第四章 双馈电机的数学模型(2R)

第四章 双馈电机的数学模型（两相旋转坐标系）
定子绕组接入无穷大电网，定子旋转磁场电角速度为同步角速度1ω，因此，前面我们选用在空间中以恒定同步速1ω旋转的d-q-0坐标系下的变量替代三相静止坐标系下的真实变量来对电机进行分析。

在稳态时，各电磁量的空间矢量相对于坐标轴静止，这些电磁量在d-q-0坐标系下就不再是正弦交流量，而成了直流量。

交流励磁发电机非线性、强耦合的数学模型在d-q-0同步坐标系中变成了常微分方程，电流、磁链等变量也以直流量的形式出现，如图4-1所示：
采用前面的正方向规定，即定子取发电机惯例，转子取电动机惯例时，三相对称双馈发电机的电压方程、磁链方程、运动方程和功率方程及其详细推导过程如下：
4.1 电压方程
4.1.1定子电压方程
要实现三相坐标系向同步旋转d-q-0坐标系的变换，可利用坐标变换矩阵r s C 23>-来进行。

重写三相坐标系下的定子电压方程如下：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B A
C B A s s s C B A
D D D i i i r r r u u u ψ
ψψ
00000 对上式两边乘以坐标变换矩阵r s C 23>-，有：
]
[0
231
2323232323dq r
s r
s ABC r s s ABC
r s ABC r s s ABC r s C
dt
d C i C r D C i C r u C ψ
ψ
>-->->->->->-+-=+-=
即：
dt
d dt
dC
C i r u dq dq r
s r
s dq s dq 0
0231
2300ψ
ψ+
+-=>-->-
图4-1 dq 轴下双馈发电机的物理模型
式中：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡
+
-+----⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
+--
--+
-=
>-->-00
001010
21)
32sin()32cos(21)3
2sin()32cos(21sin cos 32*21
2121)32
sin()
3
2sin(sin )3
2
cos()32cos(cos 32
231
23dt d dt d dt
dC
C r
s r
s ϕπϕπϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕπϕπϕϕ
对于定子绕组：
1ωϕ=dt
d
于是d-q-0坐标系下定子电压方程可表示为（略写零序分量）：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++-=+--=qs ds qs s qs ds qs ds s ds dt d i r u dt d i r u ψψωψψω11 （4-1）
4.1.2转子电压方程
同样，要实现转子三相坐标系向同步旋转d-q-0坐标系的变换，可利用坐标
变化矩阵r s C 23>-来进行。

重写三相坐标系下的转子电压方程如下：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a c b a r r r c b a D D D i i i r r r u u u ψψψ0
00000 在进行类似定子电压方程坐标变换的过程后，结果是（略写零序分量）：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-+=+--=qr dr r qr r qr dr qr r ds r dr dt d i r u dt d i r u ψψωωψψωω)()(11 （4-2）
式中：
()dt
d r r θϕωω-=
-1
4.2 磁链方程
重写三相坐标系下的磁链方程如下：
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψabc ABC rr rs
sr ss abc ABC i i L L L L
利用坐标变换矩阵r s C 23>-和r s C 23'>-将定子三相磁链和转子三相磁链变换到
d-q-0坐标系下，推导如下：
对上式两边乘以⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡>->-r s r
s C C 2323'0
得：
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡>-->-->->->->->->-r dq s dq r s r
s rr rs
sr SS r s r s abc ABC rr rs sr SS
r s r
s abc ABC r s r s i i C C L L L L C C i i L L L L C C C C 00231
231232323232323'0
'0
'00
'0
即：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡ψψ>-->->-->->-->->-->-r dq s dq r
s rr r s r s rs r s r s sr r s r
s SS r s r dq s dq i i C
L C C L C C L C C L C 00231
'2323123231'232312300**'**'**** 化简⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-->-->->-->->-->->-->-r s rr r s r
s rs r s r
s sr r s r
s SS r s C L C C L C C
L C C L C 231
'23231
23231'2323123**'**'****的过程比较繁琐，本章不再列出具体化简过程。

由以上推导，最终可得d-q-0坐标系下交流励磁发电机磁链方程为：（略写零序分量）
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ψψψψqr
dr
qs
ds
r m
r m
m s m s
qr
dr qs ds i i i i L L L L
L L L L 0
0000000
其中，
ms m L L 2
3=
为同步d-q-0坐标系下等效定子绕组与等效转子绕组间互感； ms ls s L L L 2
3+=为同步d-q-0坐标系下等效定子每相绕组全自感； ms lr r L L L 2
3+
=为同步d-q-0坐标系下等效转子每相绕组全自感；
即有定子磁链方程：
⎝⎛+-=ψ+-=ψqr m qs s qs
dr m ds s ds i L i L i L i L
（4-3）
转子磁链方程：
⎝⎛+-=ψ+-=ψqr r qs m qr
dr
r ds m dr i L i L i L i L
（4-4）
注：定子绕组每相漏感为ls L ，定子每相主电感为ms L ，转子绕组每相漏感为lr L ，转子每相主电感为mr L ，
4.3 运动方程、功率方程
变换到d-q-0同步旋转坐标系下后，运动方程形式没有变化：
dt
d n J T T p
e m ω+
= （4-5）
但电磁转矩方程有变化：
()()ds qs qs ds p qr ds dr qs m p e i i n i i i i L n T ψ-ψ=-= （4-6）
定子有功功率和无功功率分别为：
⎪⎩⎪⎨
⎧-=+=qs ds ds qs qs
qs ds ds i u i u Q i u i u P 1
1 （4-7）
转子有功功率和无功功率分别为：
⎪⎩⎪⎨
⎧-=+=qr
dr dr qr qr
qr dr dr i u i u Q i u i u P 22
（4-8）
式4-7~4-8一起构成了双馈发电机在d-q-0同步旋转坐标系下完整的数学模型。

可以看出，这种数学模型消除了互感之间的耦合，比三相坐标系下的数学模型要简单的多。

它们是一组常系数微分方程，这就是坐标变换的最终目的所在，也为双馈风力发电系统定子磁链定向的矢量控制策略奠定了基础。

附录A 电磁转矩方程
从等效电路可见，感应电动机从电源输入的电功率1P ，其中的一小部分将消耗在定子绕组的电阻上而变成铜耗1Cu P ，一小部分将消耗在定子铁心变成铁耗
1Fe P ，余下的大部分功率将借助于气隙旋转磁场的作用，从定子通过气隙传送到
转子，这部分功率称为电磁功率，用e P 表示。

写成方程式时有： e
Fe Cu P P P P ++=11
其中，
11111cos ϕI U m P =
12
111R I m P Cu =
m
m Fe R I m P 2
1=
其中，1U 、1I 为定子绕组的相电压和相电流，1cos ϕ为定子的功率因数。

从等效电路可知：
()
s R I
m I E m P e '
2
2'2
1'2
'2'21cos ==ϕ
其中，'2
cos ϕ为转子的内功率因数,s
R X /arctan
'
2'
2'2
σϕ=，
感应电动机正常运行时转差率很小，转子中的磁通的变化频率很低，通常仅有1~3Hz ，所以转子铁耗一般可略去不计。

因此，从传送到转子的电磁功率e P 中扣除转子铜耗2Cu P 后，可得转换为机械能的总机械功率ΩP ，即：
()'
2
2
'212R I m P Cu =
()
'
2
2
'
2
121R s
s
I m P P P Cu e -=-=Ω
用电磁功率表示时，上式亦可改写成：
e
Cu sP
P
=2
e
P s P )1(-=Ω
用e P 表示 上式说明，在感应电动机中，转换功率和电磁功率是不同的；传送到转子的电磁功率e P 的中，s 部分变为转子铜耗，1-s 部分转换为机械功率。

由于转子铜
耗等于e sP ，所以它亦称为转差功率。

从ΩP 中扣除转子的机械损耗和杂散损耗，可得转子轴上输出的机械功率2P 。

用方程式表示时： )
(2∆ΩΩ+-=p p P P
A.1 转矩方程1
将转子输出功率处以机械角速度Ω，可得到转子的转矩方程：
20T T T e +=
Ω
=
ΩP T e ；Ω
+=
∆
Ωp p T 0；Ω
=
22P T
式中，e T 为电磁转矩；0T 为机械损耗和杂散损耗所对应的阻力转矩，如忽略
杂散损耗，它就是空载转矩；2T 为电动机的输出转矩。

由于机械功率e P s P )1(-=Ω，转子的机械角速度g s Ω-=Ω)1(，所以电磁转矩
e T 也可以写成：
g
e e P P T Ω=
Ω
=
Ω （A-1）
上式可以表明，电磁转矩e T 即可通过机械功率ΩP ，也可通过电磁功率e P 算出。

用机械功率去求电磁转矩时，应除以转子的机械角速度Ω；而用电磁功率去求电磁转矩时，则应除以同步角速度g Ω，因为电磁功率是通过气隙旋转磁场传送到转子的功率，而旋转磁场的转速是同步速度。

A.2 转矩方程2
考虑到电磁功率2'2'21cos ϕI E m P e =,m w k N f E Φ=111'22π,21
11222'2I N k m N k m I w w =
,
p
f g /21π=Ω。

由2
222222cos cos 2
1ϕϕI C I k N pm P T m T m w g
e e Φ=Φ=Ω=
（A-2）
上式说明，感应电动机的电磁转矩与气隙合成磁场的磁通量m Φ和转子电流
的有功分量成正比；增加转子电流的有功分量，可使电磁转矩增大
A.3 转矩方程3
由转矩方程2：22cos ϕF C T m T e Φ=
222sin )90sin(cos θϕϕ=+=
因此：12212222sin sin sin θθθF KF C F KF C F C T T m T m T e ==Φ= （A-3）
此处，K 为暂定的系数
A.4 转矩方程4
dr dr qr qr e I E I E I E m P +==2'
2'
21cos ϕ
()()()()dr
qs qr m qr ds dr m dr mq qr md I I I L I I I L j I I j ---=Φ-Φ=ωω
()()()dr
qs dr qr
qr
ds qr dr m I I I I
I
I I I
L
j ---=ω
()qr ds dr qs m I I I I L j -=ω
()qr ds dr qs m e
e I I I I pL p
P T -==
/ω
（A-4）
()()qr
ds qs ds qs ds dr qs m qr ds dr qs m e I I I I I I I I pL I I I I pL T --+=-=
()()()qs qr ds ds dr qs m I I I I I I pL ---= ()mq ds md qs I I p Φ-Φ=
（A-5）
A.5 转矩方程5
直接转矩控制所使用的转矩公式如下：
)
sin(12'
θψψr s s r m n
e L L L p T ⨯=
推导如下：
()qr
ds dr qs
s
r m e L L L p
T ΦΦ-ΦΦ
='
=〉()()()()()qr
r qs m dr m ds s dr r ds m qr m qs
s
s r m e
I L I L I L I L I L I L I L I
L L L L p T +-+--+-+-='
=〉()(
)()qs
dr m qr ds r s ds qr m dr qs r s
s r m e I I L I I L L I I L I I L L
L L L p T 2
2
'-----=
=〉()(
)()ds
qr r s m dr qs r s m
s r m e
I I L L L I I L L L
L
L L p
T ---=2
2'
设's L 为定子的瞬态电感：r m
s s L L L L /2'-=
(
)
()(
)
()ds
qr r s m dr qs r s m
r
m s r m
e I I L L L I I L L L L L L L L p
T ----=222
/
=〉()ds
qr dr qs m e I I I I pL T -=
该式子与转矩方程4的表达方式相同。

()qr
ds dr qs
s r m e L L L p
T ΦΦ-ΦΦ
='
也即是 ()12'sin θr s
s
r m e L L L p T ΦΦ
=，12
θ即是时间轴上s Φ、r Φ的夹角。