1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
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1 7 21 35 35 21 7 1 这样,就可以将二项式系数表延伸下去, 从而可根据这个表来求二项式系数.
例3 试证 : 在a bn的展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 分析 奇数项二项式系数的和为
Cn0 Cn2 Cn4 , 偶数项二项式系数的和为C1n Cn3 Cn5 ,
由于 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn
中的a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和. 实际上,a,b 既可以取任意实数,也可以取任意多 项式,还可以是别的.我们可以根据具体问题的需 要灵活选取a,b的值.
证明 在展开式 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn中,令a 1,b 1,则得 1 1n Cn0 C1n Cn2
1.3 二项式定理
1.3.2 "杨辉三角"与二项式系数的性质
探究 用计算器计算a bn 展开式的二项
式系数并填入下表.
n
a bn 展开式的二项式系
1
2
3
4
5
6
通过计算填表,你发现了什么规律?
从上表可以发现 ,每一行中的系数具有对称性.
除此之外还有什么规律呢 ?为了方便,可将上表
写成如下形式:
Cnnm得 到.
直 线 x n 将 函 数fr的 图 象分 成 对 称 的两 部分,
2 它 是 图 象 的 对 称 轴.
2增减性与最大值 因为
Ckn
பைடு நூலகம்
nn 1n 2 n k k 1!k
1
Ckn1
n k
k
1,
所
以Ckn相
对
于Ckn1
的
增
减
情
况
由n
k k
1
决
定,由
n k 1 1 k n 1可 知,当k n 1时,二 项 式
在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于 它 " 肩上" 两个数的和.事实上,设表中任一不 为1的数为Crn1,那么它肩上的两个数分别为 Crn1及Crn,容易证明Crn1 Crn1 Crn.
左积 右积
本积 一
商除 一 一
平方 一 二 一
立方 一 三 三 一
三乘 一 四 六 四 一 四乘 一 五 十 十 五 一
其图象是7个孤立点(图1.3 2).
请你分别画出n 7,8,9 时的函数图象.你能看
出它们有哪些异同吗?
下 面 结 合" 杨 辉 三 角"和 图1.3 2来 研 究 二 项 式 系
数 的 一 些 性 质.
1对称性 与首尾两端"等距离" 的两 个二项式
系数相等.事实上,这一性质可直接由公式Cmn
f r
对于a bn 展开式的二项 20
式系数 Cn0, C1n, Cn2, , Cnn, 15 我们还可以从函数角度来 10
分析它们.Crn 可看成是以r 5
为自变量的函数f r ,其定
r
o 12 34 5 6
义域是 0,1,2, ,n.对于确
图1.3 2
定的n,我们还可以画出它的图象.例如n 6,
k
2
2
系 数 是 逐 渐 增 大 的.由 对 称 性 知 它 的 后 半 部分 是 逐
渐 减 小 的,且 在 中 间 取 得 最 大 值当 ; n 是奇数时,中间 n1 n1
的 两 项Cn2 .Cn2 相 等,且 同 时 取 得 最 大 值.
3各二项式系数和 已知
1 x n Cn0 C1nx Cn2x2 Crnxr Cnnxn,
Cn0 C1nx Cn2x2 Cknxk Cnnxn,那么
这个表称为杨辉三角,在《 详解九章算法》 一书 里 ,还说明了表里“一” 以 外的每一个数都等于它 肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《 释锁》 算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经 用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧 洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(BlaisePas cal,1623 1662) 首先发现的,他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早 五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常 值得中华民族自豪的.
表示形 a b1
式的变 化有时
a b2
也能帮 a b3
助我们 a b4
11 121 13 31 14 6 41
发现某 a b5 1 5 10 10 5 1
些规律. a b6 1 6 15 20 15 6 1
探究 你能借助上面的表现形式发现一些新的规
律吗?
上表中蕴含着许多规律,例如 : 在 同 一 行 中, 每 行 两 端 都 是1,与 这 两 个1等 距 离的项的系数相等;
五乘 一 六 十五二十十五 六 一
命 以中 实 廉藏 而 乘者
除 商皆 之 方廉
右左 裘裘 乃乃 隅积 算数
图1.3 1
值 得 指 出 的 是,这 个 表 在 我 国 南 宋数 学 家 杨 辉 在1261年 所 著 的《 详 解 九 章 算 法》 一书里就出现 了,所 不 同 的 只 是 这 里的表用阿拉伯数 字 表 示,在 这 本 书 里 记载的是用汉字表 示 的 形 式(图1.3 1).
Cn3 1nCnn,即 0 Cn0 Cn2 C1n Cn3 ,
所以 Cn0 Cn2 C1n Cn3
即在a bn的展开式中,奇数项的二项式系数的和
等于偶数项的二项式系数的和.
实 际 上, 联 想 到
1 x n Cn0 C1nx Cn2x2 Cknxk Cnnxn, 把它看成是关于x的函数,即fx 1 xn
令x 1,则2n Cn0 C1n Cn2 Cnn. 这就是说,
a bn的 展 开 式 的 各 个 二 项 式系 数 的 和 等 于2n.
你能用组合意义解释一下这个" 组合等式" 吗?
利 用 这 些 性 质 可 以 解 决许 多 问 题 . 例 如, 利用" 杨辉三角"中除1以外的每一个数都 等 于 它 肩 上 两 个数 的和 这 个 性 质 , 可 以 根据相应于n 的各二项式系数写出相应 于n 1的二项式系数.如根据" 杨辉三角" 中相应于n 6 的各二项式系数,可写出 相应于n 7的各二项式系数
例3 试证 : 在a bn的展开式中,奇数项的二项式
系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 分析 奇数项二项式系数的和为
Cn0 Cn2 Cn4 , 偶数项二项式系数的和为C1n Cn3 Cn5 ,
由于 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn
中的a,b可以取任意实数,因此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和. 实际上,a,b 既可以取任意实数,也可以取任意多 项式,还可以是别的.我们可以根据具体问题的需 要灵活选取a,b的值.
证明 在展开式 a b n Cn0an C1nan1b Cn2an2b2 Cnnbn中,令a 1,b 1,则得 1 1n Cn0 C1n Cn2
1.3 二项式定理
1.3.2 "杨辉三角"与二项式系数的性质
探究 用计算器计算a bn 展开式的二项
式系数并填入下表.
n
a bn 展开式的二项式系
1
2
3
4
5
6
通过计算填表,你发现了什么规律?
从上表可以发现 ,每一行中的系数具有对称性.
除此之外还有什么规律呢 ?为了方便,可将上表
写成如下形式:
Cnnm得 到.
直 线 x n 将 函 数fr的 图 象分 成 对 称 的两 部分,
2 它 是 图 象 的 对 称 轴.
2增减性与最大值 因为
Ckn
பைடு நூலகம்
nn 1n 2 n k k 1!k
1
Ckn1
n k
k
1,
所
以Ckn相
对
于Ckn1
的
增
减
情
况
由n
k k
1
决
定,由
n k 1 1 k n 1可 知,当k n 1时,二 项 式
在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于 它 " 肩上" 两个数的和.事实上,设表中任一不 为1的数为Crn1,那么它肩上的两个数分别为 Crn1及Crn,容易证明Crn1 Crn1 Crn.
左积 右积
本积 一
商除 一 一
平方 一 二 一
立方 一 三 三 一
三乘 一 四 六 四 一 四乘 一 五 十 十 五 一
其图象是7个孤立点(图1.3 2).
请你分别画出n 7,8,9 时的函数图象.你能看
出它们有哪些异同吗?
下 面 结 合" 杨 辉 三 角"和 图1.3 2来 研 究 二 项 式 系
数 的 一 些 性 质.
1对称性 与首尾两端"等距离" 的两 个二项式
系数相等.事实上,这一性质可直接由公式Cmn
f r
对于a bn 展开式的二项 20
式系数 Cn0, C1n, Cn2, , Cnn, 15 我们还可以从函数角度来 10
分析它们.Crn 可看成是以r 5
为自变量的函数f r ,其定
r
o 12 34 5 6
义域是 0,1,2, ,n.对于确
图1.3 2
定的n,我们还可以画出它的图象.例如n 6,
k
2
2
系 数 是 逐 渐 增 大 的.由 对 称 性 知 它 的 后 半 部分 是 逐
渐 减 小 的,且 在 中 间 取 得 最 大 值当 ; n 是奇数时,中间 n1 n1
的 两 项Cn2 .Cn2 相 等,且 同 时 取 得 最 大 值.
3各二项式系数和 已知
1 x n Cn0 C1nx Cn2x2 Crnxr Cnnxn,
Cn0 C1nx Cn2x2 Cknxk Cnnxn,那么
这个表称为杨辉三角,在《 详解九章算法》 一书 里 ,还说明了表里“一” 以 外的每一个数都等于它 肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《 释锁》 算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经 用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧 洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(BlaisePas cal,1623 1662) 首先发现的,他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早 五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常 值得中华民族自豪的.
表示形 a b1
式的变 化有时
a b2
也能帮 a b3
助我们 a b4
11 121 13 31 14 6 41
发现某 a b5 1 5 10 10 5 1
些规律. a b6 1 6 15 20 15 6 1
探究 你能借助上面的表现形式发现一些新的规
律吗?
上表中蕴含着许多规律,例如 : 在 同 一 行 中, 每 行 两 端 都 是1,与 这 两 个1等 距 离的项的系数相等;
五乘 一 六 十五二十十五 六 一
命 以中 实 廉藏 而 乘者
除 商皆 之 方廉
右左 裘裘 乃乃 隅积 算数
图1.3 1
值 得 指 出 的 是,这 个 表 在 我 国 南 宋数 学 家 杨 辉 在1261年 所 著 的《 详 解 九 章 算 法》 一书里就出现 了,所 不 同 的 只 是 这 里的表用阿拉伯数 字 表 示,在 这 本 书 里 记载的是用汉字表 示 的 形 式(图1.3 1).
Cn3 1nCnn,即 0 Cn0 Cn2 C1n Cn3 ,
所以 Cn0 Cn2 C1n Cn3
即在a bn的展开式中,奇数项的二项式系数的和
等于偶数项的二项式系数的和.
实 际 上, 联 想 到
1 x n Cn0 C1nx Cn2x2 Cknxk Cnnxn, 把它看成是关于x的函数,即fx 1 xn
令x 1,则2n Cn0 C1n Cn2 Cnn. 这就是说,
a bn的 展 开 式 的 各 个 二 项 式系 数 的 和 等 于2n.
你能用组合意义解释一下这个" 组合等式" 吗?
利 用 这 些 性 质 可 以 解 决许 多 问 题 . 例 如, 利用" 杨辉三角"中除1以外的每一个数都 等 于 它 肩 上 两 个数 的和 这 个 性 质 , 可 以 根据相应于n 的各二项式系数写出相应 于n 1的二项式系数.如根据" 杨辉三角" 中相应于n 6 的各二项式系数,可写出 相应于n 7的各二项式系数