抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ).
A、2阶
B、3 阶
C、4 阶
D、 6 阶
2、设G是群，G有（ )个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个
B、5个
C、6个
D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( ）。

A、偶数
B、奇数
C、4的倍数
D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（）
A、(N,≤）
B、(Z，≥）
C、（｛2,3,4，6,12},|(整除关系））
D、 (P（A）,⊆）
5、设S3＝{（1)，（12），(13),（23），（123），(132）},那么,在S3中可以与(123）交换的所有元素有（ )
A、（1)，(123)，（132)
B、12），(13)，（23)
C、（1），(123）
D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是-———--——的，每个元素的逆元素是-----———的.
2、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元，则
()
[]=
-a
f
f1----—---—-。

3、区间［1，2]上的运算}
,
{min b
a
b
a=
的单位元是--—-———.
4、可换群G中｜a｜=6，｜x|=8,则|ax|=—-————————。

5、环Z
8
的零因子有 --—-——-----—--——-——-———。

6、一个子群H的右、左陪集的个数——--———-——。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的—--—-----.
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的—-——-—-----。

9、设群G中元素a的阶为m，如果e
a n=，那么m与n存在整除关系为-———
-—-—.
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环。

S 1+S 2也是子环吗？
3、设有置换)1245)(1345(=σ，
6
)456)(234(S ∈=τ。

1．求στ和στ-1
；
2．确定置换στ和στ-1
的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群,证明b =a —1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、C;
2、C ；
3、D ；
4、D ；
5、A;
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；
2、a ；
3、2；
4、24；
5、;
6、相等；
7、商群；
8、特征；
9、
n
m ；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子,分类进行计算:例如，全白只1种，四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a ，b ∈S1∩S2 有a —b, ab ∈S1∩S2：
因为S1,S2是A 的子环，故a-b ， ab ∈S1和a —b ， ab ∈S2 ， 因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．)56)(1243(=στ,)16524(1
=στ-;
2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想,那么a 0≠∈μ，由理想的定
义μ∈=-11a a ，因而R 的任意元μ∈•=1b b
这就是说μ=R ，证毕。

2、证 必要性：将b 代入即可得. 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab （ab2a ）=(aba)b2a=ab2a=e ， ba=（ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ， 所以b=a-1。

————-——-———————————-—-—-————--———————— 一．判断题（每小题2分,共20分）
1. 实数集R 关于数的乘法成群. （ ）
2. 若H 是群G 的一个非空有限子集，且,a b H ∀∈都有ab H ∈成立，则H 是G 的一个子群. （ ）
3. 循环群一定是交换群. ( ） 4。

素数阶循环群是单群。

（ ）
5。

设G 是有限群，a G ∈，n 是a 的阶，若k a e =，则|n k 。

（ ）
6. 设f 是群G 到群G 的同态映射,H 是G 的子群，则()f H 是G 的子群。

（ ） 7。

交换群的子群是正规子群。

（ ） 8。

设G 是有限群，H 是G 的子群，则||
||
G G
H
H =
. （ ） 9。

有限域的特征是合数. ( ） 10。

整数环Z 的全部理想为形如nZ 的理想. ( ） 二．选择题（每小题3分,共15分） 11。

下面的代数系统(),G *中，（ ）不是群.
A. G 为整数集合，*为加法;
B. G 为偶数集合,*为加法；
C. G 为有理数集合,*为加法； D 。

G 为整数集合,*为乘法.
12。

设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH . 如果H 的阶为6,那么G
的阶G =（ ）
A 。

6；
B 。

24；
C 。

10； D.12。

13. 设()()()()()(){}
31,12,13,23,123,132,S =，则3S 中与元()123不能交换的元的个数
是
A 。

1;
B 。

2；
C. 3;
D 。

4.
14. 从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（ ）
A. G=（a ）与G 的子群； B 。

整数加法群与模n 的剩余类的加法群； C 。

变换群与置换群； D. 有理数加法群与模n 的剩余类的加法群。

15。

整数环Z 中，可逆元的个数是( ）.
A.1个 B 。

2个 C.4个 D 。

无限个 三．填空题（每小题3分,共15分）
16. 如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元
是 。

17. n 次对称群n S 的阶是____________。

18。

整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为 。

19. 设N 是G 的正规子群，商群N
G
中的单位元是 。

20。

若R 是交换环， a R ∈则主理想()a =____________。

四．计算题（第21小题8分, 第22小题12分，共20分） 21。

令⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=123456
654321ρ, ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=465132654321σ， ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=453126654321τ,计算1,ρσσ-。

22. 设)}132(),123(),1{(=H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说
明H 是否是3S 的正规子群.
五．证明题(每题10分，共30分）
23。

设G 是群，H 是G 的子群，证明：a G ∈，则1
aHa -也是子群
24. 设G 是群,H 是G 的正规子群. G 关于H 的陪集的集合为
{|}G
gH g G H
=∈,
证明：/G H 对于陪集的乘法成为一个群，称为G 对H 的商群.
25。

证明：域F 上全体n n ⨯矩阵的集合()n M F 在矩阵的加法和乘法下成为环.
一．判断题(每小题2分,共20分） 1-10 ××√√√ √√√×√
二．选择题（每小题3分，共15分) 11。

D ；12. B ；13。

C ；14. B ；15。

B. 三．填空题(每小题3分,共15分）
16。

1; 17。

!n ；18。

(){},1,
,1nZ nZ nZ n ++-;
19。

N ；20. aR .
四．计算下列各题(第21小题8分， 第22小题12分,共20分) 21。

解：123456
546213ρσ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
4分
1123456
312645σ-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
.
8分
22. 解：H 的所有左陪集为 )}132(),123(),1{(=H ， ()12{(12),(13),(23)}H =；
4分
H 的所有右陪集为
)}132(),123(),1{(=H ，()12{(12),(13),(23)}H =. 对
3S σ∀∈,有H H σσ=，即H 是正规子群. 12分
五．证明题(每题10分,共30分)
23. 证明：因为H 是G 的子群，对任意,x y H ∈,有1
xy H -∈. 4分
由题意,对任意
,x y H
∈,有
1111,axa ay a aHa ----∈，从而
()()1
11
11
1axa ay
a
axy
a aHa ------=∈，即1aHa -也是子群.
10分
24. 证明：首先G
H
对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.
3分 陪集H eH =是它的单位元,,eHgH egH gH g H ==∀∈. 7分
又任意gH ，有1
1
g HgH eH gHg H --==，即1
g H -是gH 的逆元.
10分
25。

证明：()
n M F 关于加法是封闭的，且满足结合律，
3分
零元是0n n ⨯，对任意()n n n A M F ⨯∈,有()0n n n n n n A A ⨯⨯⨯+-=,即n n A ⨯的负元是n n A ⨯-.
()
n M F 关于乘法是封闭的,且满足结合律，单位元是n n E ⨯。

8分 乘法关于加法的分配律成立。

10分。