轴对称及轴对称变换

Ⅳ轴对称及轴对称变换
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
一、例题
【例１】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）
【训练1】
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）
2．如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）
【例2】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）
A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）
【训练2】
1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）
A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3
2．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到
点R，则点R的坐标是___________.
3．已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使
点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）
A．30°B．20°C．15°D．10°
【训练3】
1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.
若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）
A．70°B．65°C．50°D．25°
2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝
___________.
3．⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.
求图⑤中∠α的大小
.
【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分
线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．
【训练4】
1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．
2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的
周长是___________cm．
【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD
处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？
⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM为最小；⑵本题利用轴对称
知识进行解答．
【训练6】
1．设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）
2．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
二、课后练习
1．如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°
2．如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
3．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）
A．80°B．85°C．95°D．110°
4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）
A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）
C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）
5．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）
06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（）
A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－1
7．如图，镜子中号码的实际号码是___________．
8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2.
9．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________.
10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC
＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．
12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．。