2020届高三数学上学期10月联考试题理

高三数学上学期10月联考试题 理
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若i 是虚数单位，则
232i i
-= A.32i + B.32i - C.32i -+ D.32i -- 2.已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x 2
<16}，则A ∩B ＝
A.(0，3)
B.(2，4)
C.(0，4)
D.[2，4) 3.若双曲线22
221(0)2
x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为 A.1 B.
13
C.2
D.3 4.若1cos()36πα+=-，且263ππα<<，则7sin()12πα+=
A.12
B.12
C.12
D.12
-
5.在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝AC ＝a ，在边BC 上随机取一点D ，则事件“”发生的概率为 A.34 B.23 C.12 D.13
6.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x 等于
A.4
B.5
C.6
D.7
7.已知点D 是△ABC 所在平面上的一点，且2BD DC AD AB AC λμu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ＝－，若＝＋，则λ－µ
＝
A.6
B.－6
C.－32
D.－3 8.“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为
A.8
B.9
C.10
D.12
9.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+
>的两个零点之差的绝对值的最小值为2π，将函数f(x)的图象向左平移3
π个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是 ①函数g(x)的最小正周期为π； ②函数g(x)的图象关于点(
712π，0)对称； ③函数g(x)的图象关于直线23x π=对称； ④函数g(x)在[3
π，π]上单调递增。

A.①②③④ B.①② C.②③④ D.①③
10.杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现。

在欧洲，帕斯卡(1623～1662)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年。

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是
A.153
B.171
C.190
D.210
11.已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3。

将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ的二面角B －AC－D，若折成的四面体ABCD内接于球O，则下列说法错误的是
A.四面体ABCD的体积的最大值是24
5
B.球心O为线段AC的中点
C.球O的表面积随θ的变化而变化
D.球O的表面积为定值25π
12.设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e－3x的解集是
A.(0，＋∞)
B.(1，＋∞)
C.(－∞，0)
D.(0，1)
二、填空题：本题共4小题。

每小题5分，共20分。

13.已知函数
log(1)2,0
()
(3),0
x x
f x
f x x
+-≥
⎧
=⎨
+<
⎩
，则f(－2020)＝。

14.已知正数x，y满足3x＋2y＝4，则xy的最大值为。

15.已知抛物线y2＝9x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，N为抛物线上的一点，且满足6|2||
NF MN
=，则点F到直线MN的距离为。

16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2cosA－cos2C)b＝csinBsinC，a＝2，则△ABC的面积的最大值是。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(本小题满分12分)
在等差数列{a n}中，a4＝－6，且a2，a3，a5成等比数列。

(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{a n }的公差不为0，设3n a
n n b a =+，求数列{b n }的前n 项和T n 。

18.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是边长为4的正方形。

AC ＝3，AB ⊥AC ，D 是A 1C 的中点。

(1)在AB 1上求作一点E ，使得DE//平面ABC ，并证明；
(2)求直线A 1C 与平面AB 1C 1所成角的正弦值。

19.(本小题满分12分)
政府机构改革是深化管理体制改革的重要组成部分。

按照精简、统一、效能的原则和决策权、执行权、监督权既相互制约又相互协调的要求，着力优化组织结构、规范机构设置、完善运行机制。

为调研某地社保中心的改革情况，现特地对某市医保报销流程的简化过程以及老百姓报销所花费的时间是否有所减少作了调查统计。

假设报销时所需携带的资料已经搜集齐全的情况下，来统计将各种所需资料带齐到当地社保中心相关部门申请办理，经审核等各流程办理通过所花费的时间，为此，在该市社保中心的60名报销人员中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选报销人员情况如下表所示：
(1)估计这60名报销人员中办理时间大于等于10分钟几小于30分钟的人数；
(2)现从这10人中随机抽取2人，求这2人全部不来自于第二组的概率；
(3)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求随机变量X 的分布列及数学期望。

20.(本小题满分12分)
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为，0)，且离心
率为5。

(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)互相平行的两条直线l ，l'分别过F 1，F 2，且直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线l'与椭
圆C 交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ l ，l'的方程。

21.(本小题满分12分) 设函数2
31()()32
a ax f x x ax a R -=-+∈。

(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设函数3222()()33
a g x f x x x ax a -=+
+-+，当x ≥0时，函数g(x)的最大值为a ，求实数a 的取值范围。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x t y bt =⎧⎨=-+⎩
(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C 的方程为2sinθ－ρcos 2θ＝0。

(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝4，求b 的值。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|3x ＋m|－2|x －1|(m>0)。

(1)若m ＝1，解不等式f(x)≥4；
(2)若函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的面积为
203
，求m 的值。

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