云南省曲靖市2023-2024学年高三第一次教学质量监测数学答案

曲靖市2023-2024学年高三年级第一次教学质量监测
数学参考答案
一、选择题题号12345678答案D
C
D
C
B
A
B
C
二、选择题
题号9101112答案AC
BC
ABC
ACD
三、填空题
题号13
14
15
16
答案
()
31，⎪⎭⎫ ⎝⎛81131，7
550（2分）,650（3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
特别说明：所标示的得分点，仅仅作为评分参考，具体阅卷需要请阅卷题组长组织讨论制定相对科学合理又方便于评分操作的评分细则.17.解：（1）b C a c 2cos 2-= ，
由正弦定理得：()C A C A B C A C +-=-=sin 2cos sin 2sin 2cos sin 2sin ,
C A C sin cos 2sin -=∴,0sin ≠C ，故2
1cos -=A .
又()π，0∈A ，3
2π=∴A .
…………………………………5分（2）由题意知，31===CD BD AD ，.
0cos cos ,=∠+∠∴=∠+∠ADB ADC ADB ADC π ，故在ADC ∆和ADB ∆中，由余弦定理得：
，0226
102
2=-+-c b 即1632
2
=+c b ，
①
在ABC ∆中，由余弦定理得：162
2
=++bc c b .
②
联立①②，解得774=
c ，即7
7
4=AB .……………………………10分
18.解：
（1）n a S n n -=2 ，()()21211≥--=∴--n n a S n n ，
两式相减，得121+=-n n a a ，故()()21211≥+=+-n a a n n .又当1=n 时，1211-=a a ，故11=a ，
∴数列{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，
故n n n a 22
211
=⨯=+-，
所以12-=n
n a .…………………………………6分
（2）()()
121121*********---=--=+=
+++n n n n n
n n n n a a a b ，
1211121121
71313111121--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=∴++n n n
n n b b b T .由202420231
2111>
--
+n ，得2024
1121
1<-+n ，2024121>-∴+n ，解得10≥n ，故n 的最小值是10.…………………………………12分
19.解：
（1）22
1
==n p ，，即采用3局2胜制，故X 的所有可能取值为2,3，()21212122
2
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()2
12121212132
12
2
12
=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==C C X P ，X ∴的分布列为：
X 23
P
2
12
1X ∴的数学期望()252132
1
2=⨯+⨯=X E .
…………………………………6分
（2）当采用3局2胜制时，设甲获胜时比赛的总局数为ξ，则甲最终获胜的概率：
()()()()p p p p p C p P P P 2313221
222-=⋅-⋅⋅+==+==ξξ.
当采用5局3胜制时，设甲获胜时比赛的总局数为η，则甲最终获胜的概率：
()()()()()()
.
1015611543232
22
4
22333+-=⋅-⋅⋅+⋅-⋅⋅+==+=+==p p p p p p C p p p C p P P P P ηηη23P P > ，即()
()p p p p p 2310156223->+-,0145223>-+-∴p p p ，即()()0
1212
>-⋅-p p 12
1
<<∴p .…………………………………12分
20.解：（1）证明：由题意可知，BCE ∆为等边三角形，在图2中，取BE 的中点为F ，连接AF F C ，1，则BE F C ⊥1，且31=
F C .
在图1中，取BE 的中点为F ，则2160===∠AB BF ABF ，，
，由余弦定理得，3=
AF ，
21212AC F C AF =+∴，故AF F C ⊥1，又F BE AF = ，ABED F C 平面⊥∴1，
又E BC F C 11平面⊂，ABED E BC 平面平面⊥∴1.…………………………………5分
（2）满足题设条件的点P 存在.如图所示，建立空间直角坐标系，则
()()()
().32323023230100230030001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛，，，，，，，，，，，，，，，，，
C F E B A
D 由（1）知，平面EB C 1的一个法向量为
()
0313
2
1，
，-==
AF n ，设()101≤≤=λλDC DP ，则
()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--=+=λλλλλ323223
3323230231，，，，，，DC BD BP ，又()
013，，--=BE ，设平面PEB 的一个法向量为()z y x n ，，=2，
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
22BE n BP n ，得()
132--=λλλ，，n .
由二面角1C EB P --的大小为
45，得
()
2
2
14232
2=
-+--λλλλ，解得[]1031，∈=λ，
所以在棱1DC 上存在点P ，使得二面角1C EB P --的大小为
45，此时
3
6
311==
DC DP .…………………………………12分
21.解：（1）设()()2211y x B y x A ，，，，则⎪⎩⎪⎨⎧==22212122py x py x ，
()()()2121212y y p x x x x -=-+∴，故
p x x x x y y 22
12
121+=--，
由题意，得
124
=p
，所以2=p ，所以抛物线E 的方程为y x 42
=.
…………………………………4分
（2）由（1）知，()10，F ，易知直线2l 的斜率必存在，设直线2l 的方程为1+=kx y ，
()().4433y x N y x M ，，，由⎩⎨⎧+==1
42kx y y x ，得0442
=--kx x ，440161643432-==+>+=∆∴x x k x x k ，，.
且()
222432
14161611k k k x x k
MN +=+⋅+=-+=.
由4
2
x y =
，得2x y ='，所以切线PM 的方程为：()3332x x x y y -=-，即()422
333
x x x x y +-=，①同理，切线PN 的方程为：()4
224
44x x x x y +-=，②
联立①②，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-===+=1422
4343x x y k x x x ，()12-∴，k P ，
∴点P 到直线2l 的距离22
212122k k k d +=++=，
()()
41412142
1
2
3222≥+=+⋅+⋅=∴∆k k k S PMN
，当且仅当0=k 时取等号，
综上，PMN ∆的面积存在最小值4，此时直线2l 的方程为1=y .
…………………12分
22.解：
（1）()()14141
+='∴+='a f ax x x f ， ，由题意可知，()2
1
41211-=+-='a f ，即，
8
3
-=∴a .
…………………………………3分
（2）()x f 的定义域为()∞+，0，且()x ax ax x x f 1
4412+=
+='，∴当0≥a 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+，
0上单调递增；当0<a 时，令()0>'x f ，得a x 410-
<
<，令()0<'x f ，得a
x 41
->，所以()x f 在⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
-
a 410，上单调递增，在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+-，a 41上单调递减.综上所述，当0≥a 时，()x f 在()∞+，0上单调递增；当0<a 时，()x f 在⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-a 410，上单调递增，在⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∞+-
，
a 41
上单调递减.…………………………………6分
（3）令()()()x g x f x F -=()12ln 2
++++=x a ax x .
函数()x f 的图象在函数()x g 的图象的下方，()0<∴x F 在()∞+，
0上恒成立.当0≥a 时，()0321>+=a F ，不满足()0<x F 在()∞+，0上恒成立.当0<a 时，因为()()()()x ax x a ax x
x F 112221
++=
+++=
'且0>x ，()()01
010<'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-∈>'⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴x F a
x x F a x 时，，，时，，，
故()x F 在⎪⎭⎫ ⎝
⎛-a 10，
上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-，
a
1
上单调递减，()a
a a F x F 1
1ln 1max -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴.
又()0<x F 恒成立，∴()001
1ln <<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-
a a
a 恒成立.令()()0ln >+=x x x x h ，则()0111
>+=+=
'x
x x x h ，()x h ∴在()+∞,0上单调递增，
又02
1
2ln 21<+
-=⎪⎭⎫
⎝⎛h ，()011>=h ，∴存在唯一的⎪⎭
⎫
⎝⎛∈1210，x ，使()00=x h ，
且当()00x x ，∈时，()0<x h ，当()∞+∈，0x x 时，()0>x h ，010x a <-
<∴，即0
1
x a -<，又()121
--∈-
，
x ，Z a ∈,a ∴的最大值为2-.
…………………………………12分。