江苏省东台市五烈中学2012届高三上学期第三次月考数学试卷

江苏省东台市五烈中学2012届高三上学期第三次月考数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.集合M＝{x|y＝错误!｝，N＝{y｜y＝错误!}，则M∩N＝_______．
2.若lg x＋lg y＝2，则错误!＋错误!的最小值是．
3.设复数z满足错误!＝i，则｜1＋z｜＝________．
4.等比数列｛a n｝中，a n＞0，且a3·a6·a9＝4，则log2a2＋log2a4＋log2a8＋log2a10＝______
5.若错误!表示双曲线，则m的取值范围是_____________．
6.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线l，则l与线段BC相交的概率为______．
7.设f(x)＝lg错误!是奇函数，则使f(x)＜0成立的x的取值范围是
__________．
8.函数f(x)＝cos x－sin x（x∈［－π，0］）的单调递增区间为
_______________．
9.若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动,则错误!·（错误!＋
错误!)的取值范围是．
10.已知函数f(x）在R上满足f(x)＝2·f(2－x）－x2＋8x－8，则f(2)＝．
11.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O是坐标原点,向量错误!、错误!满足|错误!＋错误!｜＝|错误!－错误!|，则实数a的值是
__________．
12.函数y＝错误!的图像上至少存在不同的三点到（1,0)的距离构成等比数列,则公比的取值范围_____________．
13.
函数y ＝－x 2＋mx －1与以A (0,3）、B （3,0）为端点的线段(包含端点）有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是_____________．
14. 已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1错误!未找到引用源。

(a ＞0，b ＞0）的
左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得 错误!＝8a ，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 二、解答题
15.（本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线
AB 的倾斜角为34,|OB |=2，
设
3
,
(,)24
AOB。

（Ⅰ）用表示点B 的坐标及||OA ； （Ⅱ)若4
tan
3
，求OA OB 的值. 16．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC,点D 是BC 的中点. （1）求证：A 1B//平面ADC 1；
（2)如果点E 是B 1C 1的中点，求证：平面1
A BE
平面BCC 1B 1。

17．某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调
查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙（注：利润与投资单位:万元）．
O A x
B y
甲 乙
（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x （万元)的函数关系式； （Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问:怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?
18。

（本小题满分15分）如图，在ABC ∆中，
7
||||,||22
AB AC BC ==
=，以B 、C 为焦点的椭圆恰好
过AC 的中点P .
（1）求椭圆的标准方程； (2）过椭圆的右顶点
1
A 作直线与圆
22:(1)2E x y -+=相交于M
、
N
两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段
弧吗?若能，求出直线的方程;若不能，请说明理由.
19．（本小题满分 16分）
y P
A
B
C
O
x
已知数列{}n
a 满足1
20,2a
a ==，
且对任意*,m n N ∈都有22121122()m n m n a a a m n --+-+=+- （Ⅰ）求3
5
,a a ；
（Ⅱ）设*2121()n
n n b a a n N +-=-∈,证明:{}n b 是等差数列；
（Ⅲ）设1*1()(0,)n n
n n c
a a q q n N -+=-≠∈,求数列{}n c 的前n 项和n S
20（本题满分16分)
已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．
（1）求函数)(x f 的单调区间。

（2）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45,问：m 在什么范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++=)('2)(23
x f m x x x g 在区间)
3,(t 上总存在极值？
答案1、［1，＋∞ 2、错误!
3、错误!
4、错误!
5、（－∞，－1)∪（1，＋∞）
6、错误!
7、（－1，0)
8、[－π，－错误!］
9、[－2,错误!］ 10、4 11、2或 2 12、[错误!，1）∪(1，错误!］
13、(3，错误!］ 14、（1,3］ 二、解答题
15（Ⅰ)解：由三角函数的定义,得点B 的坐标
为(2cos
,2sin )。

在
AOB
中,｜OB ｜=2,
3
,4
4
4
BAO
B
,
由正弦定理,得||
||sin sin 4
OB OA B
，即
||
32sin()
4
OA ，
所以
3||22sin(
)
4
OA . —--——-—--7分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得3||||cos =42sin(
)cos
4
OA OB
OA OB ,
因为43
tan ,(,)324， 所以4
3
sin
,cos 55
， -——---—-—--—--—----——
------—10分
又3
3
3
sin()
sin cos cos
sin 4
4
4 2324
()()25
25
210
， —--———-—--—--—-—-—
-----—-—-12分 所以2312
42
()105
25
OA OB。

—-—-—---———-
—--———-——-———-—14分 16．
17。

18.（本小题共15分）
解:(Ⅰ）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元。

由题设x k x g x k x f 2
1)(,)(==
由图知(1)f =41,故1k =4
1
又4
5,25)4(2=∴=k g
从而)
0(4
5
)(),0(4
1)(≥=≥=x x x g x x x f .
(Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.
)100(104
5
41)10()(≤≤-+=
-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665
)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .
当75.3,1665
,2
5max
==
=x y t 此时时。

答：当A 产品投入3。

75万元，B 产品投入6。

25万元，企业最大利润为16
65万元.
18。

(本小题满分15分）
解：（1）∵7||||,||22
AB AC BC ===∴||||1,BO OC ==
||OA ==
=………2分
∴(1,0),(1,0),B C A -
∴1(2P ……4分
依椭圆的定义有：
2||||a PB PC =+=97444=+=
∴2a =，…………………………………………………………………
………6分 又
1c =,∴2223b a c =-=……………………………………………………
…7分
∴
椭
圆
的
标
准
方
程
为
22
143
x y +=……………………………………………8分
(求出点p 的坐标后，直接设椭圆的标准方程，将P 点的坐标代入即
可求出椭圆方程，也可以给满分.）
（2）
椭圆的右顶点1(2,0)A ，圆E 圆心为(1,0)E ，半径r =
假设点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧，
则90MEN ︒
∠=，圆心(1,0)E 到直线的距离1d =
=………………10分
当直线斜率不存在时，的方程为2x =， 此时圆心
(1,0)
E 到直线的距离
1
d =(符
合）……………………………11分
当直线斜率存在时,设的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=， ∴圆心
(1,0)
E 到直线的距离
1
d =
=，无
解……………………………13分
综上:点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧,此时方程为2x =…15分。

19。

解:(1)由题意，零m ＝2,n =1，可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6
再令m ＝3,n ＝1,可得
a 5＝2a 3－a 1＋8＝
20………………………………2分
（2）当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得
a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8于是[a 2(n ＋1）＋1－a 2(n ＋1)－1］－(a 2n ＋1－a 2n －1)
＝8即 b n ＋1－b n ＝8
所
以
{b n
｝
是
公
差
为
8
的
等
差
数
列………………………………………………5分
（3)由(1)(2）解答可知{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6,公差为8的等差数列
则b n ＝8n －2，即a 2n +=1－a 2n －1＝8n －2另由已知(令m ＝1）可得a n ＝
211
2
n a a ++-(n －1）2.
那么a n ＋1－a n ＝21
212
n n a
a +-+－2n ＋1＝822
n -－2n ＋1＝2n 于是c n ＝2nq n －1.
当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋……＋2n ＝n （n ＋1）
当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋……＋2n ·q n －1。

两边同乘以q ，可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋……＋2n ·q n 。

上述两式相减得（1－q ）S n ＝2(1＋q ＋q 2＋……＋q n －1)－2nq n
＝2·
11n
q q
--－2nq
n
＝2·
1
1(1)1n n n q nq q
+-++-
所以
S n ＝2·12
(1)1
(1)n n nq n q q +-++-
综上所述,S n ＝12(1)(1)
(1)1
2(1)(1)n n n n q nq n q q q ++=⎧⎪-++⎨≠⎪-⎩
…………………………16分
20.解：（1)由x x a x f )
1()('-=知：
当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞；
当0<a 时,函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞,单调减区间是)1,0(； 当0=a 时,函数3)(-=x f 是常数函数，无单调区间。

(2）由()212
a f '=-=2a ⇔=-，
∴()223f x ln x x =-+-，()22f 'x x
=-。

故3
232()'()(2)222m m g x x x f x x x x ⎡⎤
=++=++-⎢⎥⎣⎦
,
∴2
'()3(4)2g x x
m x =++-,
∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，∴ 函数)('x g 在区间)3,(t 上总存在零点，
又∵函数)('x g 是开口向上的二次函数,且02)0('<-=g ∴
⎩⎨
⎧><0
)3('0
)('g t g
由4320)('--<⇔<t t
m t g ,令=)(t H 432--t t
，则=)('t H 0322
<--t ， 所以)(t H 在[]2,1上单调递减，所以≥)(t H 9)1()(min
-==H t H ；
由023)4(27)3('>-⨯++=m g ,解得3
37->m ；
综上得：379.3
m -<<-
所以当m 在)9,3
37(--内取值时,对于任意的[]2,1∈t ,函数⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23
x f m x x
x g 在区间)3,(t 上总存在极值。