河北省迁安市第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题解析(解析版)

2015—2016第一学期期末考试高二数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知等差数列{}n a 的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝( ) A 、-4 B 、-6 C 、-8 D 、-10
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意可得()()()2
231422222246a a a a a a a =∴+=-+∴=- 考点：等差数列通项公式
2.△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．非钝角三角形 【答案】C 【解析】
试题分析：222362564
5,6,8cos 090260
a c
b
c a b B B ac +-+-===∴=
=<∴>，所以三角形为钝角三角形
考点：余弦定理解三角形
3.已知a 、b 为实数，且a+b=2，则3a
+3b
的最小值为（ ） A ．18 B ．6 C ．32 D ．243 【答案】B 【解析】
试题分析：333236a b a b a b
++≥==，当且仅当33a b =即a b =时等号成立，所以最小值为6
考点：不等式性质
4.抛物线y ＝－4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A.
1716 B. 1516 C ．1516- D ．17
16
-
【解析】
试题分析：抛物线方程变形为214x y =-∴准线为116y =，M 到准线的距离为1可知点M 的纵坐标是1516
- 考点：抛物线方程及性质 5.下列结论正确的是的个数为： ①ln 2y = 则21=
'y ②x y = 则x
y 21
=' ③x
e
y -= 则x
e y --=' ④x y cos = 则x y sin ='
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B 【解析】
试题分析：①中0y '=；②中x
y 21='；③中x
e
y --='；④中sin y x '=-
考点：函数求导数
6.已知实数,x y 满足10,10,
10,x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
那么2x-y 的最大值为 （ ）
A ．—3
B ．—2
C ． 2
D ．1
【答案】D 【解析】
试题分析：不等式对应的可行域为直线10,10,10x y y x y -+=+=++=围成的三角形及其内部，三个顶点为()()()1,0,2,1,0,1----，当2x y -过点()0,1-时取得最大值1 考点：线性规划问题
7.已知不等式250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<,则不等式250bx x a -+> 的解集为( )
A ．
11{|}32x x -<< B ．11
{|}
32x x x <->或 C ．{|32}x x -<< D ．{|32}x x x <->或
【解析】
试题分析：由题意可知2
50ax x b -+=的两个根为123,2x x =-=53253032a a b b a ⎧
-+=⎪=-⎧⎪∴∴⎨⎨
=⎩⎪-⨯=
⎪⎩
，不等式250bx x a -+>转化为230550x x -->，解不等式得解集为11|32x x x ⎧
⎫<->⎨⎬⎩
⎭或
考点：三个二次关系
8.焦点在y 轴的椭圆x 2
＋ky 2
＝1的长轴长是短轴长的2倍，那么k 等于（ ） A.－4 B. 4
1
- C.4 D.
4
1 【答案】D 【解析】
试题分析：椭圆方程变形为22
221
1,11y x a b k k
+=∴=
=1124a b k ∴=
==∴= 考点：椭圆方程及性质
9.过抛物线y 2
=4x 的焦点F 作直线L 交抛物线于A 、B 两点，若|AB|=6，则线段AB 中点的横坐标为（ ） A.1 B. 4 C.3
D. 2
【答案】
D
考点：抛物线性质
10.等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=则（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2+3log 5 【答案】B
试题分析：564756189a a a a a a +=∴=
()()5
3132310312103563log log log log log 5log 910a a a a a a a a ++
+====
考点：等比数列性质及对数运算
11.设P 是双曲线22
219
x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0， 12F F 、分别是双曲线的左、
右焦点，若1PF =3,则2PF 等于
A ．1或5 B.6 C.7 D.9 【答案】C 【解析】
试题分析：由渐近线可知
3
2
b a =293,2
b b a =∴==122247PF PF a PF -==∴=
考点：双曲线定义及性质.
12.四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，31=AA ，0
1160=∠=∠AD A AB A ，则1AC 的长为( )
A ．． 23 C ． D ．32 【答案】A 【解析】
试题分析：记1A 在面ABCD 内的射影为O ，∵11A AB A AD ∠=∠，∴O 在∠BAD 的平分线上， 由O 向AB ，AD 两边作垂线，垂足分别为E ，F ，连接11,A E A F 分别垂直AB ，AD 于E ，F
∵13AA =，0
1160=∠=∠AD A AB A ，∴AE=AF=
3
2
，又四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 为矩形
∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=32，可得1A OA 中，由勾股定理得1A O =
过1C 作1C M 垂直底面于M ，则有△1C MC ≌△1A OA ，由此可得M 到直线AD 的距离是5
2
，M 到直线AB 的
距离是72，11C M AO ==所以1AC == 考点：棱柱的结构特征
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设函数1
()20)f x x x x
=+< 则()f x 的最大值为 ________ 【答案】23- 【解析】
试题分析：0x <时()11
22x x f x x x
-+≥+≤-≤--，所以最大值为23- 考点：不等式性质
14.过双曲线22
221x y a b
-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若01
90PFQ ∠=，则双曲线的离心率是 【答案】21+
【解析】
试题分析：由双曲线性质可知2
2222222010b a c a ac c a c ac a e e a
+=∴+=-∴--=∴--=
1e ∴=考点：双曲线方程及性质
15.函数x
xe x f =)(的导函数f '(x)= 【答案】()1x x e +
【解析】 试题分析：()()()'
'
'1x x x x x f
x x e x e e xe x e =+=+=+
考点：函数求导数
16.下列有关命题的说法正确的有_________________________(填写序号)
①命题“若1,0232
==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12
≠+-≠x x x 则” ② “x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 ③若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
④对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2
≥++∈∀⌝x x R x p 均有
【答案】①②④ 【解析】
试题分析：①逆否命题需将原命题条件与结论交换后分别否定，因此命题正确；②中由1x =可得
0232=+-x x 成立，反之不成立，所以命题正确；③当p q ∧为假命题时,p q 至少有一个假命题，因此
结论错误；④中特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，因此命题正确 考点：四种命题与全称命题特称命题
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
已知,,a b c 是ABC ∆三内角,,A B C 的对边，且6,4,3
b c A π
===．
（1）求a 的值； （2）求sin C 的值．
【答案】（1）a =2 【解析】
试题分析：（1）由三角形余弦定理2222cos a b c bc A =+-可求得a 的值；（2）由正弦定理sin sin a c
A C
=
可求得sin C 的值
试题解析：（1）根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-， 将6,4,3
b c A π
===
代入可得：22264264cos
283
a π
=+-⨯⨯⨯=．
所以a = ----------------------------5分 （2） 根据正弦定理：
sin sin a c
A C
=
，
由（1）知 a =，代入上式，得
sin sin 4A C c a =⨯==
--------------10分 考点：正余弦定理解三角形 18.（本题满分12分）
已知命题：“}11|{≤≤-∈∀x x x ，都有不等式02<--m x x 成立”是真命题。

（1）求实数m 的取值集合B ；
（2）设不等式()())1(,023≠<---a a x a x 的解集为A ，若A x ∈是B x ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）),2(+∞=B （2）⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡+∞∈,1()1,3
2
a
考点：1.集合关系中的参数取值问题；2.命题的真假判断与应用；3.一元二次不等式的解法
19.已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率3
6
=e ，焦距是22.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点,5
2
6=
CD ，求k 的值． 【答案】（1）13
22
=+y x （2）3±=k
【解析】
试题分析：（1）由离心率可求得
c
a
的值，由焦距可得c 值，进而得到,a b 值，得到椭圆方程；（2）将直线与椭圆方程联系，整理得1212,x x x x +
2x 求解k 的值
试题解析：（1）222=c ，22=c ，又
3
6
=
a c ，所以32=a ，12=
b ∴ 椭圆方程为13
22
=+y x ．
4分
（2）设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，将2+=kx y 带入13
22
=+y x
整理得0
912)31(2
2
=+++kx x k 6分
所以有0)31(36)12(2
2
>+-=∆k k ①
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=+-=+⋅2212
213193112k x x k k x x ， 221221)()(y y x x CD -+-=
)(2121x x k y y -=-
所以
2212)(15
2
6x x k -+=8分
又2
2222212
212
213136
)31(124)()(k k k x x x x x x +-
+=-+=- 代入上式，整理得
02712724=--k k 即0
)3)(97(22=-+k k -------10分
解得 舍去）(7
9
2-
=k 或,32=k 即3±=k 经验证，，3±=k 使①成立，故为所求. 12分
考点：1.椭圆方程及性质；2.直线与椭圆相交的弦长问题. 20.（本题满分12分）
如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别为棱BC 、CD 上的动点，且CF BE =
（1）求证：E D F B 11⊥；
（2）当三棱锥CEF C -1
的体积取最大值时，求二面角C EF C --1的正切值.
【答案】（1）详见解析（2）【解析】
试题分析：（1）因为是正方体，又是空间垂直问题，所以易采用向量法，所以建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，欲证E D F B 11⊥，只须证110D E B F =再用向量数量积公式求解即可；（2）由题意可得：当
三棱锥CEF C -1
的体积取到最大值时，即其底面积△FEC 最大，可得点E 、F 分别是BC 、CD 的中点时取最
大值，再根据线面关系得到∠C1OC 为二面角C EF C --1的平面角，进而利用解三角形的有关知识求出答
案即可
试题解析：（1）证明：
以D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，
设BE CF m ==
1(,,)B a a a 、(0,,0)F a m -
1(0,0,)D a 、(,,0)E a m a -------------3分
1(,,)B F a m a =---
1(,,)D E a m a a =--
211()0B F D E a a m am a ⋅=---+=
11B F D E ∴⊥--------------------------------6分
（2）解：226
161)](21[311a am a m a m V CEF C +-=⨯-⨯=- 当且仅当 2
a
m =
时，三棱锥CEF C -1的体积最大-------------9分 取EF 的中点为)0,4
3,4(a
a K ，连结CK 、K C 1，则EF CK ⊥、EF K C ⊥1， 即KC C 1∠是二面角C EF C --1的平面角，而a 4
2||=
故22tan 1=∠KC C 为所求-----------------------12分 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解 21.（本小题满分12分）
已知动圆过定点（1，0），且与直线1x =-相切。

（1）求动圆的圆心轨迹C 的方程
（2）是否存在直线l ，使l 过点(0,1)，并与轨迹C 交于,P Q 两点，使以PQ 为直径的圆过原点？ 【答案】（1）2
4y x =（2）直线l 存在，其方程为440x y +-= 【解析】
试题分析：（1）设M 为动圆圆心，根据圆M 与直线x=-1相切可得|MF|=|MN|，结合抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，从而解决问题；（2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线l 的方程为x=k （y-1）（k ≠0），与抛物线方程联立结合根的判别式求出k 的范围，再利用向量垂直求出k 值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在
试题解析：(1)如图。

设M 为动圆圆心，(1,0)F ，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：
MF MN = ……………………2分
即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中(1,0)F 为焦点，1x =-为准线，∴动点R 的轨迹方程为24y x = ……6分
（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，
由2(1)4x k y y x =-⎧⎨=⎩ 得2440y ky k -+=
216160,1k k ∆=-><-或1k > ………………………………8分
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,4y y k y y k +==
因为以PQ 为直径的圆过原点，
则0OP OQ ⋅=，即1122(,),(,)OP x y OQ x y ==，于是12120x x y y += ……10分
即21212(1)(1)0k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=
2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去）
又41k =-<-，∴直线l 存在，其方程为440x y +-=………………12分
考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.抛物线的简单性质
22.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n .
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n
n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

【答案】（Ⅰ）13n n a -=21n b n =-（Ⅱ）1133n n n T -+=-
【解析】
试题分析：（1）要求数列{}n a ，{}n b 的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由11a =，121n n a S +=+，不难得到数列{}n a 为等比数列，而由数列{}n b 满足11a b =，点),(1+n n b b P 在直
线02=+-y x 上，*∈N n ，易得数列{}n b 是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）由（1）中结论，我们易得n
n n a b c =，即数列{}n c 的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{}n c 的前n 项和n T 试题解析：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥. 又21213a S =+= ,所以213a a =.
故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以13n n a -=.…………4分 由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=. 则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列.则()11221n b n n =+-=-. …………6分 （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --=
=，所以0121135213333n n n T --=++++.…………7分 则12311352133333n n n T -=++++,…………8分 两式相减得：
1121111332222212112111221333
3333313n n n n n n n n n n T ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++++-=+⨯-=-- ⎪⎝⎭-…………10分 21112113323233
n n n n n n T ----+∴=--=- …………………………………12分 考点：1.数列求通项公式；2.错位相减法数列求和
：。