浙教版-学年度上学期八年级期中数学试卷三（含答案）

浙教版2018-2019学年八年级上期中数学试卷三
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD 的大小关系，下列何者正确？（）
A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD
3．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果积压的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出买进价的x%卖出，则（）
A．x%≥35% B．x%≤40% C．35%＜x%≤40% D．35%≤x%＜40%
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，D是CA延长线上一点，∠B=40°，∠BAD=76°，则∠C的度数为（）
A．36°B．116°C．26°D．104°
6．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A．75°或30°B．75°C．15°D．75°或15°
7．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（）
A．OA=OB B．OP为△AOB的角平分线
C．OP为△AOB的高D．OP为△AOB的中线
8．用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A．假设一个三角形中只有一个锐角
B．假设一个三角形中至多有两个锐角
C．假设一个三角形中没有一个锐角
D．假设一个三角形中至少有两个钝角
9．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD是△ABC的角平分线．若在边AC上截取CE=CB，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC=60°，BC=6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B运动运动至点C，△B′C′D面积的大小变化情况是（）
A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线．
第一步：作直线AB，并用三角尺的一边贴住直线AB；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺作出直线CD．这样就得到AB∥CD．
这种画平行线的依据是．
12．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为．
13．藏族小伙小游到批发市场购买牛肉，已知牦牛肉和黄牛肉的单价之和为每千克44元，小游准备购买牦牛肉和黄牛肉总共不超过120千克，其中黄牛肉至少购买30千克，牦牛肉的数量不少于黄牛肉的2倍，粗心的小游在做预算时将牦牛肉和黄牛肉的价格弄对换了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元，若牦牛肉、黄牛肉的单价和数量均为整数，则小游实际购买这两种牛肉最多需要花费元．
14．一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有可能值为．
15．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为．
16．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC边上，把△ABD沿AD折叠后，使得点B落在点E处，连接CE，若∠DBE=20°，则∠ADC=．
三．解答题（共8小题，满分80分）
17．（8分）解不等式（组）
（1）﹣（x﹣3）＞4
（2）．
18．（8分）如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．
（1）试判断B′E与DC的位置关系；
（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．
19．（8分）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．
20．（8分）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B 种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．
21．（10分）（1）如图1，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=44°，∠C=68°，求∠CAD、∠EAD的度数．
（2）如图2，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A．
22．（12分）一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图1所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为45cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图2所示．
（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；
（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．
23．（12分）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）
24．（14分）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，则有BE=CD；
（1）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
（2）运用图（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：
如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长（结果保留根号）．
参考答案与试题解析
1．解：（1）（2）（4）都不是轴对称图形，只有（3）是轴对称图形．
故选：B．
2．解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB=BD AC=EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故选：D．
3．解：设新进货应高出买进价的x%，
由题意得，则3000+4000+1100
解得：，即35%≤x%≤40%
故选：D．
4．解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为：，
故选：C．
5．解：由三角形的外角的性质可知，∠C=∠BAD﹣∠B=36°，
故选：A．
6．解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示
∵CD ⊥AB ，CD=AC ， ∴sin ∠A=
=，
∴∠A=30°， ∴∠B=∠C=75°；
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示，
∵CD ⊥AB ，即在直角三角形ACD 中，CD=AC ， ∴∠CAD=30°， ∴∠CAB=150°， ∴∠B=∠C=15°． 故选：D ．
7．解：当点P 是AB 的中点时S △AOB 最小；
如图，过点P 的另一条直线CD 交OE 、OF 于点C 、D ，设PD ＜PC ，过点A 作AG ∥OF 交CD 于G ，
在△APG 和△BPD 中，
，
∴△APG ≌△BPD （ASA ）， S 四边形AODG =S △AOB ． ∵S 四边形AODG ＜S △COD ， ∴S △AOB ＜S △COD ，
∴当点P 是AB 的中点时S △AOB 最小； 故选：D ．
8．解：用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角．
故选：D．
9．解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
10．解：如图，作B′H⊥DC′于H．设BD=DB′=x，则CD=DC′=6﹣x．
∵∠A=60°，
∴∠B+∠C=120°，
由翻折不变性可知：∠B=∠DB′B，∠C=∠DC′C，
∴∠BDB′+∠CDC′=120°，∴∠B′DC′=60°，
∴B′H=x，
∴S
=（6﹣x）=﹣（x﹣3）2+，
△DB′C′
的值先增大后减小，
∴S
△DB′C′
故选：D．
11．解：∵∠BAE=∠DEF，
∴AB∥DE．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
12．解：由题意，列出不等关系
x（6﹣1﹣2）+60≥300，
化简得3x≥300﹣60．
13．解：设牦牛肉和黄牛肉的单价分别为每千克x元和（44﹣x）元，购买牛肉牦牛肉和黄牛肉的数量分别为m千克和n千克；
由题意：m（44﹣x）+nx﹣（mx+n（44﹣x）=224，
∴x（m﹣n）=22（m﹣n）﹣112，
∵实际购买这两种牛肉的价格=mx+n（44﹣x）=x（m﹣n）+44n=22（m+n）﹣112，∵m+n≤120，
∴当m+n=120时，22（m+n）﹣112有最大值，最大值=2528（元），
答：小游实际购买这两种牛肉最多需要花费2528元．
14．解：①原三角形是锐角三角形，最大角是72°的情况如图所示：
∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，AD=BD=BC；
②原三角形是直角三角形，最大角是90°的情况如图所示：
∠ABC=90°，∠A=36°，AD=CD=BD；
③原三角形是钝角三角形，最大角是108°的情况如图所示：
④原三角形是钝角三角形，最大角是126°的情况如图所示：
∠ABC=126°，∠C=36°，AD=BD=BC；
⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132°的情况如图所示：
∠C=132°，∠ABC=36°，AD=BD，CD=CB．
综上，原三角形最大内角的所有可能值为72°，90°，108°，132°，126°．15．解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为4，
∴b2=4，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=36，
故答案为：36
16．解：如图1中，当点E在直线BC的下方时，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ADB≌△ADE，
∴BD=DE，∠ABD=∠AED=45°，∠DAB=∠DAE，∴∠DBE=∠DEB=20°
∴∠ABE=∠AEB=65°，
∴∠DAB=（180°﹣130°）=25°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=70°
如图2中，当点E在直线BC的上方时，
易知∠ABE=∠AEB=45°﹣20°=25°，
∴∠BAD=（180°﹣50°）=65°，
∴∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=110°，
故答案为70°或110°．
17．解：（1）x﹣3＜﹣8，
x＜﹣5；
（2）
解不等式（1），得x＜﹣2，
解不等式（2），得x≥﹣5，
所以原不等式组的解集为﹣5≤x＜﹣2．
18．解：（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，
∠AB′E=∠B=∠D=90°，
∴B′E∥DC；
（2）∵折叠，
∴△ABE≌△AB′E，
∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，
∵B′E∥DC，∴∠BEB′=∠C=130°，
∴∠AEB=∠BEB′=65°．
19．解：如图，∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|=|AB﹣BC|=15﹣12=3（cm），AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm，
若AB＞BC，则AB﹣BC=3cm，
又∵2AB+BC=27cm，
联立方程组并求解得：AB=10cm，BC=7cm，
10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC﹣AB=3cm，
又∵2AB+BC=27cm，
联立方程组并求解得：AB=8cm，BC=11cm，
8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；
∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．
20．解：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得．
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件，则A型号衣服购进（2m+4）件，
可得：，
解之得，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，2m+4=24、26、28．
答：有三种进货方案：
（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
21．解：（1）∵在△ABC中，∠B=44°，∠C=68°，
∴∠BAC=180°﹣44°﹣68°=68°．
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAC=×68°=34°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣68°=22°，
∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=34°﹣22°=12°．
（2）∵AB=BC=CD=DE，
∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，
又∵∠EDM=84°，
∴∠A+3∠A=84°，
解得：∠A=21°．
22．解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，
如图2，连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于E，
∵∠OAB=120°，∴∠OAE=60°
在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10cm，
∴sin∠OAE==，
∴OE=5cm，AE=5cm
∴EB=AE+AB=50cm，
在Rt△OEB中，
∵OE=5cm，EB=50cm，
∴OB===（cm）；
（2）∵雨刮杆AB 旋转180°得到CD ，即△OCD 与△OAB 关于点O 中心对称， ∴△BAO ≌△OCD ， ∴S △BAO =S △OCD ，
∴雨刮杆AB 扫过的最大面积S=π（OB 2﹣OA 2）=1237.5π（cm 2）．
23．
解：（1）如图2，∵△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC ， ∴∠A′BA=60°，A′B=AB ，AP=A′C ∴△A′BA 是等边三角形， ∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C 中，A′C ＜AA′+AC ，即AP ＜6，
则当点A′A 、C 三点共线时，A′C=AA′+AC ，即AP=6，即AP 的最大值是：6； 故答案是：6．
（2）如图3，∵Rt △ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ．
以B 为中心，将△APB 逆时针旋转60°得到△A'P'B ．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B ， ∴PA +PB +PC=P′A′+P'B +PC ．
∵当A'、P'、P 、C 四点共线时，（P'A +P'B +PC ）最短，即线段A'C 最短， ∴A'C=PA +PB +PC ， ∴A'C 长度即为所求．
过A'作A'D ⊥CB 延长线于D ． ∵∠A'BA=60°（由旋转可知）， ∴∠1=30°． ∵A'B=4， ∴A'D=2，BD=2，
∴CD=4+2
．
在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．
故答案是：2+2（或不化简为）．
24．解：（1）BE=DC，理由如下：
∵△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）
∴BE=DC，
（2）在AB的外侧作AD⊥AB，使AD=AB，连结CD，BD，
∴∠DAB=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°，
即∠DBC=90°．
∴∠CAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE．
∵AB=100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得BD=100．
∴CD==100，
∴BE=CD=100，
答：BE的长为100米。