河北省衡水市冀州中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学(文)试题B卷 Word版含答案

试卷类型：B 卷 河北冀州中学 2021—2022学年度下学期期末考试 高二班级数学试题（文）
考试时间120分钟 试题分数150分
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.）
1．已知全集{}{}{1,2,3,4,5},1,2,3,3,4,()U U A B C A B ===⋃则=（ ）.
A ．{5}
B ．{3}
C ．{1，2，4，5}
D ．{1，2，3，4}
2．命题“2
,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是( )
A ．2
,220x x x ∀∈++≤R B ．2
,220x x x ∀∈++>R C ．2
,220x x x ∃∈++>R D ．2
,220x x x ∃∈++≥R 3．设a R ∈，则1a >是1
1a
< 的（ ）
A.充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分但不必要条件 D ．必要但不充分条件
4． 设12
log 3a =，3
.031⎪⎭⎫
⎝⎛=b ，πln =c ，则（ ）
A. c a b <<
B. a b c <<
C.a c b <<
D.b a c <<
5．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．2或3
D ．2或-3
6．正三角形ABC 中，3AB =,D 是边BC 上的点，且满足=2BC BD ，则AB AD ⋅=（ ）
A ．
29 B ．213 C. 221
D ．4
27 7．执行如右图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为
（ ）
A ．31
B ．16
C ．15
D ．14
8．已知某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时， 该几何体的体积为（ ） A ．716 B ．78
C ．74
D ．72
9.函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)，(其中|φ|<
π
2
)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin ωx 的图象，则只要将f(x)的图象( )
A ．向右平移π12个单位
B ．向右平移π
6个单位
C ．向左平移π12个单位
D ．向左平移π
6
个单位
10.偶函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且在x ∈[0,1]时,f (x )=x ,则关于x 的方程
f (x )= x 4lo
g 在x ∈[0,4]上解的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且
12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的值不行能．．．
为（ ） A ．
53 B ．43 C ．5
4
D ．2
12．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －4.若存在实数b a ,使得f (a )＝g (b )成立，则b 的取值范围为( ) A ．[1,3] B ．(1,3) C ．[2－2，2＋2] D ．(2－2，2＋2)
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．函数()sin x
f x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为
__________．
真命题，则221
a a
＋的最小值是
14．若命题:x ∀∈R ，2
x －2ax ＋a>0”为
__________．
15．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动， 那么3x －y 的最小值为________． 16．在数列{}n a 中, *n N ∈,若
k a a a a n
n n n =--+++11
2(k 为常数),
则称{}n a 为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的推断：
①k 不行能为0；②等差数列肯定是“等差比数列”；
③等比数列肯定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有很多项为0.其中正确推断命题的序号是
正视图 侧视图
俯视图
27
10
x
y
_________
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）
已知函数2
1
()3sin cos cos 2
f x x x x =--,.x R ∈
(Ⅰ)求函数()f x 的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别,,,a b c 且3c =,()0f C =,若sin()2sin ,A C A +=求,a b 的值.
18. （本小题满分12分）
某高校在2021年的自主招生考试成果中随机抽取40名同学的笔试成果,按成果共分成五组:第 1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],得到的频率分布 直方图如图所示,同时规定成果在90分以上(含90分)的同学为“优秀”, 成果小于90分的学 生为“良好”,且只有成果为“优秀”的同学才能获得面试资格.
(I)求“优秀”和“良好”同学的人数;
(11)假如用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的同学中选出10人,求“优秀”和“良好”的同学分别选出几人? (III)已知甲是在(II)选出的“优秀”同学中的一个,若从选出的“优秀”同学中再选2人参与某专项测试,求甲被选中的概率.
19. （本小题满分12分）
如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形E, F 分别为PC,BD 的中点, 侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=
2
2
AD. (Ⅰ)求证:EF//平面PAD;
(Ⅱ)求三棱锥C —PBD 的体积.
20. （本小题满分12分）
已知:圆1O 过点(0,1),并且与直线1y =-相切,则圆心1O 的轨迹为C ,过一点(1,1)A 作直 线l 与曲线C 交于不同两点,M N ,分别在,M N 两点处作曲线C 的切线12,l l ,直线12,l l 的交点 为P 。

(1)求曲线C 的轨迹方程.
(2)求证:直线12,l l 的交点P 在一条直线上,并求出此直线方程. 21. （本小题满分12分） 已知函数2
()ln f x x a x =+
(Ⅰ)当a=﹣2时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若g(x)= ()f x +2
x
在[1,+∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围. 【选考题】
请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分． 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,
两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =
BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .
（I ） 求证AB PC PA AC ⋅=⋅ （II ） 求AD AE ⋅的值. 23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy ,以O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, ,曲线C 的参数方程为
2cos ,()22sin ,
x y ϕϕϕ=⎧⎨
=+⎩为参数。

点,A B 是曲线C 上两点，点,A B 的极坐标分别为12,5(,),()36ππ
ρρ。

（I ）写出曲线C 的一般方程和极坐标方程; （II ）求AB 的值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||2|,f x x x a a =---∈R. （I ）当3a =时，解不等式
()0>x f ；
（II ）当(,2)x ∈-∞时，()0f x <.求a 的取值范围。

河北冀州中学 2021—2022学年度下学期期末考试 高二班级数学答案（文）
一． 选择题：
A 卷：BAACC BBDAD BD
B 卷：ABCBD DCABA DB
二． 填空题：
4
π
22 2 ①④
三．解答题：
17. （本小题满分12分）
解:(1)31cos 21()2sin(2)1226
x f x x x π
+=--=-- 则()f x 的最大值为0,()3
x k k Z π
π=
+∈时取到; -------------5分
最小正周期是22
T π
π== ------------------------------6分
(2)()sin(2)106f C C π=-
-=则sin(2)16
C π
-= 1100222666C C C πππππ<<∴<<∴-<-< 2623
C C πππ
∴-=∴=
sin()2sin A C A +=由正弦定理得1
2
a b =①
由余弦定理得2222cos 3
c a b ab π
=+- 即229a b ab +-=②
由①②解得3a =
23b = ----------------------------12分
18. （本小题满分12分）
解:(Ⅰ)依题意良好同学的人数是()400.010.070.06528⨯++⨯=,优秀同学人数是402812-= ----------------------- 4分
(Ⅱ)优秀与良好的人数之比是3:7,所以接受分层抽样抽取的10人中优秀人数是3,良好人数是7 ------------------------ 8分
(Ⅲ) 将(Ⅱ)中选取的优秀同学记作甲,乙,丙,则从这3人中选取2人的基本大事是甲乙,乙丙,甲丙共3
个,其中含甲的基本大事是甲乙,甲丙共2个,所以甲被选中的概率是2
3
----------------------------12分
19. （本小题满分12分）
解:(Ⅰ)证明:连接AC,则F 是AC 的中点, E 为PC 的中点,故在∆CPA 中,EF//PA,
且PA ⊂平面PAD,EF ⊄平面PAD,∴EF//平面PAD---6分 (Ⅱ)取AD 的中点M,连接PM,∵PA=PD,∴PM⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PM⊥平面ABCD.
在直角∆PAM 中,求得PM=
a 2
1
, ∴3
1
==--BCD
P PBD C V V ⋅∆BCD S PM=123a ---------12分 20.解: (1)由定义可知C 的轨迹方程为2
4x y =. -----------------4分
(2)设1122(,),(,)M x y N x y , 直线MN 的方程1(1)y k x -=- 在M 处的切线方程为112()x x y y =+ 在N 处的切线方程为222()x x y y =+ 解得P 点坐标为(
1212
,
24
x x x x +) ---------------------8分 而21(1)
4y k x x y
-=-⎧⎨=⎩,整理得24440x kx k -+-= 所以1,2-==k y k x
故k 点所在直线方程为220x y --=. ----------------------12分
21.解:(Ⅰ)()f x 的单调递增区间是(1,+∞),()f x 的单调递减区间是(0,1). -----4分
(Ⅱ)由题意得2
2
()2a g x x x x '=+
-,函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数. 若函数g(x)为[1,+∞)上的单调增函数,则()0g x '≥在[1,+∞)上恒成立,
即222a x x ≥-在[1,+∞)上恒成立,设22
()2x x x ϕ=-,-------------8分
∵()x ϕ在[1,+∞)上单调递减,
∴max ()(1)0x ϕϕ==,∴a≥0 ---------------------------------10分
②若函数g(x)为[1,+∞)上的单调减函数,则()0g x '≤在[1,+∞)上恒成立,不行能.
∴实数a 的取值范围[0,+∞)-----------------------------------12分 23. (本题满分10分) 解：(1) 参数方程2cos ,
()22sin ,
x y ϕϕϕ=⎧⇒⎨
=+⎩为参数一般方程22(2)4x y +-= ------3分
一般方程2
2
(2)44sin ()x y ρθθ+-=⇒=为参数 ------6分 方法1：12,
5(,),()3
6A B π
πρρ可知2
AOB π
∠=,AB 为直径，4AB = 方法212,
5(,
),()3
6
π
π
ρρ⇒
直角坐标(A B ⇒两点间距离4AB = ------10分 24.(本题满分10分)
解：（1）1, 23()53, 2231, 2x x f x x x x x ⎧
⎪->⎪
⎪
=-≤≤⎨⎪
⎪
-<⎪⎩ ------2分
210, 1,
35352530, ,23233310, 1,122
513x x x x x x x x x x x x x φ>-><≤≤-><≤<<->><<
⎧⎫
<<⎨⎬
⎩
⎭当时，即解得当时，即解得当时，即解得不等式解集为 ------5分 （2）2
2|2|02|2|23
a x x a x x a x a x +---<⇒-<-⇒<->
或恒成立 即4a ≥ ------10分。