2016年安徽省中考数学模拟试卷

2016年安徽省中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列运算正确的是（）
A．3﹣1=﹣3 B
．=±3 C．（ab2）3=a3b6 D．a2+a3=a5
2．如图是由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图①变到图②，则（）
A．主视图改变，俯视图改变B．主视图不变，俯视图改变
C．主视图不变，俯视图不变D．主视图改变，俯视图不变
3．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（）
A
．B
．C
．D
．
4．把代数式a2b﹣b3分解因式，结果正确的是（）
A．2b（a+b）B．b（a﹣b）C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）（a﹣b）
5
．的值等于（）
A．±
（﹣50）B
．±50 C
．﹣50 D．50
﹣
6．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：4：5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？（）
A．5.4 B．5.7 C．7.2 D．7.5
7．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边
CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．9
8．已知a2﹣3a+1=0
，则分式的值是（）
A．3 B
．C．7 D
．
9．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
10．直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，O是原点．点P是线段AB上的动点（包括A、B两点），以OP为直径作⊙Q，则⊙Q的面积不可能是（）
A．5πB．4πC．3πD．2π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即
0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为．
12．已知x、y是实数，并且+y2﹣6y+9=0．则（xy）2015的值是．
13．如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n（n≥3），求a29的值．
14．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②当AD=2时，EF与半圆相切；③线段EF的最小值为4；④若点F恰好落在BC上，则AD=4．其中正确结论的序号是．三、（本大题共9题，满分90分）
15．（﹣）﹣2﹣﹣（﹣1）0+4sin60°．
16．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：
2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1
请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．
17．如图，O，B，A的坐标为（0，0），（3，0），（4，2）．
（1）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°到△OA1B1，画出△OA1B1，并求B点所经过路线长．（2）以O为位似中心在y轴左侧画△OA2B2，使△OA2B2与△OAB的相似比为2：1，并直接写出A2，B2
坐标．
18．某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部
分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
（1）求∠DAC的度数；
（2）这棵大树折断前高约多少米？
19．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△≌△；
（2）BC和AC、AD之间的数量关系是．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的长．
20．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
21．上学期，为创建文明城市，29中举行“社会主义核心价值观”演讲比赛，比赛聘请了10位老师和10位学生担任评委，其中九（7）班的得分情况如下面的统计图（表）所示：
老师评委计分统计表
（1）在频数分布直方图中，自左向右第四组的频数为．
（2）学生评委计分的中位数是分．
（3）计算最后得分的规定如下：在评委的计分中各去掉一个最高分、一个最低分，分别计算平均数（老师、学生评委分开计算）；并且按老师、学生评委的平均分各占60%、40%的方法计算各班最后得分，九（7）班最后得分为94.4分，求统计表中x的值．
22．对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值x1
x2，它们的对应函数值分别为y1
、
和y2．若x2＞x1时，有y2＞y1，则称该函数单调递增；若x2＞x1时，有y1＞y2，则称该函数单调递减．例如二次函数y=x2，在x≥0时，该函数单调递增；在x≤0时，该函数单调递减．
（1）二次函数：y=（x-1）2+2自变量x在哪个范围内，该函数单调递减？
答：．
（2）试说明函数：y=x﹣在x＞1的函数范围内，是单调递增还是单调递减？
（3）若存在两个关于x的一次函数，分别记为：g=k1x+b1和h=k2x+b2，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函y=g=h，则比例系数k1和k2满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？
23．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）求证：△ODM∽△MCN；
（2）设DM=x，OA=R，求R关于x的函数关系式；
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．
2015年安徽省芜湖市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列运算正确的是（）
A．3﹣1=﹣3 B．=±3 C．（ab2）3=a3b6 D．a2+a3=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；负整数指数幂．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、算术平方根、合并同类项、负整数指数幂等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、3﹣1=，原式错误，故本选项错误；
B、=3，原式错误，故本选项错误；
C、（ab2）3=a3b6，计算正确，故本选项正确；
D、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、算术平方根、合并同类项、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
2．如图是由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图①变到图②，则（）
A．主视图改变，俯视图改变B．主视图不变，俯视图改变
C．主视图不变，俯视图不变D．主视图改变，俯视图不变
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，俯视图是从几何体的上面看所得到的图形，分别画出两个图形的主视图和俯视图可直接得到答案．
【解答】解：如图所示：
，
根据图形可得主视图不变，俯视图改变，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所看的位置，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
3．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故选A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比
4．把代数式a2b﹣b3分解因式，结果正确的是（）
A．2b（a+b）B．b（a﹣b）C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）（a﹣b）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取b，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=b（a+b）（a﹣b）．
故选D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．的值等于（）
A．±（﹣50）B．±50 C．﹣50 D．50﹣
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】先判断出﹣50的符号，再把二次根式进行化简即可．
【解答】解：∵2015＜2500，
∴＜50，
∴﹣50＜0，
∵=50﹣．
故选D．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
6．桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：4：5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？（）
A．5.4 B．5.7 C．7.2 D．7.5
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：4：5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．
【解答】解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，
根据题意得：60×10+80×10+100×10=60×3x+80×4x+100×5x，
解得：x=2.4，
则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2（公分）．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．9
【考点】轴对称-最短路线问题；矩形的性质．
【专题】探究型．
【分析】先作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF 的长，进而得出DF的长．
【解答】解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，
∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，
∴BE=CE=CE′=6，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴CD∥AB，
∴=，即=，
解得CF=3，
∴DF=CD ﹣CF=9﹣3=6． 故选B ．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E 点关于直线CD 的对称点，再根据轴对称的性质求出CE ′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
8．已知a 2﹣3a+1=0，则分式
的值是（ ）
A ．3
B ．
C ．7
D ．
【考点】分式的值． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据已知条件，易求a 2+1=3a ，左右平方，可得a 4+1=（a 2+1）2﹣2a 2=7a 2，再整体代入所求分式中计算即可．
【解答】解：∵a 2﹣3a+1=0， ∴a 2+1=3a ， ∴（a 2+1）2=9a 2，
∴a 4+1=（a 2+1）2﹣2a 2=7a 2，
∴原式==．
故选D ．
【点评】本题考查了分式的值，解题的关键是利用完全平方公式．
9．△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为6cm ，4cm ，4cm ，P 为三边角平分线的交点，则△ABP ，△BCP ，△ACP 的面积比等于（ ）
A ．1：1：1
B ．2：2：3
C ．2：3：2
D ．3：2：2
【考点】角平分线的性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．
10．直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，O是原点．点P是线段AB上的动点（包括A、B两点），以OP为直径作⊙Q，则⊙Q的面积不可能是（）
A．5πB．4πC．3πD．2π
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短．
【分析】由一次函数的解析式可求出函数和坐标轴交点的坐标，因为Q为线段OP上的中点，则OP是圆Q 的直径，求出OP的最小值和最大值，也就是求出了圆Q的面积的最值，有其取值范围再做选择即可．【解答】解：设y=0．则0=﹣x+4，
∴x=4，
∴A的坐标为（4，0），
∴OA=4，
设x=0．则y=4，
∴OB=4，
∴AB==4，
∵点P是线段AB上的动点，
∴OP⊥AB时，OP最小为AB=2，
∵Q为线段OP上的中点，
∴此时⊙Q的面积=π（）2=2π，
∵点P是线段AB上的动点，
∴当点P和A或B重合时，OP最大为4，
∴此时⊙Q的面积=π×22=4π，
∴2π≤⊙Q的面积≤4π．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点、直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理的运用，解题的关键是求出圆Q的最大值和最小值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为 2.5×10﹣6．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；
故答案为：2.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．已知x、y是实数，并且+y2﹣6y+9=0．则（xy）2015的值是﹣1．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】已知等式变形后，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出原式的值．
【解答】解：∵+y2﹣6y+9=+（y﹣3）2=0，
∴，
解得：x=﹣，y=3，
则原式=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n（n≥3），求a29的值870．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】观察可得边数与扩展的正n边形的关系为n（n+1），把n=29代入求解即可．
【解答】解：当n=3时，边数为3×4=12；
当n=4时，边数为4×5=20；
…
故正n边形，边数为：a n=n×（n+1）；
∴a29=29×30=870．
故答案为：870．
【点评】本题考查了图形的规律性及规律性的应用；得到边数与扩展的正n边形的关系是解决本题的突破点．
14．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②当AD=2时，EF与半圆相切；③线段EF的最小值为4；④若点F恰好落在BC上，则AD=4．其中正确结论的序号是①②．
【考点】圆的综合题；垂线段最短；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定；轴对称的性质．
【分析】①连接CD，如图1，由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证得CE=CF；
②连接DC、OC，如图2，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，即可得到EF与半圆相切；
③连接CD，如图3，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当CD⊥AB时，CD最小．由于EF=2CD，只需求出CD的最小值，就可求出EF的最小值；
④若点F恰好落在BC上，则点D、F重合于点B，此时AD=AB=8．
【解答】解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD，
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠F=∠CDF，
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴结论①正确；
②当AD=2时，连接CD、OC，如图2所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=4，AD=2，
∴DO=2，
∴AD=DO，
∴∠ACD=∠OCD=30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA，
∴∠ECA=30°，
∴∠ECO=90°，即OC⊥EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切．
∴结论②正确；
③当CD⊥AB时，如图3所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=8，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=BC=2．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD，
∴线段EF的最小值为4．
∴结论③错误；
④若点F恰好落在BC上，
则有点D、F重合于点B，此时AD=AB=8，
∴结论④错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、垂线段最短、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，关键是根据轴对称的性质和等边三角形的判定与性质进行分析．
三、（本大题共2题，每题8分，满分16分）
15．（﹣）﹣2﹣﹣（﹣1）0+4sin60°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值化简即可得到结果．
【解答】解：原式=4﹣2﹣1+4×=4﹣2﹣1+2=3．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得：
2S﹣S=22014﹣1，即S=22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013=﹣1
请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值．
【考点】有理数的乘方．
【专题】阅读型．
【分析】设S=1+3+32+33+…+32014，则3S=3+32+33+…+32014+32015，先减即可求出答案．
【解答】解：∵设S=1+3+32+33+…+32014，则3S=3+32+33+…+32014+32015，
∴2S=32015﹣1，
∴．
【点评】本题考查了有理数的乘方、整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力，题目是一道比较好的题目，难度适中．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，O，B，A的坐标为（0，0），（3，0），（4，2）．
（1）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°到△OA1B1，画出△OA1B1，并求B点所经过路线长．（2）以O为位似中心在y轴左侧画△OA2B2，使△OA2B2与△OAB的相似比为2：1，并直接写出A2，B2坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图—相似变换．
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点的位置，进而利用弧长公式求出即可；
（2）利用位似图形的性质结合相似比，进而得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1，即为所求，
B点所经过路线长为：=；
（2）如图所示，△OA2B2为所求，根据图象可得出：A2（﹣8，﹣4），B2（﹣6，0）．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似变换和旋转变换等知识，根据题意得出对应点位置是解题关键．
18．某处山坡上有一棵与水平面垂直的大树，狂风过后，大树被刮的倾斜后折断，倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）这棵大树折断前高约多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）延长BA交EF于点G，在RT△AGE中，求得∠GAE=67°，然后根据∠CAE=180°﹣∠GAE ﹣∠BAC即可求得；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，在△ADH中，根据余弦函数求得DH，进而根据正弦函数求得AH，
在RT△ACH中，求得CH=AH=2，然后根据AB=AC+CD即可求得．
【解答】解：（1）延长BA交EF于点G，
在RT△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°，
又∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°﹣67°﹣38°=75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，
∴DH=2，sin∠ADC=，
∴AH=2．
在RT△ACH中，∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，
∴AC=2，CH=AH=2．
∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：
（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△ADC≌△A′DC；
（2）BC和AC、AD之间的数量关系是BC=AC+AD．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．求AB的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】阅读型．
【分析】（1）由SAS容易证明△ADC≌△A′DC；
（2）由△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，再求出DA′=BA′，得出BA′=AD，即可得出结论；
解决问题：在AB上截取AE=AD，连接CE，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=10=BC，过点C作CF⊥AB于点F，设EF=BF=x；在Rt△CFB和Rt△CFA中，根据勾股定理求出x，即可得出结果．【解答】解：（1）△ADC≌△A′DC；理由如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠A′CD，
在△ADC和△A′DC中，
，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）BC=AC+AD；理由如下：
由（1）得：△ADC≌△A′DC，
∴DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠A=30°，
∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∠∠BDA′=30°=∠B，
∴DA′=BA′，
∴BA′=AD，
∴BC=CA′+BA′=AC+AD；
解决问题
如图，在AB上截取AE=AD，连接CE，如图3所示：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠EAC．
在△AEC和△ADC中，
，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC，
过点C作CF⊥AB于点F，
∴EF=BF，
设EF=BF=x．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF2=CB2﹣BF2=102﹣x2，
在Rt△CFA中，∠CFA=90°，由勾股定理得CF2=AC2﹣AF2=172﹣（9+x）2．
∴102﹣x2=172﹣（9+x）2，
解得：x=6，
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，
∴AB的长为21．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．
20．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得，=，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
则x+300=1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，
解得：x=1600，
答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．
【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．
六．（本题满分12分）
21．上学期，为创建文明城市，29中举行“社会主义核心价值观”演讲比赛，比赛聘请了10位老师和10位学生担任评委，其中九（7）班的得分情况如下面的统计图（表）所示：
老师评委计分统计表
（1）在频数分布直方图中，自左向右第四组的频数为5．
（2）学生评委计分的中位数是95分．
（3）计算最后得分的规定如下：在评委的计分中各去掉一个最高分、一个最低分，分别计算平均数（老师、学生评委分开计算）；并且按老师、学生评委的平均分各占60%、40%的方法计算各班最后得分，已知九（7）班最后得分为94.4分，求统计表中x的值．
【考点】频数（率）分布直方图；折线统计图；加权平均数；中位数．
【分析】（1）根据频数分布直方图求出其余四组的频数，根据样本容量为20，求出自左向右第四组的频数；（2）把学生评委计分进行排列，根据中位数的概念求出中位数；
（3）根据频数分布直方图获取数据，得到x=95，代入进行验证即可．
【解答】解：（1）频数分布直方图中，自左向右第四组的频数为：20﹣3﹣4﹣6﹣2=5，故答案是：5；（2）学生评委计分为：91，93，94，95，95，95，95，95，97，98，则中位数是95分；
（3）学生评委的评分是：（95+95+94+95+96+97+95+93）=95（分），
根据频数分布直方图可知，x=95，老师评委的评分是：（94+96+93+x+92+91+96+93），
（94+96+93+x+92+91+96+93）×60%+95×40%=94.4，
∴x=97．
【点评】本题考查的是频数分布直方图、平均数和中位数的概念，观察图表从中获取正确的信息是解题的关键，掌握平均数和中位数的概念是重点．
七．（本题满分12分）
22．对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值x1x2，它们的对应函数值分别为y1和y2．若
x2＞x1时，有y2＞y1，则称该函数单调递增；若x2＞x1时，有y2＞y1，则称该函数单调递减．例如二次函数y=x2，在x≥0时，该函数单调递增；在x≤0时，该函数单调递减．
（1）二次函数：y=（x=1）2+2自变量x在哪个范围内，该函数单调递减？
答：x≤﹣1．
（2）试说明函数：y=x﹣在x＞1的函数范围内，是单调递增还是单调递减？
（3）若存在两个关于x的一次函数，分别记为：g=k1x+b1和h=k2x+b2，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函y=g=h，则比例系数k1和k2满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据a＞0，二次函数的自变量在对称轴左侧单调递减，可得答案；
（2）根据y随x的增大而增大，可得证明的结论；
（3）根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】（1）解：y=（x+1）2+2自变量在x≤﹣1范围内，该函数单调递减；
故答案为：x≤﹣1；
（2）证明：任取x2＞x1，
则y2﹣y1=（x2﹣）﹣（x1﹣）=（x2﹣x1）+（﹣）
=（x2﹣x1）+（）
因为x2＞x1，所以y2＞y1
∴y=x﹣在x＞1的函数范围内，该函数单调递增；
（3）解：g=k1x+b1和h=k2x+b2，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减，
∴k1
，k2＜0，
＞0
y=g+h
即y=（k1x+b1）+（k2x+b2）=（k1+k2）x+（b1+b2）
y=（k1+k2）x+（b1+b2）单调递增，
∴k1+k2＞0，
故一次函数y=g+h，
则比例系数k1和k2满足k1＞0，k2＜0，k1+k2＞0时，函数y在实数范围内单调递增．。