 系；并从实验数据中估计出A与噪声方差的公式. 用此公式计算的A对图像进行去噪处理，得到的去 噪效果十分接近于图像能够达到的最优去噪效果.
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