北京国子监中学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(答案解析)

一、选择题
1．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）
A ．﹣1
B ．﹣3
C ．﹣5
D ．﹣7
3．下列函数关系式中，属于二次函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．2
1y x x
=+
C ．()()2
21y x x x
=+--
D ．21y x =-
4．抛物线28y x x q =++与x 轴有交点，则q 的取值范围是（ ） A ．16q <
B ．16q >
C ．16q ≤
D ．16q ≥
5．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当
-a b 为整数时，ab 的值为( )
A ．
3
4
或1 B ．
1
4
或1 C ．
34或12
D ．
14或12
6．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，点P （m ，n ）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A ．当n ＜0时，m ＜0 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2
D ．当n ＞0时，m ＜x 1
7．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（ ） A ．0m ≤
B ．12
m <
C ．102
m <<
D ．12m <<
8．下列各图象中有可能是函数()2
0y ax a a =+≠的图象（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x =-+上的三点，1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >>
10．将抛物线22y x =先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系式是 （ ） A ．2(2-1)-3y x =
B ．22(-1)-3y x =
C ．2(21)-3y x =+
D ．22(1)-3y x =+
11．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x
时，
0y >，其中正确的是（ ）
A ．①②⑤
B ．①②④
C ．②③④
D ．③④⑤ 12．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）
A ．x =－3
B ．x =－1
C ．x =－2
D ．x =4
二、填空题
13．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．
14．如图，已知二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点A （3，0）对称轴为直
线x ＝1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＜－1时，y ＜0；②30a b +>；③2
-13
a ≤≤-；④248ac a
b ->；其中正确的结论有_________．
15．已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数()2
2y x m =--的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_______．
16．如果抛物线y =x 2﹣6x +c 的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于____．
17．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．
18．若二次函数()2
21y x k =++的图象上有两点()(),,,03A m B n -，
m ____________n ．（填“>”，“=”或“<”）
19．如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D 的横坐标最大值为_____．
20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在B
的左侧），与y 轴交于点C ．
（1）若OB=OC=3，求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）在（1）的条件下，设点P 在抛物线的对称轴上，求PA+PC 的最小值和点P 的坐标．
22．已知二次函数21122
y x kx k =
++-． （1）求证：不论k 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴总有公共点；
（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为()3,0，求B 点坐标．
23．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李林从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x （单位：千米），乘坐地铁的时间1y （单位：分钟）是关于x 的一次函数，其关系如下表： 地铁站
A
B
C
D
E
x （千米）
8
9
10
11.5
13
1y
（分钟）
18 20 22 25 28
（1）求1关于的函数表达式．
（2）李林骑单车的时间2y （单位：分钟）也受x 的影响，其关系可以用
2
212
1178y x x -+=
来描述，请问：李林应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间． 24．阅读下列材料： 我们知道，一次函数y kx b =+的图象是一条直线，而y kx b =+经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式0Ax By C ++=（A 、B 、C 是常数，且A 、B 不同时为0）.如图1，点()P m n ,到直线l ：0Ax By C ++=的距离（d ）计算公式是：
2
2
A m
B n C
d A B
⨯+⨯+=
+．
例：求点()1,2P 到直线51126y x =
-的距离d 时，先将51126
y x =-化为51220x y --=，再由上述距离公式求得()()
()
2
251122221
13
512d ⨯+-⨯+-=
=
+-． 解答下列问题： 如图2，已知直线4
43
y x =-
-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线245y x x =-+上的一点()3,2M ．
（1）请将直线4
43
y x =-
-化为“0Ax By C ++=”的形式； （2）求点M 到直线AB 的距离；
（3）抛物线上是否存在点P ，使得PAB △的面积最小？若存在，求出点P 的坐标及
PAB △面积的最小值；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线()2
0y ax bx c a =++≠经过原点，点11,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
和动点P 都是该抛物线上点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若y 轴上点()0,A m ，()()0,0B m m ->，//BC x 轴，过点P 作PC BC ⊥于C ，设点(),P x y 满足AP PC =，求m 的值．
26．如图，已知二次函数21y ax bx =+-的图象经过点D （-1，0）和C （4，5）． （1）求二次函数的解析式；
（2）在同一坐标系中画出直线1y x =+，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题； 【详解】
∵ ()()2
2356y x x x x =--=-+，
∴ △=24b ac -=25-24=1＞0
∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键；
2．C
解析：C 【分析】
当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，求出a ＝1
3
；当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝1
3
（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，求出x 值，即可求解． 【详解】
当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4， 则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3， 把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3， 解得：a ＝
13
， 当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小， 此时抛物线的表达式为：y ＝1
3
（x ＋2）2﹣3， 令y ＝0，则x ＝﹣5或1， 即点M 的横坐标的最小值为﹣5， 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是二次函数与x 轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．
3．D
解析：D 【分析】
利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】
A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；
B 、2y x =+
1
x
不是二次函数，故B 不符合题意；
C 、()()2
2
2
2122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题
意；
D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意； 故答案为：D ． 【分析】
本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
4．C
解析：C 【分析】
根据抛物线与x 轴的交点情况可得到方程2
80x x q ++=根的情况，进而得到根的判别式
大于等于0，即可得到关于q 的不等式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】
解：∵抛物线2
8y x x q =++与x 轴有交点
∴方程280x x q ++=有实数根
∴2248416440b ac q q ∆=-=-⨯⋅=-≥ ∴16q ≤． 故选：C 【点睛】
本题考查了二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的关系、解一元一次不等式等，体现了数形结合的思想．
5．A
解析：A 【分析】
由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可． 【详解】
解：∵二次函数()2
20y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-，
∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<， ∴2a b +=，且0,2a a b >-<， ∴02,02a b <<<<， ∴22a b -<-<， ∵
-a b 为整数，
∴1a b -=或0或-1， 若1a b -=时，则有31,22
a b =
=，从而34ab =；
若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =； 若1a b -=-时，则有13,22
a b ==，从而34ab =；
故选A ． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
首先根据a 判断二次函数图象的开口方向，再确定对称轴，根据图象和二次函数的性质分析得出结论． 【详解】 解：∵a ＞0，
∴开口向上，以对称轴在y 轴左侧为例可以画图
二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2， 无法确定x 1与x 2的正负情况，
∴当n ＜0时，x 1＜m ＜x 2，但m 的正负无法确定，故A 错误，C 正确； 当n ＞0时，m ＜x 1 或m ＞x 2，故B ，D 错误，均不完整 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与x 轴交点的问题，熟练掌握二次函数图象及图像上的坐标特征是解题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
由2
35y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y
轴，由此列出关于m 的不等式解之即可 ． 【详解】
解：∵2
35y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y >
∴1m m <-，下面解此不等式．
第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0；
第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12
m <； 第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解；
综上所述得12
m <． 故选：B ． 【点睛】
此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．
8．B
解析：B 【分析】
从0a >和0a <两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案． 【详解】
解：当0a >时，开口向上，顶点在y 轴的正半轴； 当0a <时，开口向下，顶点在y 轴的负半轴， 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
9．A
解析：A 【分析】
根据二次函数的对称性、增减性即可得． 【详解】
由二次函数的性质可知，当1x ≥-时，y 随x 的增大而减小， 抛物线2
(1)y x =-+的对称轴为1x =-，
∴0x =时的函数值与2x =-时的函数值相等，即为1y ，
∴点()10y ,在此抛物线上，
又
点()21,B y ，()32,C y 在此抛物线上，且1012-<<<，
123y y y ∴>>，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的对称性、增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10．B
解析：B
先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【详解】
解：抛物线y =22x 的顶点坐标为(0，0)，
向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，
所以,所得图象的解析式为y =22(1)x - -3．
故选：B
【点睛】
本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．
11．B
解析：B
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；
【详解】
∵对称轴在y 轴的右侧，
∴a 、b 异号，
∵开口向下，
∴0a <，0b >，
∵函数图像与y 轴正半轴相交，
∴0c >，
∴0abc <，故①正确；
∵对称轴12b x a
=-=， ∴20a b +=，故②正确；
∵20a b +=，
∴2b a =-，
∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，
∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；
根据图示，当1m =时，有最大值；
当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，
∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；
根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；
故正确的答案是①②④；
故选：B ．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．
【详解】
由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-， 则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．
二、填空题
13．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴ 解析：22
【分析】
作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论．
【详解】
解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形，
∴BD DE =
作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，
∴∠EFO=∠DOB=90°
又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒
∴∠DBD FDE =∠
在△DBO 和△EDF 中
DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DBO ≌△EDF
∴FE OD FD BO ==，
对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，
∴()40A -，
，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，
∴0(4)C ，
设D （t ，0），则(4,)E t t +
∴22224)2((2)8OE t t t =++=++
∴当t=-2
时，取最小值，即OE ==，
故OE
的最小值为
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．
14．①③【分析】由二次函数的对称性可得与x 轴的另一个交点坐标为由图像可得开口向下则有对称轴为直线即由此可进行求解问题【详解】解：由二次函数二次函数的图像与x 轴交于点A （30）对称轴为直线x ＝1可得抛物线 解析：①③
【分析】
由二次函数的对称性可得与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，由图像可得开口向下，则有0a <，240b ac ->，对称轴为直线1x =，即20a b +=，由此可进行求解问题．
【详解】
解：由二次函数二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点A （3，0）对称轴为直
线x ＝1，可得抛物线与x 的另一个交点坐标为()1,0-，开口向下，即0a <，当1x ≤时，y 随x 的增大而增大，
∴当1x <-时，y ＜0，故正确；
∵对称轴为直线1x =，即20a b +=，0a <，
∴300a b a a +=+=<，故②错误；
设抛物线的解析式为()()13y a x x =+-，则2
23y ax ax a =--， 令x=0时，则有y=-3a ，
∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），
∴233a ≤-≤， 解得：213
a -≤≤-
，故③正确； ∵23c ≤≤，240b ac ->， 由248ac b a ->得248ac a b ->，
∵0a <， ∴224b c a
-<， ∴20c -<，
∴2c <，与23c ≤≤矛盾，故④错误；
所以正确的结论有①③；
故答案为①③．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 15．y2<y1<y3【分析】根据二次函数的对称性增减性可以得解【详解】解：由二次函数的解析式可得x=2时y 取得最小值∴最小又由二次函数图象的对称性质可知x=0与x=4的函数值相等∴令x=0时函数值为y 则
解析：y 2<y 1<y 3
【分析】
根据二次函数的对称性、增减性可以得解．
【详解】
解：由二次函数的解析式可得x=2时y 取得最小值，∴2y 最小，
又由二次函数图象的对称性质可知x=0与x=4的函数值相等，
∴令x=0时函数值为y ，则1y y =，
再由二次函数的增减性质可知x<2时，y 随着x 的增大反而减小，
所以由于0>-2，因此x=0时的函数值小于x=-2时的函数值，即3y y <，
∴13y y <，∴213y y y <<，
故答案为213y y y <<．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性、增减性及最大最小值的求法是解题关键．
16．c=6或12【分析】根据题意得顶点的纵坐标是3或-3列出方程求出解则可
【详解】解：根据题意得：±3解得：c=6或12故答案为：c=6或12【点睛】本题考查了二次函数的性质熟记顶点的纵坐标公式是解题的
解析：c =6或12
【分析】
根据题意得顶点的纵坐标是3或-3，列出方程求出解则可．
【详解】
解：根据题意得：
2
4(6)4
c --=±3， 解得：c =6或12．
故答案为：c =6或12．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟记顶点的纵坐标公式是解题的关键．
17．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可
【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴
解析：2a b c -+-
【分析】
根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．
【详解】
解：观察图象得：a<0，c>0，
把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -
= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，
∴||a b c -+
=a b c -+
=-(2b+c)+a-b+c
=-2b-c+a-b+c
= -3b+a
=-5a ，
故答案为-5a ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 18．【分析】抛物线开口向上且对称轴为直线根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大【详解】∵二次函数∴该抛物线开口向上且对称轴为直线：∴点A （-3m ）关于对称轴的对称点为（1m ）∵-1＜0
解析：>
【分析】
抛物线开口向上，且对称轴为直线1x =-，根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大．
【详解】
∵二次函数22(1)y x k =++，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：1x =-．
∴点A （-3，m ）关于对称轴的对称点为（1，m ），
∵-1＜0＜1，
∴m ＞n ．
故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
19．8【分析】根据题意当点C 的横坐标取最小值时抛物线的顶点与点A 重合进而可得抛物线的对称轴则可求出此时点D 的最小值然后根据抛物线的平移可求解【详解】解：∵点AB 的坐标分别为（14）和（44）∴AB=3由
解析：8
【分析】
根据题意当点C 的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A 重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D 的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．
【详解】
解：∵点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），
∴AB=3，
由抛物线y=a （x ﹣m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），可得：当点C 的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A 重合，
∴抛物线的对称轴为：直线1x =，
∵点()3,0C -，
∴点D 的坐标为()5,0，
∵顶点在线段AB 上移动，
∴点D 的横坐标的最大值为：5+3=8；
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式 解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】 先把函数解析式配成顶点式得到21
124
()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．
【详解】 解：2211()24
y x x x =-=--， 所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．
三、解答题
21．（1）243y x x =
-+，对称轴为直线2x =；（2）最小值为P 坐标(2，1)．
【分析】
（1）根据题意得到B 、C 两点坐标，利用待定系数法及对称轴公式求解即可；
（2）连接BC 交对称轴于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此时PA+PC 最小，根据勾股定理可求出最小值，再由B 、C 两点坐标求出解析式，从而求得点P 坐标．
【详解】
解：（1）由题意知，B(3，0)，C(0，3)， 将B 、C 坐标代入可得：3930c b c =⎧⎨++=⎩
， 解得：43b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为243y x x =
-+， ∴对称轴为直线42221
b x a -=-=-=⨯； （2）∵点A ，B 关于直线2x =对称，
∴连接BC 交对称轴于点P ，此时PA+PC=PB+PC 的值最小，最小值为BC ，
在Rt OBC 中，OB=OC=3， ∴
BC ==
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+，
把x =2代入3y x =-+得：y =1，
∴点P(2，1)，
∴PA+PC 的最小值为
P 的坐标为(2，1)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式，轴对称最短，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）B （1-，0）
【分析】
（1）令y=0得到关于x 的一元二次方程，再用k 表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论；
（2）把A 点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令0y =，可求得方程的解，可得出B 点坐标．
【详解】
（1）证明：令0y =可得：
211022x kx k ++-=， ∵12a =
，b k =，12c k =-， ∵22114422b ac k k ⎛⎫=-=-⨯⨯- ⎪⎝⎭
221k k =-+ ()210k =-≥，
∴不论k 为任何实数，方程
211022x kx k ++-=， 二次函数21122
y x kx k =++-的图象与x 轴总有公共点； （2）解：∵A （3，0）在抛物线21122y x kx k =
++-上， ∴21133022
k k ⨯++-=，解得1k =-， ∴二次函数的解析式为21322y x x =
--，
令0y =，即213022
x x --=， 解得3x =或1x =-，
∴B 点坐标为（1-，0）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标为对应一元二次方程的两根是解题的关键．
23．（1）122y x =+；（2）应在B 站出地铁，时间最短，为
79min 2
． 【分析】
（1）根据数据表，运用待定系数法解答即可；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y ，则y=12y y +列出y 与x 的二次函数解析式，最后运用二次函数求最值解答即可．
【详解】
解：（1）设1y kx b =+，将(8,18)，(9,20)代入得： 188209k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得22
k b =⎧⎨=⎩， 所以122y x =+；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y ，则
22121122117898022y y x x x x x +=++-+=-+2179(9)22
x =-+ 则当9x =时，12y y +取最小值792
， 则应在B 站出地铁，时间最短，为
79min 2． 【点睛】
本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意，确定二次函数的解析式是解答本题的关键．
24．（1）43120x y ++=；（2）点M 到直线AB 的距离为6；（3）存在，413,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，△PAB 面积最小值为
656
． 【分析】
（1）根据题意可直接进行化简；
（2）根据题中所给公式可直接进行代值求解；
（3）设点()2,45P a a a -+，根据题意可得点P 到直线AB 的距离，然后根据三角形面积计算公式可得2327422
PAB S a a =-+，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）由443y x =-
-可得：43120x y ++=； （2
）由公式d =()3,2M 可得：
点M 到直线AB
的距离为：3065
d ===； （3）存在点P ，使△PAB 的面积最小，理由如下：
设点()2,45P a a a -+，则有：
点P 到直线AB
的距离为：238275a a d -+==，
由图像可得当y>0时，x 的值为全体实数，
∴238270a a -+>，
∵直线443
y x =-
-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当x=0时，y=-4，当y=0时，x=-3， ∴()()3,0,0,4A B --，
∴5AB =， ∴2
2132734654222236PAB S AB d a a a ⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当43a =时，△PAB 的面积最小，即为656
PAB S =， ∴此时点P 的坐标为413,39⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质及点到直线的距离公式，关键是根据题中所给点到直线的距离公式进行分析和求解问题即可．
25．（1）218y x =
；（2）m=2 【分析】
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）分别求出PC ，PA 的长，根据PC=PA 列方程求解即可．
【详解】
解：（1）由于该抛物线经过原点（0，0），对称轴为y 轴，
∴c=0，b=0
∴该抛物线的解析式为2y ax =，
把点（1，18）代入得，18a = ∴该抛物线的解析式为218y x =
； （2）∵()0,A m ，B(0，-m)，P(x ，y)
且//BC x 轴，PC BC ⊥，P 在抛物线上，
∴C （x ，-m ），P （x ，
21x 8） ∴PC=218
x m + 作AM ⊥PC 于M ，则222PA AM PM =+
∴221()8
PA x x m =
+- ∵PA=PC ∴22PA PC =
即2222211()()88x m x x m +=+-
整理得，2202m x x -
= ∴2(1)02
m x -= ∵0x ≠
∴102
m -
= 解得，m=2．
【点睛】 此题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，求出PC ，PA 的长是解答此题的关键．
26．（1）211122
y x x =
--；（2）-1＜x ＜4． 【分析】
（1）根据二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，代入得出关于a ，b 的二元一次方程组，求得a ，b ，从而得出二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，令y=0，解一元二次方程，求得x 的值，从而得出与x 轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案．
【详解】
（1）∵二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，
∴1016415a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， ∴12a =，12
b =-， ∴二次函数的解析式为211122y x x =
--； （2）当0y =时，得：01x =+，
解得1x =-，
当4x =时，得：5y =，
解得1x =-，
∴直线1y x =+经过点D （-1，0）和C （4，5）两点，
∴图象如图，
观察图象，当-1＜x ＜4时，直线1y x =+在抛物线的上方，
∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是解题的关键．。