高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数重难点归纳
单选题
1、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)
x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ∈(0,1)
B ．a ∈[1
3,1)C ．a ∈(0,1
3]D ．a ∈[1
3,2) 答案：C
分析：根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1
a −2<03a ⩽1，解出a 的范围即可．
解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
<0成立，
∴f(x)在R 上是减函数，
因为f(x)={a x ,(x <0)
(a −2)x +3a,(x ≥0)
∴{0<a <1
a −2<0(a −2)×0+3a ⩽a 0，解得0<a ⩽1
3
，
∴a 的取值范围是(0,1
3]． 故选：C ．
2、已知函数y =a x 、y =b x 、y =c x 、y =d x 的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．b +d >a +c
B ．b +d <a +c
C ．a +d >b +c
D ．a +d <b +c 答案：B
分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.
如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，
所以b+d<a+c.
故选：B
3、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在
注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型c(t)=c0e−kt描述，
假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：ℎ−1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，
则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）
A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h
答案：C
分析：利用已知条件c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为t1，转化求解即可.
解：由题意得：
c(t)=c0e−kt=2000e−0.1t
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为t1
c(t1)=2000e−0.1t1≥1000
e−0.1t1≥1 2
故−0.1t≥−ln2，t≤ln2
0.1
≈6.93
故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ
4、函数y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为（ ） A ．(1,2)B ．(1,2] C ．(0,1)D ．[0,1) 答案：A
分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果 由2x −x 2>0，得0<x <2， 令t =2x −x 2，则y =log 2t ，
t =2x −x 2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减， 因为y =log 2t 在定义域内为增函数，
所以y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为(1,2)， 故选：A
5、化简√−a 3
·√a 6
的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A
分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，
∴√−a 3
·√a 6
=(−a )1
3⋅a 1
6=−a 1
3⋅a 1
6=−a 13+1
6=−a 1
2=−√a .
故选：A.
6、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．5
3 答案：C
分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=1
3log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a
43b =
(2a )2(23b )
2=52
3
2=259
．
7、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)
A．3B．3.6C．4D．4.8
答案：B
分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.
由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=3
8⇒e−k=(3
8
)
1
12，
冲泡绿茶时水温为80℃，
故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=3
4⇒t⋅lne−k=ln3
4
⇒t=ln 3 4
ln(3
8)
1
12
=12(ln3−2ln2)
ln3−3ln2
≈12(1.1−2×0.7)
1.1−3×0.7
=3.6.
故选：B.
8、如图所示：曲线C1，C2，C3和C4分别是指数函数y=a x，y=b x,y=c x和y=d x的图象,则a，b，c，d与1的大小关系是（）
A ．a <b <1<c <d
B ．a <b <1<d <c
C ．b <a <1<c <d
D ．b <a <1<d <c 答案：D
分析：先根据指数函数的单调性，确定a ，b ，c ，d 与1的关系，再由x =1时，函数值的大小判断. 因为当底数大于1时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数小于1时，指数函数是定义域上的减函数， 所以c ，d 大于1，a ，b 小于1，
由图知：c 1>d 1 ，即c >d ， b 1<a 1，即 b <a ， 所以b <a <1<d <c ， 故选：D 多选题
9、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）
A ．f (x )=2x
B ．f (x )=(12)x
C ．f (x )=log 12
x D ．f (x )=log 3x
答案：CD
分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.
对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；
对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=3
4
，f (x 1⋅x 2)=1
4
，
则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；
对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12
x 1+log 12
x 2=log 12
(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，
C 是；
对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD
10、下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是（ ） A ．y =2
x −3B ．y ={−x +1,x ≥0x +1,x <0
C ．y =x 2−3x +3
D ．y =|x −2| 答案：AB
分析：根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 对于选项A ，当x =1时，y =2
1−3=−1<0，当x =1
2时，y =2
12
−3=1>0，所以能用二分法求零点的近
似值．
对于选项B ，当x =2时，y =−2+1=−1<0，当x =1
2
时，y =−1
2
+1=1
2
>0，能用二分法求零点的近似
值．
对于选项C ，y =x 2−3x +3=(x −32)2
+3
4>0，故不能用二分法求零点的近似值． 对于选项D ，y =|x −2|≥0，故不能用二分法求零点的近似值． 故选：AB ．
11、某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少1
3，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：BCD
分析：由2
100×(23)n
≤1
1000解不等式可得答案.
设经过n 次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，则
2
100×(23)n
≤1
1000
， 即(23)n
≤1
20，两边取对数，得nlg 2
3≤−lg20，即n (lg2−lg3)≤−(1+lg2)， 得n ≥1+lg2
lg3−lg2≈7.4. 故选：BCD.
12、下面几个结论正确的是（ ）
A ．已知a =
(√32)
23
，b =(4
5)13
，c =ln3，则a <b <c
B ．已知a =312
，b =√63
，c =log 47，则a <c <b C ．已知a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则b <c <a D ．已知log 12
a >log 12
b >0，则a b <a a <b a
答案：AD 分析：对于A ，a =
(√32)
23
=(3
4)13
<(4
5)13
<1，c =ln3>1，即可得到大小关系；对于B ，a 6=(31
2)6=27，
b 6=(√63
)6
=36可得到a <b ，再选取中间量3
2，通过比较，得到最终结果；对于C ，b <0，a <1，c >1，可得到大小关系；对于D ，通过构造对数函数和幂函数，利用函数的单调性可得到最终结果.
对于A ，a =
(√32)
2
3=(3
4)13
<(4
5)13
<1，c =ln3>1，所以a <b <c ；故A 正确；
对于B ，a 6=(31
2)6=27，b 6=(√63
)6
=36>27∴a <b c =log 47，∵3
2=log 443
2，∵(32)3
=
278
,b 3=6>
278
∴b >3
2
(432
)2
=64>72=49∴c <3
2，∴c <b ∵a >3
2∴c <a 最终为：c <a <b .故B 错误；
对于C ，b =log 20.3<0，a =0.32=0.09<1，c =20.3>20=1∴b <a <c ；故C 错误； 对于D ，当log 12
a >log 12
b >0时，∵y =log 12
x 在定义域内是减函数，
故得到0<a <b <1，∵y =a x 是减函数，故得到a b <a a ，又因为y =x α在x >0时是增函数，故得到a a <b a ，故D 正确. 故选：AD.
13、给定函数f (x )=
2x x 2+1
（ ）
A ．f (x )的图像关于原点对称
B ．f (x )的值域是[−1,1]
C ．f (x )在区间[1,+∞)上是增函数
D ．f (x )有三个零点 答案：AB
分析：对于A ：由函数f (x )的定义域为R ，f (−x )=−f (x )，可判断； 对于B ：当x =0时，f (x )=0，当x ≠0时，f (x )=2
x+1x
，由x +1x ≥2或x +1
x ≤−2，可判断；
对于C ：由t =x +1
x 在[1,+∞)单调递增可判断；
对于D ：令f (x )=0，解方程可判断.
解：对于A ：因为函数f (x )的定义域为R ，且f (−x )=2(−x )(−x )2+1=−2x
x 2+1=−f (x )，所以函数f (x )是奇函数，所以f (x )的图像关于原点对称，故A 正确； 对于B ：当x =0时，f (x )=0， 当x ≠0时，f (x )=
2
x+1x
，又x +1x
≥2或x +1
x
≤−2，所以0<f (x )≤1或−1≤f (x )<0，
综上得f (x )的值域为[−1,1]，故B 正确；
对于C ：因为t =x +1
x 在[1,+∞)单调递增，所以由B 选项解析得， f (x )在区间[1,+∞)上是减函数，故C 不正
确；
对于D ：令f (x )=0，即2x
x 2+1=0，解得x =0，故D 不正确， 故选：AB. 填空题
14、把满足log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)，n ∈N ∗为整数的n 叫作“贺数”，则在区间(1,50)内所有“贺数”的个数是______． 答案：4
分析：利用换底公式计算可得log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2)=log 2(n +2)，即可判断. 解：因为log 23×log 34×⋅⋅⋅×log n+1(n +2) =lg3
lg2×lg4
lg3×⋅⋅⋅×lg (n+2)
lg (n+1)=
lg (n+2)lg2=log 2(n +2)，
又log 24=2，log 28=3，log 216=4，log 232=5，log 264=6，……， 所以当n +2=4，8，16，32时，log 2(n +2)为整数， 所以在区间(1,50)内“贺数”的个数是4． 所以答案是：4
15、函数f (x )=2√2−x
+lg (x +3)的定义域为______．
答案：(−3,2)
分析：根据给定函数有意义列出不等式组，求解即可得原函数定义域. 函数f (x )=
2
√2−x lg (x +3)有意义，则有{2−x >0
x +3>0
，解得−3<x <2，
所以函数f (x )的定义域为(−3,2). 所以答案是：(−3,2)
16、已知125x =12.5y =1000，则y−x xy
=________．
答案：1
3
分析：先把指数式化为对数式，再由换底公式化为同底数对数运算即可. 解：因为125x =12.5y =1000，
所以x =log 1251000，y =log 12.51000，y−x
xy =1
x −1
y =log 1000125−log 100012.5=log 1000125
12.5=log 100010=
13
．
所以答案是：1
3.
小提示：本题考查指对数互化公式、换底公式和对数运算，属于基础题. 解答题
17、已知函数f(x)=log 2(2x +1). （1）求不等式f(x)>1的解集；
（2）若函数g(x)=log 2(2x −1)(x >0)，若关于x 的方程g(x)=m +f(x)在[1,2]有解，求m 的取值范围. 答案：（1）{x |x >0}；（2）[log 21
3
,log 23
5
].
分析：（1）由f(x)>1可得2x +1>2，从而可求出不等式的解集， （2）由g(x)=m +f(x)，得m =g (x )−f (x )=log 2(1−2
2x +1
)，再由x ∈[1,2]可得log 2(1−2
2x +1)的范围，从而可求出m 的取值范围
（1）原不等式可化为2x +1>2，即2x >1,∴x >0， 所以原不等式的解集为{x |x >0}
（2）由g(x)=m +f(x)， ∴m =g (x )−f (x )=log 2(1−
22x +1
)，
当1≤x ≤2时，2
5≤2
2x +1≤2
3，1
3≤1−2
2x +1≤3
5，
m ∈[log 213，log 23
5
]
18、对于定义在区间[m,n ]上的两个函数f (x )和g (x )，如果对任意的x ∈[m,n ]，均有|f (x )−g (x )|≤1成立，则称函数f (x )与g (x )在[m,n ]上是“友好”的，否则称为“不友好”的．已知函数f (x )=log a (x −3a )，g (x )=log a
1x−a
(a >0,a ≠1)．
(1)若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，求a 的取值范围； (2)讨论函数f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是否“友好”． 答案：(1)(0,1) (2)答案见解析
分析：（1）由题意解不等式组{a +2−3a >0
a +2−a >0
即可；
（2）假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，即|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，只需求出函数y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上的最值，解不等式组即可． （1）
若f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上都有意义，则必须满足{a +2−3a >0
a +2−a >0，解得a <1，又a >0且a ≠1，
所以a 的取值范围为(0,1)． （2）
假设存在实数a ，使得f (x )与g (x )在区间[a +2,a +3]上是“友好”的，则|f (x )−g (x )|=|log a (x 2−4ax +3a 2)|≤1，即−1≤log a (x 2−4ax +3a 2)≤1，因为a ∈(0,1)，则2a ∈(0,2)，a +2>2，所以[a +2,a +3]在x =2a 的右侧，
由复合函数的单调性可得y =log a (x 2−4ax +3a 2)在区间[a +2,a +3]上为减函数， 从而当x =a +2时，y max =log a (4−4a )，当x =a +3时，y min =log a (9−6a )，
所以{
log a(4−4a)≤1
log a(9−6a)≥−1
0<a<1
，即{
4−4a≥a
9a−6a2−1≤0
0<a<1
，解得0<a≤9−√57
12
，
所以当0<a≤9−√57
12
时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“友好”的；
当9−√57
12
<a<1时，f(x)与g(x)在区间[a+2,a+3]上是“不友好”的．。