2022年强化训练青岛版九年级数学下册第5章对函数的再探索章节测评试题(含详细解析)

九年级数学下册第5章对函数的再探索章节测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ．c 常数，a ＜0）经过点（－1，0），其对称轴为直线x ＝2，有下列结论：①c ＜0；②4a ＋b ＝0；③4a ＋c ＞2b ；④若y ＞0，则－1＜x ＜5；⑤关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0有两个不等的实数根；⑥若()13,M y 与()24,N y 是此抛物线上两点，则12y y >．其中，正确结论的个数是（ ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
2、一次函数()12120y k k x b k k =+≠与反比例函数2
k y x
=
上的图象在同一直角坐标系下的大致图象如图所示，则1k 、b 的取值范围是（ ）
A ．10k >，0b >
B ．10k <，0b >
C ．10k <，0b <
D ．10k >，0b <
3、关于反比例函数3y x
=的图象，下列说法正确的是（ ）． A ．图象经过点（1，2）
B ．图象位于第一、三象限内
C ．图象位于第二、四象限内
D ．y 随x 的增大而减小
4、如图，过x 轴正半轴上的任意点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数()2
0=
>y x x
和()4
0y x x
=-
>的图象交于B 、A 两点．若点C 是y 轴上任意一点，则ABC 的面积为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5、在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝2x ﹣2x ﹣3与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt △OAB 向右上方平移，得到Rt △O 'A 'B '，且点O '，点A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A 'B '的表达式为（ ） A ．y ＝x
B ．y ＝x +1
C ．y ＝x +1
2
D ．y ＝x +2
6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①24ac b <；②0a b c -+>；③20a b +>．其中正确的有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
7、二次函数()2
142y ax a x a =+-+-的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．与y 轴交点的纵坐标小于4
B ．对称轴在直线0.5x =左侧
C ．与x 轴正半轴交点的横坐标小于2
D ．拋物线一定经过两个定点
8、下列函数中，自变量x 的取值范围是1x >的函数是（ ）
A ．y =
B ．
y C ．y =D ．y =9、二次函数y = x 2 +(a + 2)x + a 的图象与x 轴交点的情况是（ ） A ．没有公共点 B ．有一个公共点 C ．有两个公共点
D ．与a 的值有关
10、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AB ’D ，若点B ’恰好落在抛物线的对称轴上，则点D 的坐标是（ ）
A ．
B ．(1,2
3√3)
C ．
D ．(1,
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②当y＜0时，x＜﹣1或x＞2；
③ac＞0；④c＜4b，其中正确的序号为________．
2、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，直角顶点B在x轴上．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P．则DP的长为___．
3、如图，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，顶点B、C分别在反比例函数y y＝k
x
的图象
上，若四边形OABC的面积为k＝_____．
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（0，C（2，0），顶点B在x
轴上，顶点D在反比例函数
k
y
x
的图象上，向右平移菱形ABCD，对应得到菱形''''
A B C D，当这个
反比例函数图象经过''
C D的中点E时，点E的坐标是________．
5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为1,0，顶点B 的横坐标为3，
若反比例函数()0,0k
y k x x
=
>>的图像经过B ，C 两点，则k 的值为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、正比例函数()10y ax a =≠与反比例函数()20k
y k x
=
≠图象的一个交点为()2,3A ．
(1)求a ，k 的值；
(2)画出两个函数图象，并根据图象直接回答12y y >时，x 的取值范围．
2、如图，抛物线24y ax =+的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC ＝AB ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D （1，3）在抛物线上，若点P 是直线AD 上的一个动点，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，且以PQ 为斜边作等腰直角△PQE ．
①当点P 与点D 重合时，求点E 到y 轴的距离． ②若点E 落在抛物线上，请直接写出E 点的坐标．
3、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx 过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点
B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；
(3)若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在以点C 、M 、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由． 4、如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y 1
2
=x ﹣2的图象与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y 2
12
x =
+bx +c 的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)如图2，连接AC ，点M 为线段BC 上的一点，设点M 的横坐标为t ，过点M 作y 轴的平行线，过点
C 作x 轴的平行线，两者交于点N ，将△MCN 沿MC 翻折得到△MCN '．
①当点N '落在线段AB 上，求此时t 的值；
②求△MCN ′与△ACB 重叠的面积S 与t 的函数关系式．
(3)如图3，点D 在直线BC 下方的二次函数图象上，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得
△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
5、如图，一次函数y 1
2
=-x ﹣2的图象与坐标轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为（1，0），二次函数y
＝ax 2+bx +c 的图象经过A ，B ，C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点D （﹣1，n ）在抛物线上，作射线BD ，Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM ⊥y 轴于点M ，作QN ⊥BD 于点N ，过点Q 作QP ∥y 轴交抛物线于点P ，交BD 于G ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接AP ，若E 为抛物线上一点，且满足∠APE ＝2∠CAO ，求点E 的坐标．
-参考答案-
一、单选题 1、C 【解析】 【分析】
根据抛物线对称轴即可得到4b a =-即可判断②；根据抛物线经过点（-1，0）即可推出5c a =-即可判断①；根据4a c a +=-，28b a =-，0a <，即可判断③；由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个
交点为（5，0），即可判断④；根据抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个交点，得到240b ac ->，则()222414440b a c b ac a b ac -+=-->->，即可判断⑤；根据抛物线的增减性即可判断⑥．
【详解】
解：∵抛物线对称轴为直线2x =， ∴22b
a
-
=即4b a =-， ∴40a b +=，故②正确； ∵抛物线经过点（-1，0）， ∴0a b c -+=即50a c +=， ∴5c a =-， ∵0a <，
∴0c >，故①错误；
∵4a c a +=-，28b a =-，0a <， ∴42a c b +<，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（5，0）， 又∵0a <，即抛物线开口向下， ∴当0y >时，15x -<<，故④正确； ∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴有两个交点， ∴240b ac ->，
∵()22
4144b a c b ac a -+=--，0a <，
∴()222
414440b a c b ac a b ac -+=-->->，
∴方程210ax bx c +++=有两个不同的实数根，故⑤正确； ∵0a <，即抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线2x =， ∴当2x >时，y 随x 增大而减小， ∵3<4，
∴12y y >，故⑥正确； 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质以及二次函数图像与系数之间的关系，一元二次方程根的判别式，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． 2、D 【解析】 【分析】
本题根据题意，判断一次函数和反比例函数的图象在哪个象限，即可判断12,,k k b 的正负． 【详解】 反比例函数2
k y x
=
经过二、四象限， ∴20k <，
一次函数12y k k x b =+经过二、三、四象限，
∴120,0k k b <<，
∴10,0k b ><，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查一次函数和反比例函数图象的性质，根据图象判断12,,k k b 的正负是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的定义可得=k xy 3=，进而判断A ，根据反比例函数的性质得到函数3y x =（k ＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小，根据30k =>即可判断B ，C ，D
【详解】 解：∵3y x =
∴=k xy ，函数3
y x =（k ＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小，
1223⨯=≠，则图象不经过点（1，2）故A 选项不正确，
B 选项正确，符合题意；
C. 选项不正确，
D. 选项不正确，
故选B
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
由直线AB 与y 轴平行，可得△ABC 的面积等于△AOB 的面积，设点P 的坐标为(0)a ，
，由此可得出点A 、B 的横坐标都为a ，再将x=a 分别代入反比例函数解析式，得出A 、B 的纵坐标，继而得出AB 的值，从而得出三角形的面积．
【详解】
解：如下图，连接OB ，OA ，
由题意可知直线AB 与y 轴平行，
∴ABC AOB S S ∆∆=
设()(,00)P a a >，则点A 、B 的横坐标都为a ，
将x=a 代入得出()40y x x =->，4y a =-，故4(,)A a a
-； 将x=a 代入()20=>y x x 得出，2y a
=，故2(,)B a a ； ∴246AB a a a
=+=， ∴ABC AOB S S ∆∆==
116322OP AB a a ⨯⨯=⨯⨯=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数系数k 的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征，根据已知条件得出AB 的值是解此题的关键．
5、B
【解析】
【分析】
求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′（1，n），则B′（4，n），把B′（4，n）代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A'B'的表达式．
【详解】
解：如图，∵抛物线y＝2x﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，求得y＝﹣3，
∴B（3，0），A(0,﹣3），
∵抛物线y＝2x﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣
2
21
-
⨯
＝1，
∴A′的横坐标为1，
设A′（1，-3+n），B'(3+1，n），
∵点B'落在抛物线y＝2x﹣2x﹣3上，∴n＝16﹣8﹣3，解得n＝5，
∴A′（1，2），B'(4，5），
设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，
∴245
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得11
k b =⎧⎨=⎩， ∴直线A 'B '的表达式为y ＝x +1，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，坐标和图形变换﹣平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A ′、B ′的坐标是解题的关键．
6、B
【解析】
【分析】
①先依据抛物线与x 的交点的个数可得到△与0的大小关系，于是可作出判断；
②由函数图像可知当1x =-时，y<0，从而可作出判断； ③由抛物线的对称方程可知12b a
-
>，根据抛物线的开口方向可知a <0，然后依据不等式的基本性质可作出判断．
【详解】 ①抛物线与x 轴有两个交点，
240b ac ∴∆=->， 24ac b ∴<，
故①正确；
②当1x =-时，0y <，即0a b c -+<，
a c
b ∴+<，
故②错误； ③1,02b x a a =-><， 2b a ，即20a b +>，
故③正确，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴和抛物线与x 轴的交点与二次函数解析式之间的关系是解题的关键．
7、D
【解析】
【分析】
通过图象开口向下可得a ＜0，可判断抛物线与y 轴的交点纵坐标为4﹣2a ＞0，抛物线对称轴为x ＝1
2﹣12a
＞0可判断A ，B ；令a ＝﹣1，求出抛物线与x 轴正半轴的交点可判断C ；把抛物线解析式化为y ＝a （x 2﹣x ﹣2）+x +4，令x 2﹣x ﹣2＝0，求出x ，即可判断D ．
【详解】
解：由图象知，抛物线开口向下，
∴a ＜0，
令x ＝0，则y ＝4﹣2a ＞4，
∴抛物线与y 轴的交点大于4，
故A 错误；
二次函数的对称轴为x ＝
12a a
-， ∵a ＜0，
∴
111
222
a
a a
-
=-＞1
2
，
故对称轴在x＝0.5右侧，
故B错误；
取a＝﹣1，抛物线为y＝﹣x2+2x+6，
其与x轴正半轴的交点为：
x＝2，
故C错误；
y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a＝a（x2﹣x﹣2）+x+4，
当x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
当x＝2时，y＝6，
当x＝﹣1时，y＝3，
∴抛物线经过点（2，6）和（﹣1，3）两个定点，
故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和抛物线与坐标轴的交点，解题关键是熟练掌握二次函数性质和利用特殊值法的解决问题．
8、B
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分别列式计算即可得解．
【详解】
解：A ．y =x ≥1，此选项不符合题意；
B ．
y 中x ＞1，此选项符合题意；
C ．y =x ≥1
2，此选项不符合题意；
D ．y =x ≥2，此选项不符合题意；
故答案选：B ．
【点睛】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9、C
【解析】
【分析】
根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算出一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可判断．
【详解】
∵22(+2)4140a a a ∆=-⨯⨯=+>
∴二次函数y = x 2 +(a + 2)x + a 的图象与x 轴有两个不同的公共点
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，要从数与形两个方面来理解这种关系．一般地：当0∆>时，二次函数与x 轴有两个不同的交点；当0∆=时，二次函数与x 轴有一个交点；当∆<0时，二次函数与x 轴没有交点；掌握这个知识是关键．
10、B
【解析】
【分析】
设抛物线对称轴与x 轴交于点C ，先求出A ，B 的坐标，得AB 的长度，结合折叠的性质及勾股定理求
出B 'C 的长度，设CD=x ，则B D x '=，由勾股定理得到222AC CD AD +=，求出x ，即可得到点D 的坐标．
【详解】
解：设抛物线对称轴与x 轴交于点C ，
∵y =0时，得223x x --=0，
解得121,3x x =-=，
∴A （-1，0），B （3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，AB =4，
∴C （1，0），AC =2，
∴B C '===
由轴对称得AD=BD ，
由折叠得B 'D=BD ，
∴AD=B 'D ，
设CD=x ，则B D x '=，
∵222AC CD AD +=，
∴()2222x x +=，
解得x
∴D （1， 故选：B ．
．
【点睛】
此题考查了抛物线的轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，抛物线与x 轴交点坐标，抛物线的性质，熟记折叠的性质及勾股定理的计算公式是解题的关键．
二、填空题
1、①④##④①
【解析】
【分析】
由抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x 轴的两个交点坐标，结合抛物线的图象可判断②，由抛物线的图象可判断③，先求解3,c a =- 再判断4c b -的符号可判断④，从而可得答案.
【详解】 解：由抛物线的对称轴为：1,2b x a
=-= 2,b a ∴=- 即20,a b += 故①符合题意；
对称轴为x ＝1，点B 坐标为（﹣1，0），
∴ 抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标为：()3,0,
所以当y ＜0时，x ＜﹣1或x ＞3；故②不符合题意；
抛物线的开口向下，图象与y 轴交于正半轴，
0,0,a c ∴＜＞ 则0,ac ＜ 故③不符合题意；
当1x =-时，0,y a b c =-+= 而2,b a =-
3,c a ∴=-
()43850,c b a a a ∴-=---=＜
4,c b ∴＜ 故④符合题意；
综上：符合题意的有：①④.
故答案为：①④.
【点睛】
本题考查的是抛物线的图象与性质，利用二次函数的图象判断各项系数与代数式的符号，利用函数图象解二次不等式都是解本题的关键.
2【解析】
【分析】
先把A 点坐标代入y =ax 2求出a =1，得到抛物线的解析式为y =x 2，再根据旋转的性质得OD =OB =2，∠ODC =∠OBA =90°，所以D 点坐标为（0，2），CD ⊥y 轴，即P 点的纵坐标为2，然后把y =2代入抛物线解析式计算出对应的自变量的值，于是确定P 点坐标，利用P 点坐标易得PD 的长．
【详解】
解：把A （-2，4）代入y =ax 2得4a =4，解得a =1，
∴抛物线的解析式为y =x 2，
∵Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（-2，4），AB ⊥x 轴，
∴AB =4，OB =2，
∵Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°得到△OCD ，
∴OD =OB =2，∠ODC =∠OBA =90°，
∴D 点坐标为（0，2），CD ⊥y 轴，
∴P 点的纵坐标为2，
把y =2代入y =x 2得x 2=2，
解得：x ，
∴P ，2），
∴PD ．
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
3、-【解析】
【分析】
连接OB ，设直线BC 与y 轴交于点P ，根据菱形的性质可得OBC ∆的面积为k 的几何意义可得COP ∆和BOP ∆的面积，利用BCO POB COP S S S ∆∆∆=+建立方程，求解即可．
【详解】
解：如图，连接OB ，设直线BC 与y 轴交于点P ，
四边形OABC 是菱形，且面积为
OBC S ∆∴=
//BC x 轴，
BC y ∴⊥轴，
B ，
C 分别在反比例函数y =k y x =的图象上，
2
COP k S ∆=，BOP S ∆ 1
2
BCO POB COP S S S k ∆∆∆∴=+=
解得k =-（正值舍去）．
故答案为：-
【点睛】
本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数k y x =
的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
12
k ，且保持不变．也考查了三角形的面积．
4、(8
【解析】
【分析】
连接AC ，由题意易得出OA 和OC 的长，再根据tan OA ACO OC
∠=及特殊角的三角函数值，可确定60ACO ∠=︒，即可证明ABC 和ACD △都是等边三角形，还可求出AC 的长，即得出4AD AC ==，从而得出D 点坐标为(4
，．将D 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k 的值．设菱形ABCD 向右平移a 的单位后，反比例函数图象经过C D ''的中点E ．由此即可用a 表示出C '和D 的坐标，再由中点坐标公式即可表示出E 点坐标，将E 点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a ，即得出E 点坐标．
【详解】
如图，连接AC ，
∵A (2
，、C （2，0），
∴=OA 2OC =，
∵tan OA ACO OC ∠=== ∴60ACO ∠=︒．
∴
4sin 60OA AC ===︒． ∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB =BC ，ABC 和ACD △全等，
∴ABC 和ACD △都是等边三角形，
∴4AD AC ==，
∴D 点坐标为(4
，．
∵D 点在反比例函数k y x =
的图象上，
∴4
k ，
解得：k =
∴反比例函数的解析式为y =
设菱形ABCD 向右平移a 的单位后，反比例函数图象经过C D ''的中点E ，
∴此时C '的坐标为C （2+a ，0），D 的坐标为(4+a ，，
∴此时E 点的坐标为24(
2a a +++，即E (3a +，
=
解得：5a =，
∴E 点的坐标为(35+，即E ．
故答案为：(8．
【点睛】
本题考查菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质以及中点坐标公式，综合性强，较难．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
5、18
【解析】
【分析】
过点B 作BF ⊥x 轴于F ，过点C 作CE ⊥BF 于E ，则∠AFB =∠CEB =90°，证明△ABF ≌△BCE ，推出BE=AF =4，BF=CE ，设EF=x ，得到B 、C 的坐标，根据反比例函数()0,0k y k x x
=
>>的图像经过B ，C 两点，得到方程()()347x x x +=+，求出x 值即可求出k ．
【详解】 解：过点B 作BF ⊥x 轴于F ，过点C 作CE ⊥BF 于E ，则∠AFB =∠CEB =90°，
∵点A 的坐标为
1,0，顶点B 的横坐标为3，
∴OA =1，OF =3，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC =90°，
∴∠BAF +∠ABF=∠ABF +∠CBE=90°，
∴∠BAF =∠CBE ，
∴△ABF ≌△BCE ，
∴BE=AF =4，BF=CE ，
设EF=x ，
∴B （3，4+x ），C （7+x ，x ）， ∵反比例函数()0,0k y k x x =>>的图像经过B ，C 两点， ∴()()347x x x +=+，
解得x =2或x =-6（舍去），
∴B （3，6），
∴3618=⨯=k ，
故答案为：18．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，熟记正方形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)32
a =，6k =； (2)见解析，20x -<<或2x >
【解析】
【分析】
（1）将A 坐标代入双曲线解析式中，求出k 的值，确定出反比例函数解析式，将A 坐标代入一次函数解析式中，求出a 的值，确定出一次函数解析式；
（2）画出两函数图象，由函数图象，即可得到12y y >时x 的取值范围．
(1)
解：将()2,3A 代入正比例函数解析式得：32a =，即32
a =
， 故132y x =；
将()2,3A 代入双曲线解析式得：32k =，即6k =， 故26y x =
； (2)
解：如图所示：
由图象可得：当12y y >时，20x -<<或2x >．
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，解题的关键是利用了数形结合的思想，数形结合是数学中重要的思想方法．
2、 (1)24y x =-+ (2)①12或52；②（1，3）或51139⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 【解析】
【分析】
（1）先求出点C 的坐标，得出点A 、B 的坐标代入24y ax =+即可
（2）①先得出直线AD 的解析式，结合题意得出PQ =3，再分点E 在PQ 的左右两种情况加以分析即可；
②设点P 的坐标为（x ，x +2），再根据以PQ 为斜边作等腰直角△PQE 得出点E 的坐标，代入二次函数的解析式即可
(1)
解：当x =0时，y =4，则点D （0，4），
∴OC =4，
∵OC ＝AB =4，
∴OA =OB =2，
∴A （-2，0），B （2，0）．
将（2，0）代入24y ax =+得：a =-1，
∴抛物线的解析式为24y x =-+
(2)
①设直线AD 的解析是为：y =kx +b ，
∵A （-2，0），D （1，3）
∴203k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：12
k b =⎧⎨=⎩ ∴直线AD 的解析是为：y =x +2，
①当点P 与点D 重合时，PQ =3，且PQ 垂直于x 轴，
∵以PQ 为斜边作等腰直角△PQE
∴点E 到PQ 的距离是32
， 当点E 在PQ 的左侧时，点E 到y 轴的距离是31-1=22
，
当点E在PQ的右侧时，点E到y轴的距离是35
1=
22 +，
∴点E到y轴的距离1
2或
5
2
；
②∵点P是直线AD上的一个动点，设点P的坐标为（x，x+2），则点Q的坐标为（x，0），PQ=| x+2|，
则点E到PQ的距离是1
|+2|
2
x，点E的纵坐标为
+2
2
x
，
当点E在PQ的右侧时，如图，
则点E的坐标为：（3+2
2
x
，
+2
2
x
）
∵点E落在抛物线上，
∴
2
322
4=
22
x x
++⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
解得：
4
=
9
x或-2（舍去）；
∴点E的坐标为
511
39
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，；
当点E在PQ的左侧时，如图，
则点E的坐标为：（
2
2
x-
，
+2
2
x
）
∵点E落在抛物线上，
∴
2
22
4=
22
x x
-+⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
解得：=4
x或-2（舍去）；
∴点E的坐标为()
1,3；
当P在x轴下方时，不存在；
综上，若点E落在抛物线上，则E点的坐标为（1，3）或
511
39
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，．
【点睛】
此题考查了二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质以及一次函数，正确利用得出点E的坐标解题是关键．
3、 (1)y＝﹣x2+4x
(2)3
(3)存在，N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）
【解析】
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求得对称轴，进而求得点C的坐标，根据三角形面积公式求解即可；
（3）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，证明△CBM≌△MHN（AAS），即可求得N的坐标，②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，证明Rt△NEM≌Rt△MDC，③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，同理得
Rt△NEM≌Rt△MDC，④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，同理得ME＝DN＝NH＝3，⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．
(1)
把A（4，0），B（1，3）代入抛物线y＝ax2+bx中，
得
0164
3
a b
a b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，
解得
1
4
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
所以该抛物线表达式为y＝﹣x2+4x；
(2)
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（1，3），∴C（3，3），
又∵BC＝2，
∴
1
233
2
ABC
S
∆
=⨯⨯=；
(3)
以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图，
∵CM ＝MN ，∠CMN ＝90°，
在△CBM 和△MHN 中，
CBM MHN BMC HNM CM MN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△CBM ≌△MHN （AAS ），
∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3﹣2＝1，
∴N （2，0）；
②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图，
作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM 和Rt△MDC ，
MN MC
∠=︒
NMC
=,90
∠+∠=︒∠+∠=︒
90,90
NME CMD NME ENM
∴∠=∠
NEM DMC
∴Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴EM＝CD＝5，
∵OH＝1，
∴ON＝NH﹣OH＝5﹣1＝4，
∴N（﹣4，0）；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图，
CN＝MN，∠CMN＝90°，做辅助线，
同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴ME＝NH＝DN＝3，
∴O N＝3﹣1＝2，
∴N（﹣2，0）；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图，做辅助线，
同理得ME ＝DN ＝NH ＝3，
∴O N ＝1+3＝4，
∴N （4，0）；
⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当△CMN 为等腰直角三角形时N 点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数与等腰直角三角形的问题，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
4、 (1)213222
y x x =-- (2)①52t =；②2215(0)42510255(4)12362y t t S y t t t ⎧=<⎪⎪=⎨⎪=-+-<⎪⎩
(3)存在，点D 的横坐标为2或
2911
【解析】
【分析】 （1）将B 、C 两点坐标代入抛物线解析式求得结果；
（2）①可证得BCN ∆'是等腰三角形，在Rt OCN ∆'中，根据勾股定理求得t 值；
②分为502<<t 和542t <两种情形，当502t <时，S 的值就是∆CMN 面积，当542t <时，根据①求得52
CD =，故可表示出DN '，根据①可求得tan tan EDN ODC ∠'=∠，进一步求得S 的函数表达式； （3）分为2DCM ABC =∠∠，此时作//CF AB ，作BE CF ⊥交CD 于E 交CF 于F ，可证得CFB CFE ≅∆，从而确定点E 坐标，进而求出直线CE 的解析式，进而求得点D 的横坐标，当2CDM ABC =∠∠时，作//BG DM 交CD 于G ，作GH AB ⊥于H ，可根据（2）4tan 23
ABC ∠=，求得4tan 3CGB ∠=，进而求得BG ，进而求得BH ，从而确定点G 坐标，从而得出CG 的解析式，进一步求得点D 横坐标．
(1)
解：解：由题意得：(4,0)B ，(0,2)C -，
∴2840
c b c =-⎧⎨++=⎩， ∴232
c b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为213222
y x x =--； (2)
解：①如图1，
由题意得：CN CN t '==，N CM NCM ∠'=∠，
//CN AB ，
OBC
NCM ∴∠=∠，
OBC BCN ∴∠=∠'，
BN CN t ∴'='=，
4ON t ∴'=-，
在'Rt OCN 中，由勾股定理得，
222OC N O N C +'='，
2222(4)t t ∴+-=，
52
t ∴=； ②当502t <时， 1122
CNM S S CN MN t MN ∆==⋅=⋅， 1tan tan 2OC MN CN BCN t OBC t t OB =⋅∠=⋅∠=⋅
=， 214
S t ∴=， 如图2，
当542
t <时， 由①知：52CD BD
，32OD =， 52DN t ∴'=-
，
5tan ()tan 2
EN DN BDN t ODC ∴'='⋅∠'=-⋅∠， 在Rt OCD △中，
24tan 332OC ODC OD ∠=
==，
45()32
EN t ∴'=⋅-， 21154525()()()2223232DEN S DN EN t t t ∆'∴=
'⋅'=-⨯-=-， 22212551025()4321236
S t t t t ∴=-⋅-=-+-， 综上所述：2215(0)42510255(4)12362y t t S y t t t ⎧=<⎪⎪=⎨⎪=-+-<⎪⎩
； (3)
解：如图3，
当2DCM ABC =∠∠时，
作//CF AB ，作BE CF
⊥交CD 于E 交CF 于F ，
90CFB CFE ∴∠=∠=︒，
FCB ABC ∠=∠，
FCE FCB ABC ∴∠=∠=∠，
CF CF =，
()CFB CFE ASA ∴∆≅∆，
2EF BF ∴==，
(4,4)E ∴-，
(0,2)C ，
∴直线CE 的解析式是：122
y x =--， 由212213222
y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得， 1102
x y =⎧⎨=-⎩（舍去），2223x y =⎧⎨=-⎩， D ∴点的横坐标是2，
如图4，
当2CDM ABC =∠∠时，
作//BG DM 交CD 于G ，作GH AB ⊥于H ，
90GBH HGB ∴∠+∠=︒，90OBC GBH ∠+∠=︒，
HGB OBC ∴∠=∠，
由（2）知：4
tan 23ABC ∠=，
4tan 3
CGB ∴∠=， 3tan 4BG BC CGB BC ∴=⋅∠=
， 2OC =，4OB =，
BC ∴=
BG ∴，
3sin sin
2BH BG HGB BG OBC ∴=⋅∠=⋅∠=，
cos 3
GH BG HGB =⋅∠=， 311422
OH OB BH ∴=+=+=， 11(2
G ∴，3)-， CG ∴的解析式是：2211y x =-
-， 由21
32222211
x x x --=--得， 10x =（舍去），22911x =
， ∴点D 的横坐标为2911
， 综上所述，点D 的横坐标为2或
2911． 【点睛】
本题考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，转化条件．
5、 (1)y 21322
x x =+-2； (2)P （﹣2，﹣3）；
(3)E （10，63）
【解析】
【分析】
（1）先求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解二次函数解析式即可；
（2）延长PQ 交OB 于H ，延长NQ 交OB 于K ，作DE ⊥OB 于E ，先求得点D 坐标，设Q （m ，12
-m ﹣2），根据坐标与图形性质，先判断出△KNB 和△KHQ 为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质表示出QN ＝NK ﹣
QK =32m +6
）（122m +
）114m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而有QM •QN ＝﹣m
•（11)4
m
+=（m +2）22，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）作PI ⊥OA 于I ，在射线AI 上截取IJ ＝IA ，作∠APK ＝∠APJ 交y 轴于K ，根据点P 坐标可得AI
＝OC ＝1，PI ＝OA ＝2，进而可求得直线PJ 的解析式是：y 142
x =--，与抛物线解析式联立，由214213222y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
得此时点E 不存在，故作KT ∥PJ 交PA 的延长线于T ，利用角平分线的性质作AL ⊥PJ 于L ，作AS ⊥PK 于S ，求得AS ＝
AL =PS ＝
PL ==Rt △AKS 中，利用勾股定理求解m 值，进而求得点K 的坐标，求出直线PK 的解析式，与抛物线解析式联立方程组求解即可解答．
(1)
解：当y ＝0时，由12
-x ﹣2＝0得：x ＝﹣4， ∴B （﹣4，0），
当x ＝0时，y ＝﹣2，
∴A （0，﹣2），
∴设抛物线的解析式是y ＝a （x +4）·（x ﹣1），
∴a ×4×（﹣1）＝﹣2，
∴a 12
=， ∴y 12=
（x +4）·（x ﹣1）21322
x x =+-2； (2) 解：如图1，
延长PQ 交OB 于H ，延长NQ 交OB 于K ，作DE ⊥OB 于E ，
由题意得，n 213(1)22
=⨯---2＝﹣3， ∴D （﹣1，﹣3），
∴DE ＝BE ＝3，
∴∠DBE ＝45°，
∴△KNB 和△KHQ 是等腰直角三角形，
设Q （m ，12
-m ﹣2）， ∴QM ＝﹣m ，
HK ＝QH 122m =+，
BH ＝m +4，
QK =HK =122m +），
BK ＝BH +HK 3
62m =+，
∴NK =
BK =32m +6）， ∴QN ＝NK ﹣QK
=32m +6）122m +） 1
14m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
∴QM •QN ＝﹣m •（11)4
m +
=m +2）22，
∴当m ＝﹣2时，QM •QN 最大，
∴当m ＝﹣2时，y 12
=⨯（﹣2+4）×（﹣2﹣1）＝﹣3， ∴P （﹣2，﹣3）；
(3)
解：如图2，
作PI ⊥OA 于I ，在射线AI 上截取IJ ＝IA ，作∠APK ＝∠APJ 交y 轴于K ，
∴PA ＝PJ ，
∴∠APJ ＝2∠API ，
∵P （﹣2，﹣3），A （0，﹣2），C （1，0），
∴AI ＝OC ＝1，PI ＝OA ＝2，
∴Rt △API ≌Rt △CAO （SAS ），
∴∠API ＝∠CAO ，
∴∠APJ ＝2∠CAO ，
∵P （﹣2，﹣3），J （0，﹣4），
∴直线PJ 的解析式是：y 142
x =--， 由214213222y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
得， ∴x 1＝x 2＝﹣2，
∴此时点E 不存在
作KT ∥PJ 交PA 的延长线于T ，
∴∠T ＝∠APJ ＝∠APK ，KT AK PJ
AJ
，
即KT PJ AK AJ ==
∴PK ＝KT ，设KT =，AK ＝2m ，
∴PK =，
作AL ⊥PJ 于L ，作AS ⊥PK 于S ，
∴AS ＝AL ，PS ＝PL ，
∵S △APJ 1122
PJ AL AJ PI =⋅=⋅，
AL ＝2×2，
∴AS ＝AL =
∴PS ＝PL =
在Rt △AKS 中，AK ＝2m ，AS =
SK ＝PK ﹣PS =
2+-2＝（2m ）2 ∴m 1＝5，m 2＝1（舍去），
∴AK ＝2m ＝10，
∴K （0，8），
∴直线PK 的解析式是：y 1182
x =+， 由21322x x +-21182
x =+得， ∴x 1＝10，x 2＝﹣2（舍去）
当x ＝10时，y 63，
∴E（10，63）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性强，难度困难，属于中考压轴题型，添加适当的辅助线，利用数形结合思想进行求解是解答的关键．。