理论力学第03章

FAz
z
FAy
O
30 30
0 0
∑M
FBz
FC
B y
FBx
y
(F ) = 0
： =P Fc
FAx
a 0 − Fc sin30 a + P = 0 2
x
D
C
∑M
x
(F ) = 0
3a + Fc sin300 3a = 0 2
FBz 3a − P
FBz = 0
∑M
z
(F ) = 0
FBx 3a = 0
FBx = 0
满足这个方程组三个投影方程的某个方 程，合力在相应轴上无投影； 满足这个方程组三个投影方程，合力在 三个坐标轴上无投影。 满足这个方程组三个力矩方程的某个方 程，合力通过相应轴； 满足这个方程组三个力矩方程，合力通 过原点； 根据力系的具体情况，可形成4，5，6力 矩式方程：
×
4力矩式方程 力矩式方程
×
6力矩式方程 力矩式方程
∑M x (F) = 0 ∑M y (F) = 0 ∑M z (F) = 0 ∑M x' (F) = 0 ∑M y' (F) = 0 ∑M z' (F) = 0
×
特殊情况： 特殊情况：
1）空间平行力系： 作用在刚体上所有力Fi 都互相平行；且设： Fi∥z 。 一般式中： ∑ Fx ≡ 0, ∑ Fy ≡ 0, ∑ M z ( F ) ≡ 0 成为恒等式自然满足
FB
4)分析力系,本题为空间平行 0.5a 力系。 A点，B点，C点都是1自由度 FA x A 约束，可列3个独立方程 5)列平衡方程解未知力
y
×
∑M
i =1
x
(F ) = 0
z
FC
C 0.5a P a 3a B
FB
FB ⋅ 3a − P ⋅ 0.5a = 0 1 1 FB = P 6
x 0.5a
i =1
n
i =1
n
i =1
n
= [∑ ( y i Fiz − z i Fiy )]i + [∑ ( z i Fix − xi Fiz )] j + [∑ ( xi Fiy − y i Fix )]k
i =1 i =1 i =1
M O = [ ∑ M x ( Fi )] 2 + [ ∑ M y ( Fi )] 2 + [∑ M z ( Fi )] 2 = 0
2 l=0 3
FB l − Fq
x
1 FB = ql 3
Fq
FAx
FAy
∑F = 0 ∑F = 0
y
FAx = 0
FB
选题
1 ：FAy = ql 6
1 FB + FAy − ql = 0 2
×
例2 一个矩形均质薄板ABCD，其重力P，在A点球铰，B点碟 形铰链和C点绳作用下平衡，AD=a, ∠ACD=∠ACE=300。求 A,B,C点的约束反力。 z
在垂直于O点和 z'轴构成 的平面法向方向上，主矢投 影为O，所以应该保证主矢 不在在此方向投影
z
z′
n O
′ FR
y
x
∑ M x ( F ) = 0 ∑ M y ( F ) = 0 ∑ M z ( F ) = 0 ∑ M z ' ( F ) = 0 ∑ Fz = 0 F =0 两个选一个 ∑ x (∑ F = 0) 合适的方程 y
z
所以平衡方程为：
F2
F3
F1
O
y
Fn
x
Fi
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0
空间汇交力系具有三个独立方程，可以解三个未知力。
×
3）空间力偶系 根据力偶性质，力偶无合力： 则三个力投影方程
∑F
x
≡ 0, ∑ Fy ≡ 0, ∑ Fz ≡ 0 成为恒等式自然满足
对z转轴与对点O之矩是相 同的，将方程改写为：
平面任意力系最多能求解3个未知力
×
平面任意力系平衡方程的其它形式： 平面任意力系平衡方程的其它形式：
二力矩式 满足前两个方程， 说明合力通过AB连 线，在垂直于AB连 线的方向无投影。 所以力投影方程不 能垂直于AB。
∑ M A ( F ) = 0 ∑ M B ( F ) = 0 ∑ Fx = 0 选一个不垂直于AB连线 (∑ Fy = 0)
×
§3-3 平衡问题的求解
平衡问题的求解方法包括解析法和计算机求解法， 下面是解析法的求解步骤。
具体步骤： 具体步骤：
1）取研究对象 2）取坐标系 3）受力分析 4）分析力系 5）列平衡方程解未知力
×
例1：图示梁AB上受三角形分布载荷q的作用，梁长为l, 求A,B支座反力。
y
解： 1)取梁AB研究对象 2)取坐标系如图 3)受力分析：梁AB分布载荷 q化为集中力，求合力大小 为，A点为2个自由度约束， B点为1个自由度约束。 4)分析力系，梁AB的力系为平面 任意力系，可列3个平衡方程。 5)列平衡方程，解未知力
R
FR = ∑ Fi =∑ Fi = ∑ ( Fix i +Fiy j +Fiz k )
i=1 i=1 i=1
′
n
′
n
n
= (∑ Fix )i + (∑ Fiy ) j + (∑ Fiz )k
i =1 i =1 i =1
n
n
n
FR =
′
( ∑ Fix ) + ( ∑ F iy ) + ( ∑ Fiz ) 2 = 0
z
平衡方程可化为：
F2
F1
O
F3 Fi
y
x
Fn
∑ M x ( F ) = 0 ∑ M y (F ) = 0 ∑ Fz = 0
空间平行力系具有三个独立方程，可以解三个未知力。
×
2） 空间汇交力系 空间汇交力系， ∑ M x ( F ) ≡ 0, ∑ M y ( F ) ≡ 0,∑ M z ( F ) ≡ 0 由合力矩定理成为恒等式自然满足。
∑ X = 0 ∑ Y = 0 ∑ Z = 0 ∑ M x ( F ) = 0 ∑ M y ( F ) = 0 M (F ) = 0 ∑ z
这个方程组包括主矢量在三个坐标 轴上的投影和主矩在三个坐标轴上的 投影。
×
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0 ∑ M x ( F ) = 0 ∑ M y ( F ) = 0 M (F ) = 0 ∑ z
单刚体在任意力系作用下如 果保持平衡，则必须满足由 这6个方程组成的平衡方程组， 可见这个平衡方程组最多可 解出6个未知量。
称为空间任意力 系的平衡方程
z
F2
F3 Fn
O
y
x
F1
×
§3-1空间力系的平衡 空间力系的平衡
由前面的推导，可得空间力系平衡方程的一般形式为：
n ∑ Fix = 0 i= 1 n ∑ Fiy = 0 i= 1 n ∑ Fiz = 0 i= 1 n M (F ) = 0 ∑ x i i= 1 n M ( F ) =0 ∑ y i i= 1 n M (F ) = 0 ∑ z i i= 1
q
B
A z
x
x
l
Fq
FAx
FAy
FB
×
q 1 FR = ∫ xdx = ql l 2 0
l
y
q
B
根据合力矩定理，可求合力作用线位置为 xR ： A ，可求合力作用线位置为
q FRxR = ∫ ( x)xdx 0 l
l
∑M
q ∫( l x)xdx 2 xR = 0 = l FR 3
l
x
l
dx
x
z
A
(F ) = 0
i =1 i =1 i =1
n
n
n
×
n n ∑ Fix = 0 ∑ M x ( Fi ) = 0 i =1 i =1 n n ∑ Fiy = 0 ∑ M y ( Fi ) = 0 i =1 i =1 n n ∑ Fiz = 0 ∑ M z ( Fi ) = 0 i =1 i =1
第三章 任意力系的平衡
沈阳建筑大学
侯祥林
第三章 任意力系的平衡
第三章引言 第三章引言 §3-1空间力系的平衡 空间力系的平衡 §3-2 平面力系的平衡 §3-3 平衡问题的求解 平衡问题例题
第三章 任意力系的平衡
当空间任意力系简化结果： 主矢和主矩均为零 F ′ = 0，Mo = 0, 时,刚体处于平衡状态。
2 2 i =1 i =1 i =1
n
n
n
×
当空间任意力系简化结果： 主矢和主矩均为零 F ′ = 0，Mo = 0, 时,刚体处于平衡状态。
R
Mo = ∑ M i = ∑ M o ( Fi )
i =1 n i =1 n n
n
n
= [∑ M x ( Fi )]i + [∑ M y ( Fi )] j + [∑ M z ( Fi )]k
∑M
y
(F ) = 0
FA
y
A
FC 2a − P ⋅ 0.5a + FB a = 0
1 FC = P 6
∑ Fz = 0
FB + FA + Fc − P = 0
2 F= P A 3

FA =
2 P 3
1 FB = P 6
FC = 1 P 6
选题
×
例4 边长为1m的等边三角形板ABC， 用三根垂直杆和三根与水平面成300 的斜杆支撑在水平位置。板上作用 一力偶为M=1KNm,板和支撑杆重不 计，求各杆内力。 解：1) 取等边三角形板为研究对象 1) 2）取坐标如图 3）受力分析如图 4）分析力系，此题为空间一般力系
×
三力矩式
∑ M A ( F ) = 0 ∑ M B ( F ) = 0 ∑ M C (F ) = 0
满足前两个方程，说明合力通过AB连线，如果C在 AB上，则第三个方程自然满足的，不能确定合力为 0。所以A,B,C三点不能在同一条直线上。
×
平面汇交力系
因为力矩方程是恒等式，
E
解：本题为单刚体受力分析问题。 1)取刚架ABCD为研究对象 2)建立坐标系 3)受力分析如图 A点是3自由度约束，B点是2自 由度约束，C点是1自由度约束 4)分析力系，本题为空间任意 力系，可列6个方程
A
O
30
0
B yCΒιβλιοθήκη 30 0D x z
FAz
P
FBz FC
FAy
O
B
FAx
y
FBx
x
D
C
×
5)列平衡方程解未知力
x
∑F
=0
P FAz = 2
： =P Fc
x
D
C
FBx = 0
F Bz = 0
FAx = 3 P 4 3 FAy = P 4 P FAz = 2
选题
FAy =
4
P
×
例3 小车受力如图，求A,B,C处反力
解：1)取小车为研究对象 2)建立坐标系如图 3)受力分析如图
z
FC
C 0.5a P a 3a B
平面力偶系
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
平面平行力系
∑M
A
(F ) = 0
∑m = 0
∑ M A ( F ) = 0 ∑ Fy = 0
×
从上面分析可知道: (1) 解决力系的平衡问题，应知道所研究对象是哪一种 力系; (2) 该力系有几个平衡方程，可解几个未知数; (3) 对于单刚体，未知数数量等于能列得的独立方程的 个数。 (4)刚体系要考虑总的未知数个数和能列得的独立平衡 方程的个数相等。
×
5力矩式方程 力矩式方程
因为在垂直于O点和z' 轴组 成的平面法向方向上，主矢 投影为O ，所以应该保证主 矢不在在此方向投影。 根据实际力系可选下面一组 方程：
z
z′
O′
′ FR
y
O
x
x′
∑ M x ( F ) = 0 ∑ M y ( F ) = 0 ∑ M z ( F ) = 0 ∑ M x' ( F ) = 0 ∑ M z ' ( F ) = 0 ∑ Fx = 0 三个投影方 (∑ Fy = 0) 程中选合适 ( F = 0) 的一个方程 ∑ z
×
： =P Fc
FBz = 0
FBx = 0
FAz
FAx
z
FAy
O
30 300
0
∑F
z
=0
FBz
FC
B y
FBx
FAz + FBz − P + Fc sin 30 0 = 0
FAx + FBx − Fc cos 300 sin 30 = 0 3 FAx = P 4 ∑ Fy = 0 FAy − Fc cos 30 0 cos 30 0 = 0 3
∑M
x
( F ) ≡ 0, ∑ M y ( F ) ≡ 0,∑ Fz ≡ 0 成为恒等式自然满足
×
平面任意力系平衡的一般式为
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ M z ( F ) = 0
y
′ FR
O
z
x
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ M O (F ) = 0
所以平衡方程为：
∑ M x (F ) = 0 (F ∑ M y (F ) = 0 ∑ M z (F ) = 0
空间力偶系具有三个独立方程， 最多可以解三个未知力
×
§3-2 平面力系的平衡
当力系中的所有力作用在同一平面或力系具有同 一对称面时，该力系称为平面力系. 1）平面任意力系的平衡 设z轴与力作用线所在平面垂直，则：