人教版八年级数学下 二次根式章末重难点题型(举一反三)(人教版)

专题1.1 二次根式章末重难点题型
【人教版】
【考点1 二次根式相关概念】
【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．
【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，
，
，
（y ≤0），
和
（a ＜
0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②
；③
；④
；⑤
中最简二次根式是（ ） A ．①②
B ．③④⑤
C ．②③
D ．只有④ 【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①
； ②
； ③
； ④
中，与
是同类二次
根式的是（）
A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④
（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】
A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4
【考点2 二次根式有意义条件】
【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）
A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0
【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2
【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个
【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
【考点3 利用二次根式性质化简符号】
【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣
【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）
A．﹣1B．C．﹣D．﹣
【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）
A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）
【考点4 利用二次根式的性质化简】
【方法点拨】二次根式的性质：
（1））（
）（02
≥=a a a
（2）⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==）（）（）
（00002
a a a a a a a
【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结
果是（ ）
A ．a ﹣b +3
B ．a +b ﹣1
C ．﹣a ﹣b +1
D ．﹣a +b +1 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2a
B ．1﹣2a
C ．2a ﹣1
D ．2a ﹣5
【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣
的正确结果是（ ）
A ．2b ﹣c
B ．2b +c
C ．2a +c
D ．﹣2a ﹣c
【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x ＜1，则﹣
等于（ ）
A ．
B ．﹣
C ．﹣2x
D ．2x
【考点5 二次根式的乘除运算】 【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=
⋅b a ab b a
（2）
）
，（00>≥=
b a b a
b
a 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）
÷3
×
【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：
•
（﹣）÷
（a ＞0）
【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：
【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．
【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】
【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣30b+b2；
（3）（a﹣2）（b﹣2）．
【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；
（1）x2+y2；
（2）．
【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．
【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【考点7 二次根式的加减运算】
【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．
【例7】（2019春•武昌区期中）计算：
（1）
（2）
【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）+4﹣+．
【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：
（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2
【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）
（2）
【考点8 二次根式的混合运算】
【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：
（1）
（2）3
【变式8-1】（2019春•广东期中）计算
（1）（）÷
（2）（3）2﹣（）（）
【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：
（1）﹣×+
（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0
【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：
（1）
（2）
【考点9 分母有理化的应用】
【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：
﹣＝﹣＝
因为﹣＞+，所以﹣＜﹣
再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝
当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较3﹣4和2的大小；
（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．
【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简
解：
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么
＝m±n
例如：化简
解：+1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于；
（2）计算：
①；
②．
【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．
在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．
（2）计算：
①已知x＝，求x2+y2的值；
②．
【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．
【考点10 二次根式的应用】
【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b＝9，≤；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
【变式10-2】已知一个三角形的三边长分别为12
，
，
．
（1）求此三角形的周长P （结果化成最简二次根式）；
（2）请你给出一个适当的a 的值，使P 为整数，并求出此时P 的值．
【变式10-3】斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n （n 为正整数）个数a n 可表示为[（
）n ﹣
（
）n ]．
（1）计算第一个数a 1； （2）计算第二个数a 2；
（3）证明连续三个数之间a n ﹣1，a n ，a n +1存在以下关系：a n +1﹣a n ＝a n ﹣1（n ≥2）； （4）写出斐波那契数列中的前8个数．
【考点1 二次根式相关概念】
【方法点拨】1．二次根式：形如a （0 a ）的代数式叫做二次根式． 2．最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式．
【例1】（2019春•浉河区校级月考）在式子，
，
，
（y ≤0），
和
（a ＜
0，b ＜0）中，是二次根式的有（ ） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式进行分析即可． 【答案】解：式子，，（y ≤0），
（a ＜0，b ＜0）是二次根式，共4个，
故选：B ．
【点睛】此题主要考查了二次根式定义，关键是注意被开方数为非负数．
【变式1-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①；②；③；④；⑤
中最简二次根式是（）
A．①②B．③④⑤C．②③D．只有④
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【答案】解：③＝＝|a﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；
④＝＝，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
⑤＝＝，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；
因此只有①②符合最简二次根式的条件．
故选：A．
【点睛】根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
【变式1-2】（2019春•左贡县期中）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）
A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④
【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．
【答案】解：∵，，，
∴与是同类二次根式的是①和③
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．
（2019春•海阳市期中）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（）【变式1-3】
A．﹣1B．4或﹣1C．1或﹣4D．4
【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式即可求出答案．
【答案】解：由题意可知：n2﹣2n＝n+4，
∴解得：n＝4或n＝﹣1，
当n＝4时，
n+4＝8＞0，
此时不是最简二次根式，不符合题意，
当n＝﹣1时，
n+4＝3＞0，
综上所述，n＝﹣1
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式，本题属于基础题型．
【考点2 二次根式有意义条件】
【方法点拨】二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．【例2】（2019春•泰山区期中）式子在实数范围内有意义的条件是（）
A．x≥1B．x＞1C．x＜0D．x≤0
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【答案】解：式子在实数范围内有意义的条件是：x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）为使有意义，x的取值范围是（）A．x≥﹣2且x≠2B．x＞﹣2且x≠2C．x＞2D．x＞2或x≤﹣2
【分析】根据二次根式有意义的条件题意可得2x+4≥0，再根据分式有意义的条件可得3x﹣6≠0，再解即可．
【答案】解：由题意得：2x+4≥0，且3x﹣6≠0，
解得：x≥﹣2且x≠2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方
数是非负数．
【变式2-2】（2018春•西华县期中）使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范围，进而得出整数x的值．
【答案】解：∵代数式有意义，
∴x+3＞0，3﹣3x≥0，
解得：x＞﹣3，x≤1，
则﹣3＜x≤1，
故代数式有意义的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，共4个数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．
【变式2-3】（2019秋•安岳县校级期中）如果有意义，则x的取值范围（）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数和分式分母不为零的条件可得3﹣x＜0，再解即可．【答案】解：由题意得：3﹣x＜0，
解得：x＞3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
【考点3 利用二次根式性质化简符号】
【方法点拨】二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
【例3】（2019春•海阳市期中）把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（）A．B．C．﹣D．﹣
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【答案】解：a根号外的因式移到根号内，化简的结果是﹣，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，注意化简后不能改变原数的大小．
【变式3-1】（2019春•汉阳区期中）已知ab＜0，则化简后为（）
A．a B．﹣a C．a D．﹣a
【分析】根据算术平方根和绝对值的性质＝|a|，进行化简即可．
【答案】解：∵a2≥0，ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴＝|a|＝﹣a，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握算术平方根和绝对值的性质是解题的关键．
【变式3-2】（2018春•宜兴市期中）（a﹣1）变形正确的是（）
A．﹣1B．C．﹣D．﹣
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【答案】解：∵有意义，
∴1﹣a＞0，
∴a﹣1＜0，
∴（a﹣1）＝﹣＝﹣．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
【变式3-3】（2019春•城区校级期中）化简﹣x，得（）
A．（x﹣1 ）B．（1﹣x）C．﹣（x+1 ）D．（x﹣1 ）
【分析】根据已知式子得出x＜0，再根据二次根式的性质把根号内的因式移入根号外，最后合并即可．【答案】解：∵要使和有意义，必须x＜0，
∴﹣x＝﹣x﹣x•（﹣）
＝﹣x+
＝（1﹣x），
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简的应用，能把各个部分根式化成最简根式是解此题的关键．
【考点4 利用二次根式的性质化简】 【方法点拨】二次根式的性质：
（1））（）（02
≥=a a a
（
2）⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>==）（）（）
（00002
a a a a a a a
【例4】（2019春•庐阳区校级期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简的结
果是（ ）
A ．a ﹣b +3
B ．a +b ﹣1
C ．﹣a ﹣b +1
D ．﹣a +b +1
【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【答案】解：由数轴可知：﹣1＜a ＜0＜2＜b ， ∴a +1＞0，b ﹣2＞0， ∴原式＝|a +1|﹣|b ﹣2| ＝a +1﹣b +2 ＝a ﹣b +3， 故选：A ．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【变式4-1】（2019春•丰润区期中）若2＜a ＜3，则＝（ ） A ．5﹣2a
B ．1﹣2a
C ．2a ﹣1
D ．2a ﹣5
【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【答案】解：因为2＜a ＜3， 所以＝a ﹣2﹣（3﹣a ）＝a ﹣2﹣3+a ＝2a ﹣5，
故选：D ．
【点睛】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答．
【变式4-2】（2018秋•海淀区校级期中）实数a 、b 、C 在数轴上的位置所示，那么化简|c +a |+﹣
的正确结果是（ ）
A．2b﹣c B．2b+c C．2a+c D．﹣2a﹣c
【分析】先由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，据此得出c+a＜0，a﹣b＞0，再根据绝对值性质和二次根式的性质2化简可得．
【答案】解：由数轴知c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|，
则c+a＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣b）
＝﹣c﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣2a﹣c，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质2：＝|a|．
【变式4-3】（2018春•汉阳区期中）若0＜x＜1，则﹣等于（）A．B．﹣C．﹣2x D．2x
【分析】首先利用完全平方公式化简，进而利用二次根式的性质求出即可．
【答案】解：﹣
＝﹣
＝﹣
＝|x+|﹣|x﹣|
∵0＜x＜1，
∴x﹣＜0，
∴原式＝x++x﹣＝2x．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式是解题关键．
【考点5 二次根式的乘除运算】
【方法点拨】掌握二次根式的乘除法则 （1）），（00≥≥=
⋅b a ab b a
（2）
）
，（00>≥=
b a b a
b
a 【例5】（2019春•邗江区校级期中）计算： （1）÷ （2）
÷3
×
【分析】（1）根据二次根式的性质把除式变形，根据二次根式的乘法法则计算； （2）根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【答案】解：（1）÷
＝×
＝ ＝； （2）÷3
×
＝××
＝ ＝．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 【变式5-1】（2018秋•松江区期中）计算：
•
（﹣）÷
（a ＞0）
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案． 【答案】解：•（﹣）÷（a ＞0）
＝﹣•a 2b ÷
＝﹣9a 2 ＝﹣
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式5-2】（2019秋•闸北区期中）计算：
【分析】利用除以一个数等于乘以这个数的倒数转化后利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【答案】解：原式＝（2×6）
＝12
＝4
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是能够了解法则并能熟练的将除法转化为乘法进行运算．
【变式5-3】（2019春•新泰市期中）化简下列式子：•3．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
【答案】解：原式＝2ab×3×（﹣2）
＝﹣12ab•a2
＝﹣12a3b．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【考点6 利用二次根式性质求代数式的值】
【例6】（2019春•萧山区期中）已知，，求下列式子的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣30b+b2；
（3）（a﹣2）（b﹣2）．
【分析】（1）先分解因式，然后将a、b的值代入求值；
（2）先变形，然后将a、b的值代入求值；
（3）直接代入求值．
【答案】解：（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（）
＝1×2；
（2）a2﹣30b+b2
＝（a+b）2﹣2ab﹣30b
＝2﹣﹣30
＝（2）2﹣2﹣30+60
＝78﹣30；
（3）（a﹣2）（b﹣2）
＝（）（）
＝（）
＝5﹣4．
【点睛】本题考查了根式的化简求值，适当对整式进行变形是解题的关键．
【变式6-1】（2019春•芜湖期中）已知，，分别求下列代数式的值；
（1）x2+y2；
（2）．
【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到x＝﹣1，y＝+1，再求出x﹣y与xy的值，然后根据完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整体代入即可；
（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．
【答案】解：（1）∵＝﹣1，＝+1，
∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；
（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，
∴原式＝＝＝6．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．
【变式6-2】（2019春•长白县期中）已知﹣＝2，求的值．
【分析】利用已知结合完全平方公式求出x2+＝34，进而代入求出即可．
【答案】解：∵﹣＝2，
∴（﹣）2＝4，
∴x+＝6，
∴（x+）2＝36，
∴x2+＝34，
∴＝＝4．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式是解题关键．
【变式6-3】（2018秋•通川区校级期中）已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．【答案】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，
∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1×，
＝4；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
【考点7 二次根式的加减运算】
【方法点拨】二次根式的运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并．
【例7】（2019春•武昌区期中）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．
【答案】解：（1）原式＝2+3﹣
＝0；
（2）原式＝×3+6×﹣5
＝2+3﹣5
＝0．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式7-1】（2019春•萧山区期中）计算下列各式：
（1）；
（2）+4﹣+．
【分析】（1）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式；
（2）首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．
【答案】解：（1）原式＝2++2﹣＝+2；
（2）原式＝3+2﹣4+＝5﹣．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
【变式7-2】（2018春•襄城区期中）计算：
（1）﹣+﹣（2）﹣﹣+2
【分析】（1）首先化简二次根式进而合并得出答案；
（2）首先化简二次根式进而合并得出答案．
【答案】解：（1）原式＝6﹣4+3﹣5
＝﹣；
（2）原式＝﹣﹣+10
＝9．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
【变式7-3】（2018春•罗山县期中）（1）
（2）
【分析】（1）先进行二次根式、三次根式的化简，然后进行加减合并．
（2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算．
【答案】解：（1）原式＝9﹣3+＝；
（2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，要先进行二次根式的化简，然后再进行合并运算．【考点8 二次根式的混合运算】
【例8】（2019春•泰兴市校级期中）计算：
（1）
（2）3
【分析】（1）先化简各二次根式，再进一步计算可得；
（2）先化简各二次根式、除法转化为乘法，再进一步计算可得．
【答案】解：（1）原式＝（2﹣）﹣3（+）
＝2﹣﹣﹣3
＝﹣﹣；
（2）原式＝••（﹣）
＝﹣2．
【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．【变式8-1】（2019春•广东期中）计算
（1）（）÷
（2）（3）2﹣（）（）
【分析】（1）先化简各二次根式，再计算括号内的加减，最后计算除法即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算可得．
【答案】解：（1）原式＝（5+4﹣3）÷2
＝6÷2
＝3；
（2）原式＝19﹣6﹣3+4
＝20﹣6．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
【变式8-2】（2019春•杭锦后旗期中）计算：
（1）﹣×+
（2）（2﹣）2018（2+）2019﹣2×|﹣|﹣（）0
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）根据积的乘方和零指数幂的意义计算．
【答案】解：（1）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（2）原式＝[（2﹣）（2+）]2018•（2+）﹣2×﹣1
＝（4﹣3）2018•（2+）﹣﹣1
＝2+﹣﹣1
＝1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式8-3】（2019春•莱州市期中）计算：
（1）
（2）
【分析】（1）根据二次根式的加减法和除法可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．
【答案】解：（1）
＝（9﹣2+）÷4
＝8÷4
＝2；
（2）
＝[（）+3][（）﹣3]
＝（）2﹣18
＝3﹣6+6﹣18
＝﹣9﹣6．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
【考点9 分母有理化的应用】
【例9】（2019春•西城区校级期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：﹣＝＝
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和﹣的大小可以先将它们分子有理化如下：
﹣＝﹣＝
因为﹣＞+，所以﹣＜﹣
再例如：求y＝﹣的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝
当x＝2时，分母﹣有最小值2，所以y的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较3﹣4和2的大小；
（2）求y＝+﹣的最大值和最小值．
【分析】（1）利用分子有理化得到3﹣4＝，2﹣＝，然后比较3+4和2+的大小即可得到3﹣4与2﹣的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y＝+，利用当x＝0时，
有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用当x＝1时，有最小值﹣1，有最下值0得到y的最小值．
【答案】解：（1）3﹣4＝＝，
2﹣＝＝，
而3＞2，4＞，
∴3+4＞2+，
∴3﹣4＜2﹣；
（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，
y＝+，
当x＝0时，+有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；
当x＝1时，+有最大值，则有最小值﹣1，此时有最下值0，所以y的最小值为﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式9-1】（2019春•微山县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简
解：
材料二：化简的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么
＝m±n
例如：化简
解：+1
【理解应用】
（1）填空：化简的结果等于；
（2）计算：
①；
②．
【分析】（1）根据分母有理化法则计算；
（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【答案】解：（1）原式＝＝＝4+，
故答案为：4+；
（2）①＝＝＝﹣；
②原式＝﹣1+﹣+4﹣+…+﹣＝﹣1．
【点睛】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题的关键．
【变式9-2】（2018秋•吴江区期中）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．
在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，＝3，它
们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如：，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4﹣的有理化因式可以是，分母有理化得．
（2）计算：
①已知x＝，求x2+y2的值；
②．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【答案】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，
＝＝，
故答案为：4+，；
（2）①当x＝＝＝＝2+，
y＝＝＝＝2﹣时，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1．
【点睛】此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
【变式9-3】（2019秋•唐河县期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．请任用其中一种方法化简：①；②．
【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；
②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．
【答案】解：①
＝
＝；
②
＝
＝
＝2﹣．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
【考点10 二次根式的应用】
【例10】（2018春•嘉祥县期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b＝9，≤；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可．
【答案】解：（1）∵a+b≥2 （a、b均为正实数），
∴a+b＝9，则a+b≥2，即≤；
故答案为：；
（2）由（1）得：m+≥2，
即m+≥2，当m＝时，m＝1（负数舍去），
故m+有最小值，最小值是2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 （a、b均为正实数）求出是解题关键．
【变式10-1】（2019•太原一模）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝，则三角形的面积S＝．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．
【答案】解：（1）p＝＝＝9，
S＝
＝
＝6．
答：这个三角形的面积等于6．。