1.2.4 二面角 第1课时(教学课件)-——高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
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例1 如图所示，已知二面角a-l-β的棱上有A,BBDCβ,BD⊥l, 若 AB=6,AC=3,BD=4,CD=7,
两个点，ACcay AC求二面角α-l-β的 大小 .
O O学习目标
O O课堂总结
因此 即所求二面角的大小为
在△AEC中，由余弦定理可知
(其中S表示射影图形面积，S 表示原图形面积).
O O学习目标
O O课堂总结
三是射影面积公式法：
O O
O O
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ , 棱长为1,求二面角B₁-A₁C₁-B
学习目标
新课讲授
的大小.
解：连接B₁D₁交AC于0,连接BO.∵BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁, 而B₁D₁⊥A₁C₁,
<BOB₁ 是二面角B₁-A₁C₁-B日即所求二面角大小为45°
的平面角., ∴∠BOB₁=45°
∴BO⊥A₁C₁,
根据今天所学，回答下列问题：1.二面角的平面角的定义的有哪些主要特征? 2.如何作二面角的平面角?
O O课堂总结
的轨道所在平面)与赤道平面之间的夹角，它的大小为23°26',如图所示.
在地理学科中所学过的黄赤交角，指的就是黄道平面(即地
学习目标
O课堂总结
解：如图所示，在平面β内过A 作BD 的平行线AE, 且使得AE=BD,连接CE,ED.因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角.AB⊥面AEC,所 以ED⊥面AEC,从而QE=√CD²-ED²=√CD²-AB²=√7²-6²=√ 13.
特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
则∠AOB 叫做二面角α-l-β的平面角
∠AOB = ∠A'OB'
二面角的平面角的定义的三个主要特征：(1)过棱上任意一点；(2)分别在两个半平面内作射线；(3)射线垂直于棱.
约定二面角及其平面角大小范围：[0,π]
O O学习目标
面角的棱
CBDA二面角C-AB
O O学习目标
O O课堂总结
二面角α— l—β
表示方法：
O O学习目标 新课讲授生活中的二面角
O O课堂总结
思考：类比二面角和平面角，如何表示二面角的大小?
如果二面角α-AB-β 的大小为θ,在△SOS'中，
O O课堂总结
O O学习目标
aβ
所 以
例2 如图所示三棱锥S-ABC 中，面SAC⊥ 面ABC,SA=SC= √3,AB=BC=2, 且AB⊥BC, 求二面角S-AB-C的大小.解：设O,E 分别为AC,AB 的中点，连接SO,OE,SE, 如图所示.因为SA=SC, 所 以SO⊥AC,又因为面SAC⊥ 面ABC, 所以SO⊥ 面ABC,因此SE 在平面ABC内的射影为OE, 且OE为ABC 的中位线，AB⊥BC, 所以AB⊥OE.中三垂线定理可知AB⊥SE, 因此∠SEO 为面角S-AB-C 的一个平面角。
如图(1)(2)所示
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都X叫做半平面.
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一做射线.
O学习目标
O课堂总结
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
O O学习目标
O O课堂总结
从而∠SEO=45°,
求二面角的一般方法(综合几何法):一是定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线， 这两条射线所成的角，就是二面角的平面角.二是利用三垂线定理及其逆定理：自二面角的一个面上的一点向另一个
平面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足与面上这一线，和斜足与垂足连线所夹的角，就是二面角的平面角.
知识点二：作二面角的平面角思考：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点(S 作 半平面β的垂线SS', 设O为棱AB上一点.(1)判断SOLAB 是S'O⊥AB的什么条件；(2)结合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角?(1)因为S'是S在平面β内的射影，所以S'O是SO 左 β内的射影.一 相据三垂线定理及其逆定理可知，SO⊥AB 是soAB 的充要条件.
O O学习目标
O O课堂总结
●
定义法求二面角的一般步骤：(1)作(找)出二平面的平面角；(2)写出(或证明)作(找)出平面角的过程；(3)计算：利用解三角形知识求解；(4)结论：根据题意给出结果.
O O学习目标
O O课堂总结
O O学习目标
O O课堂总结
由AB=BC=2 且AB⊥BC 可知AC= √2²+2²=2 √2.又因为SO= √SA²-AO²= √3-2=1.
即所求二面角大小为45°.
O O学 习 目 标
O O课 堂 总 结
1.2.4 二面角第1课时
新授课
由公共端点出发的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，习目标
0 O课堂总结
角
1.理解二面角及其平面角的概念。2.掌握作二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小.
新课讲授
课堂总结
知识点一：二面角及其平面角的概念.情 境 ：日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象
(1) (2)日常生活中还有哪些类似的例子?怎样刻画平面与平面所成的角呢?
O O学习目标
O O课堂总结
O O学习目标
O O课堂总结
O O O O学习目标 新课讲授 课堂总结如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O, 以 O 为垂足，分别在平 面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB, 则射线OA 和OB 所成的角称为二面用 的平面角.
O O学习目标
O O课堂总结
(2)当二面角α-AB-β 是一个锐角时，得到作出它的平面角的另一秒方法：①过其中一个半平面内一点S, 作另一个半平面的垂线段SS
面积射影定理：射影三角形与原三角形的面积之比为cosθ.
②过S(或S')作棱的垂线SO (或S'O)③连接S'O(或SO)即可.
两个点，ACcay AC求二面角α-l-β的 大小 .
O O学习目标
O O课堂总结
因此 即所求二面角的大小为
在△AEC中，由余弦定理可知
(其中S表示射影图形面积，S 表示原图形面积).
O O学习目标
O O课堂总结
三是射影面积公式法：
O O
O O
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ , 棱长为1,求二面角B₁-A₁C₁-B
学习目标
新课讲授
的大小.
解：连接B₁D₁交AC于0,连接BO.∵BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁, 而B₁D₁⊥A₁C₁,
<BOB₁ 是二面角B₁-A₁C₁-B日即所求二面角大小为45°
的平面角., ∴∠BOB₁=45°
∴BO⊥A₁C₁,
根据今天所学，回答下列问题：1.二面角的平面角的定义的有哪些主要特征? 2.如何作二面角的平面角?
O O课堂总结
的轨道所在平面)与赤道平面之间的夹角，它的大小为23°26',如图所示.
在地理学科中所学过的黄赤交角，指的就是黄道平面(即地
学习目标
O课堂总结
解：如图所示，在平面β内过A 作BD 的平行线AE, 且使得AE=BD,连接CE,ED.因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α-l-β的一个平面角.AB⊥面AEC,所 以ED⊥面AEC,从而QE=√CD²-ED²=√CD²-AB²=√7²-6²=√ 13.
特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角.
则∠AOB 叫做二面角α-l-β的平面角
∠AOB = ∠A'OB'
二面角的平面角的定义的三个主要特征：(1)过棱上任意一点；(2)分别在两个半平面内作射线；(3)射线垂直于棱.
约定二面角及其平面角大小范围：[0,π]
O O学习目标
面角的棱
CBDA二面角C-AB
O O学习目标
O O课堂总结
二面角α— l—β
表示方法：
O O学习目标 新课讲授生活中的二面角
O O课堂总结
思考：类比二面角和平面角，如何表示二面角的大小?
如果二面角α-AB-β 的大小为θ,在△SOS'中，
O O课堂总结
O O学习目标
aβ
所 以
例2 如图所示三棱锥S-ABC 中，面SAC⊥ 面ABC,SA=SC= √3,AB=BC=2, 且AB⊥BC, 求二面角S-AB-C的大小.解：设O,E 分别为AC,AB 的中点，连接SO,OE,SE, 如图所示.因为SA=SC, 所 以SO⊥AC,又因为面SAC⊥ 面ABC, 所以SO⊥ 面ABC,因此SE 在平面ABC内的射影为OE, 且OE为ABC 的中位线，AB⊥BC, 所以AB⊥OE.中三垂线定理可知AB⊥SE, 因此∠SEO 为面角S-AB-C 的一个平面角。
如图(1)(2)所示
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都X叫做半平面.
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一做射线.
O学习目标
O课堂总结
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
O O学习目标
O O课堂总结
从而∠SEO=45°,
求二面角的一般方法(综合几何法):一是定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线， 这两条射线所成的角，就是二面角的平面角.二是利用三垂线定理及其逆定理：自二面角的一个面上的一点向另一个
平面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足与面上这一线，和斜足与垂足连线所夹的角，就是二面角的平面角.
知识点二：作二面角的平面角思考：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点(S 作 半平面β的垂线SS', 设O为棱AB上一点.(1)判断SOLAB 是S'O⊥AB的什么条件；(2)结合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角?(1)因为S'是S在平面β内的射影，所以S'O是SO 左 β内的射影.一 相据三垂线定理及其逆定理可知，SO⊥AB 是soAB 的充要条件.
O O学习目标
O O课堂总结
●
定义法求二面角的一般步骤：(1)作(找)出二平面的平面角；(2)写出(或证明)作(找)出平面角的过程；(3)计算：利用解三角形知识求解；(4)结论：根据题意给出结果.
O O学习目标
O O课堂总结
O O学习目标
O O课堂总结
由AB=BC=2 且AB⊥BC 可知AC= √2²+2²=2 √2.又因为SO= √SA²-AO²= √3-2=1.
即所求二面角大小为45°.
O O学 习 目 标
O O课 堂 总 结
1.2.4 二面角第1课时
新授课
由公共端点出发的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，习目标
0 O课堂总结
角
1.理解二面角及其平面角的概念。2.掌握作二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小.
新课讲授
课堂总结
知识点一：二面角及其平面角的概念.情 境 ：日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象
(1) (2)日常生活中还有哪些类似的例子?怎样刻画平面与平面所成的角呢?
O O学习目标
O O课堂总结
O O学习目标
O O课堂总结
O O O O学习目标 新课讲授 课堂总结如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O, 以 O 为垂足，分别在平 面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB, 则射线OA 和OB 所成的角称为二面用 的平面角.
O O学习目标
O O课堂总结
(2)当二面角α-AB-β 是一个锐角时，得到作出它的平面角的另一秒方法：①过其中一个半平面内一点S, 作另一个半平面的垂线段SS
面积射影定理：射影三角形与原三角形的面积之比为cosθ.
②过S(或S')作棱的垂线SO (或S'O)③连接S'O(或SO)即可.