人教版九年级数学下册28.1 锐角三角函数同步练习【精品】

28.1锐角三角函数——正弦、余弦、正切
一、基础训练
1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则
B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.
2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值( )
A.没有变化
B.都扩大5倍
C.都缩小5倍
3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA=
5
3
，则sinB等于( )
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
4
3
二、强化训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tanB=
2
5
，则cosA等于( )
A.
2
5
B.
3
5
C.
5
5
2
D.
3
2
2.如果α是锐角,且sinα=
5
4
,那么cos(90°-α)的值为( )
A.
5
4
B.
4
3
C.
5
3
D.
5
1
3.在△ABC中，∠C＝90°，AC=2，AB=5，则cosB的值为( )
A.
2
10
B.
5
10
C.
5
15
D.
5
15
3
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
13
5
,BC=15,则AC=______________.
5.如图28-1-1-2,△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，求sinB的值.
图28-1-1-2
三、巩固训练
1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan
2
A
等于( )
图28-1-1-1
A.
53 B.54
C.343
D.34
5
图28-1-1-3 图28-1-1-4
2.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.
4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=
2
2
，则Rt △ABC 的面积是___________. 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值.
6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.
7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=5
3
，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.
图28-1-1-5
8.如图28-1-1-6，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D 点，BE ⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4.
求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长.
图28-1-1-6
9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1 000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直
距离为500米，求山坡的坡度.
图28-1-1-7
参考答案
一、基础训练
1.如图28-1-1-1所示，某斜坡AB上有一点B′，B′C′、BC是边AC上的高，则图中相似的三角形是______________，则B′C′∶AB′=______________,B′C′∶AC′=______________.
图28-1-1-1
解析：由相似三角形的判定得△AB′C′∽△ABC，由性质得B′C′∶AB′=BC∶AB，B′C′∶AC′=BC∶AC.
答案：△AB′C′∽△ABC BC∶AB BC∶AC
2.在Rt△ABC中，如果边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值、余弦值和正切值( )
A.没有变化
B.都扩大5倍
C.都缩小5倍
D.不能确定
解析：三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变
答案：A
3.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=
5
3
，则sinB 等于( ) A.
52 B.53 C.54 D.4
3
解析：sinA=
5
3
,设a=3k,c=5k,∴b=4k. ∴sinB=
5
454==k k c b . 答案：C 二、强化训练
1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=
2
5
，则cosA 等于( ) A.
25 B.35 C.552 D.3
2
解析：tanB=
2
5
,设b=5k,a=2k.∴c=3k. ∴cosA=
3
535==k k c b . 答案：B
2.如果α是锐角,且sinα=
5
4
,那么cos(90°-α)的值为( ) A.
54 B.4
3 C.53 D.51
解析：cos(90°-α)=sinα=5
4
. 答案：A
3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=2，AB=5，则cosB 的值为( )
A.
210 B.510 C.5
15
D.5153 解析：由勾股定理,得BC=3， ∴cosB=
515
5
3=
=AB BC . 答案：C
4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=
13
5
,BC=15,则AC=______________.
解析：∵sinA=13
5
=AB BC ,BC=15,∴AB=39.由勾股定理,得AC=36. 答案：36
5.如图28-1-1-2,△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝4，求sinB 的值.
图28-1-1-2
分析：因为三角函数值是在直角三角形中求得，所以构造直角三角形就比较重要,对于等腰三角形首先作底边的垂线.
解：过A 作AD ⊥BC 于D, ∵AB=AC,
∴BD=2.在Rt △ADB 中，由勾股定理,知AD=24262222=-=-BD AB ，
∴sinB=
3
2
2=AB AD . 三、巩固训练
1.如图28-1-1-3,已知菱形ABCD ，对角线AC=10 cm,BD=6 cm,，那么tan
2
A
等于( )
图28-1-1-3
A.
53 B.54
C.343
D.34
5 解析：菱形的对角线互相垂直且平分，由三角函数定义,得tan 2
A =tan ∠DAC=53
.
答案：A
2.如果sin 2α+cos 230°=1,那么锐角α的度数是( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60° 解析：由sin 2α+cos 2α=1,∴α=30°.
答案：B
3.如图28-1-1-4,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________.
图28-1-1-4
解析：坡度=BC
AC
,所以BC=5，由割补法知地毯长=AC+BC ＝7（米）. 答案：７米
4.在Rt △ABC 中，斜边AB=22,且tanA+tanB=
2
2
，则Rt △ABC 的面积是___________ 解析：∵tanA=
AC BC ,tanB=BC AC ,且AB 2=BC 2+AC 2,由tanA+tanB=22,得AC BC +BC AC
=2
2,即
AC·BC=28.∴S △ABC =24. 答案：24
5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且a=3,c=5,求∠A 、∠B 的三角函数值.
解：根据勾股定理得b=4,sinA=
53,cosA=54，tanA=43;sinB=54,cosB=53，tanB=3
4
. 6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且b=6,tanA=1,求c.
解：由三角函数定义知a=btanA ，所以a=6，根据勾股定理得c=26. 7.如图28-1-1-5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=5
3
，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6 cm ，求AB 、AD 的长.
图28-1-1-5
解：如题图，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°, ∴BC ＝DC ＝6.在Rt △ABC 中，sinA=
5
3
, ∴
AB BC =5
3
. ∴AB=10. ∴AC=
2222610-=-BC AB =8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
8.如图28-1-1-6，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D 点，BE ⊥AC 于E 点,AD=BC,BE=4.
求:（1）tanC 的值；（2）AD 的长.
图28-1-1-6
解：（1）∵AB=AC,AD ⊥BC, ∴AD ＝BC ＝2DC. ∴tanC=2.
（2）∵tanC=2，BE ⊥AC,BE=4,∴EC=2. ∵BC 2=BE 2+EC 2, ∴BC=52.∴AD=52.
9.如图28-1-1-7,某人从山脚下的点A 沿着斜坡走了1 000米到达山顶B 点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，求山坡的坡度.
图28-1-1-7
解：∵AC 2=AB 2-BC 2,∴AC=3500. ∴tanA=33,即山坡的坡度为3
3
.。