湖北省宜昌市高二数学下学期期中试题文(含解析)(2021学年)

湖北省宜昌市２01６-２０17学年高二数学下学期期中试题文(含解析) 编辑整理:
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湖北省宜昌市20１6-20１7学年高二数学下学期期中试题文（含解析)
（全卷满分:１50分考试时间：120分钟)
第Ｉ卷（选择题共60分）
一、选择题(共１2小题,每小题５分,满分60分。

每小题只有一项是最符合题目要求的）1。

已知复数，则复数的值为（）
Ａ. 3 B。

5 C. D。

【答案】B
【解析】因为，所以,应选答案B。

2。

已知命题p：∀x∈R,２x>０,那么命题¬p为（）
A。

∃ｘ∈R，２x＜0 Ｂ. ∀x∈R，2x＜0 Ｃ。

∃x∈R,2x≤0 D. ∀ｘ∈R,2ｘ≤0
【答案】C
【解析】由全称命题的否定与存在性命题之间的关系可得:，应选答案C。

3. “x＜﹣1”是“x2﹣1>０”的( ）
A。

充分而不必要条件 B。

必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：由x2﹣1＞0，解得x＞1或ｘ＜﹣1．即可判断出结论.
解：由x2﹣1>0,解得x＞1或x<﹣1.
“x2﹣1>０”是“ｘ>1＂必要不充分条件．
故选：B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
4. 经过点且与直线平行的直线为( ）
A. B. C．
Ｄ．
【答案】Ｂ
【解析】因为的斜率是,所以过点与其平行的直线方程为
，即，应选答案B。

５。

已知ｘ与y之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点( )
Ａ。

(２,2) B。

(1,2) Ｃ。

(1.5,0) Ｄ. （１.5,4）
【答案】D
【解析】试题分析:回归直线必过点（），而,,所以回归直线过点,故选Ｄ。

考点:线性回归直线方程
６. 设抛物线y＝2x2的焦点坐标是( ）
A。

（1，0) B。

(—1，0） C. (0,) D. （,0）
【答案】Ｃ
【解析】由抛物线的标准方程为,故,且焦点在轴正半轴上,应选答案C。

7. 直线x—ｙ＋4=0被圆ｘ2+y２+4x-4y＋６=０截得的弦长等于( ）
A。

８ B。

４ C． 2 D． 4
【答案】Ｃ
【解析】由题设可得圆的圆心坐标为，半径为，因圆心到直线x—y+4=0
的距离,故直线过圆心，则弦长是直径，应选答案C。

8。

如图所示的程序框图中,输出S的值为( ）
A。

10 B. 12 Ｃ. ８ D。

1５
【答案】Ｄ
【解析】由题设中提供的算法流程图可以看出：当时,求和运算的算法运算程序结束，此时应输出，应选答案D。

９. 在（0,1)内任取一个实数b,则使得方程x2—ｘ＋ｂ=０有实数根的概率为（)
A. B. C 。

D. 1
【答案】A
【解析】由题设“方程x2—ｘ+b=0有实数根”可得,即，故由几何概型的计算公式可得所求事件的概率,应选答案Ａ.
１0。

函数()的最大值是（ )
A. 1 B。

2 C． 0 D. -１
【答案】A
【解析】因，故当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,所以当取最大值，
，应选答案Ａ。

１1。

设点P是双曲线(a＞0，b>0）与圆x2+y２＝a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且｜PＦ1|＝2｜PF2|，则双曲线的离心率为( )
A。

Ｂ. C。

D.
【答案】C
【解析】因，故圆心在坐标原点,半径是,即圆经过两焦点.所以,由双曲线的定义可知，又,故,由勾股定理可得,应选答案Ｄ。

１2．设函数f(x)＝ａx2＋bx＋c(ａ，ｂ,ｃ∈R）,若x＝﹣１为函数ｙ=f（x)eｘ的一个极值点,则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是( )
Ａ。

Ｂ。

Ｃ． D.
【答案】D
【解析】因，故,则
,由题设中极值点的定义
,即,所以,对照题设中的函数图像不难看出:若，方程的两根之积是1,答案Ａ成立,答案D不成立；若,方程的两根之积是1,答案B,C都可能成立,应选答案D.
点睛:解答本题时须充分借助题设中提供的函数的图像中的有效信息及导数、二次函数的图像和性质等数学知识,综合运用所学知识进行分析推断，进而使得表面上看似较为困难问题简捷、巧妙获解。

第II卷(非选择题共９0分)
二、填空题(每小题５分，共20分）
13。

某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆,6000辆和２000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取４6辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取＿＿__＿＿_，＿___＿_＿，__＿_＿__辆。

【答案】 (1）. 6 (２)。

30 （３)。

10
【解析】根据分层抽样,型号Ａ的轿车应抽取4６×=6(辆)
1４。

如果实数x、ｙ满足条件,那么2x+y的最大值为_＿_____
【答案】—１
【解析】
画出不等式组表示的区域如图,因可化为，其几何意义是平行于的直线束,结合图形可以看出当动直线经过点时,在轴上的截距最大,其最大值,应填答案。

点睛：线性规划是高中数学教材中的必修内容,也是各级各类考试必考的常见题型之一,解答这类问题的关键是准确画出不等式组表示的平面区域，运用数形结合的数学思想进行分析求解。

本题中的目标函数的是平行于定直线的平行线束，从而将问题转化为在轴上的截距最大的问题进行求解.
1５. 由图(1）有面积关系：，则由图（2)有体积关系：=＿____.
【答案】
【解析】试题分析：将平面图形中的边类比到空间几何体的对应边上,利用棱锥的体积公式可类比得到体积间的关系,得到的比值
考点:类比推理
16。

给出下列命题:
①点Ｐ(-1,4)到直线3x+４y =2的距离为3。

②过点M（－３，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.
③命题“∃ｘ∈Ｒ，使得x2﹣2x＋1＜０”的否定是真命题;
④“x≤１，且y≤1”是“ｘ＋y≤2"的充要条件.
其中不正确命题的序号是________＿__＿___ ．(把你认为不正确命题的序号都填上)
【答案】①、②、④
【解析】因点到直线的距离是，故命题①不正确；设过点的直线为,令可得；令可得，由
可得，故命题②不正确;由含一个量词的命题的否定可知：命题“∃x∈R,使得x2﹣２x+1<0"的否定“"，由于,所以命题③是正确的；因为当，即“x≤1,且ｙ≤1”是“ｘ+ y≤2”
的充分条件；若，取,虽然有，但,因此
，即“x≤1，且y≤1”不是“x + y≤２”的必要条件,因此命题④也是错误的.应填答案①、②、④。

点睛:本题给出四个命题，要求从中选出不正确的命题的序号，属于开放型的不确定型多项选题.这类问题的求解一般较为困难，由于对数学知识掌握的程度不一样，对一个问题的求解思路和求解方法也不同，在正确与错误的问题上容易出现误差,因此只要选错一个答案,整个问题的答案就不正确了,所以要求解题者具备扎实的基本功和丰厚的数学知识,同时还要由敏锐的判定能力推理能力。

三、解答题(本大题共５小题,70分）
17。

已知命题p：m∈R且m+1≤0，命题q:∀ｘ∈R，x2+mx+1＞0恒成立，若p∧q为假命题且p∨ｑ为真命题,求m的取值范围.
【答案】﹣1＜m<2或ｍ—2
【解析】【试题分析】先分别求出命题满足的条件(取值的范围)分别为,再依据题设可推证出命题中只有一个命题是正确的的结论:然后分类为“真假"或“假真”建立关于实数的不等式组或，通过解不等式组求解：命题ｐ:m∈R且m+1≤0,解得m﹣1.
命题q：∀x∈R,x2+ｍx+1>０恒成立
∴△=m2-4＜0，解得-2<m＜2．
若“ｐ∨ｑ"为真，“ｐ∧q”为假，
则p与q必然一真一假，
∴或,
解得﹣1<ｍ＜2或m—2.
∴实数ｍ的取值范围是﹣1＜m<2或m—2.
18。

已知曲线ｙ = x3 ＋x-２在点P0处的切线平行直线4x－ｙ－1＝０，且点Ｐ0 在第三象限.
（1)求P0的坐标；
（２）若直线 , 且l也过切点P0 ,求直线l的方程。

【答案】(1）(-1,-４);(2)。

．。

.。

．．
试题解析:⑴由y=ｘ3+x-2,得ｙ′＝３x２+1，
由已知得３x2+1＝4,解之得x=±1.当x＝1时,ｙ=0；当x＝－１时，ｙ=－4。

又∵点Ｐ０在第三象限,
∴切点Ｐ0的坐标为 (-1，－４).
⑵∵直线，的斜率为4，∴直线l的斜率为，
∵l过切点Ｐ0,点Ｐ0的坐标为 (-1,－4)
∴直线l的方程为即。

考点:利用导数研究曲线在某点处的切线方程.
１9. 某校1０0名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组
分组[50，６0)[60,7０)［7０，80）[８０，90）[90，100]
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ）根据频率分布直方图,估计这１0０名学生期中考试数学成绩的平均分；
(Ⅲ)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体，从中随机抽取2名，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？
【答案】(1)；(2）74。

5；（３）。

试题解析:(1)由题意得,所以；
(2)由直方图分数在的频率为０.0５，的频率为０。

35，的频率为０．30,的频率为０。

2０,的频率为0。

1０,所以这1０0名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：
;
(３）由直方图，得:第3组人数为:人,
第４组人数为：人,
第5组人数为：人,
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,
每组分别为:第3组:人,
第4组:人,
第5组：人，
所以第３、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，则从六位同学中抽两位同学有1５种可能如下:
，
,
其中恰有１人的分数不低于９０分的情形有:，共5种,所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为．
考点:１、频率分布直方图;2、分层抽样;3、样本的数字特征;4、古典概型。

20。

如图,ＡBCD是正方形，Ｏ是正方形的中心,PO⊥底面ＡBCD,Ｅ是ＰC的中点.
．求证:(Ⅰ)PA∥平面BDE；（Ⅱ)平面PAC⊥平面ＢDE；(ＩＩI)若ＰB与底面所成的角为600, AB＝2a，求三棱锥E—ＢＣＤ的体积.
【答案】(１)见解析;(2）.
【解析】【试题分析】(1）先借助题设证明ＯE∥ＡＰ,再运用线面平行的判定定理推证PA∥平面BDE；（２）先运用线面垂直的判定定理证明BＤ⊥平面PAＣ,再依据面面垂直的判定定理证明平面ＰAC⊥平面BＤE;（3）题借助题设中线面角的定义求出三棱锥的高,再运用三棱锥的体积公式求解：
证明:(I）∵O是AＣ的中点，Ｅ是PC的中点,
∴OE∥AＰ,
又∵ＯE⊂平面ＢDE，PＡ⊄平面BDＥ．
∴PA∥平面BDE．
（II）∵PO⊥底面AＢＣD,PO⊥BＤ,
又∵AC⊥BD，且AC∩PＯ=O
∴BD⊥平面ＰAC，
而BD⊂平面BDＥ,
∴平面ＰAＣ⊥平面BDE。

（IＩI)∵PB与底面所成的角为600,且PO⊥底面ＡBCＤ,∴∠PBO=6０0,
∵AB＝2a，∴ＢO= a ＰＯ＝ a,
∴E到面BＣＤ的距离= ａ
∴三棱锥E-ＢCＤ的体积V=。

21. 已知椭圆Ｃ的中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．
（Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
（Ⅱ）是否存在与椭圆Ｃ交于Ａ,Ｂ两点的直线l：y=kx＋m(ｋ∈R），使得成立？若存在，求出实数m的取值范围,若不存在，请说明理由．
【答案】（１）;(2)。

【解析】（1)设椭圆的方程为,半焦距为．依题意得,由右焦点到右顶点的距离为,得．解得,．
所以.
所以椭圆的标准方程是.
(2)存在直线，使得成立.理由如下：
由得.
则,化简得．
设，则,.
若,则,即,
即,
所以,化简得,即.
将代入中，得,解得.又由
，得，从而或.
所以实数的取值范围是.
22. 已知函数。

（Ⅰ）当a=2,求函数f（x)的图象在点（１，ｆ(1) ）处的切线方程；
(Ⅱ)当a>0时，求函数f(x）的单调区间。

【答案】（1）;(2)见解析。

【解析】【试题分析】(１）先求当时，函数的导数，求出切线的斜率,再运用直线的点斜式方程求出切线的方程；(2)先对含参数的函数解析式
进行求导,再运用分类整合的数学思想，对实数进行分类讨论函数的单调性,分别求出其单调区间：
(1）当时,,
,
函数的图象在点处的切线方程为．
(２）由题知，函数的定义域为,
,
令，解得，
(I) 当时,所以，在区间和上;在区间上
，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．—(II）当a=2时，f’(x）>=０恒成立，故函数f(x）的单调递增区间是(0，+∞)
（IＩI）当1＜ａ<2时,a-1<１,在区间（0，a—1）,和(1,＋∞)上f’（x)〉0 ；在(a—１，1)上ｆ’(ｘ）＜０，故函数的单调递增区间是(0,a-1），（１,+∞)，单调递减区间是(ａ—1，1）
(ＩＶ）当a=１时,ｆ'(x）=x－1, x>1时ｆ＇(x)＞0, x＜1时ｆ'（ｘ)＜0,
函数的单调递增区间是(１,+∞)，单调递减区间是
(V）当0＜a<１时,ａ－１<0,函数的单调递增区间是(1,+∞）,
单调递减区间是，
综上,(Ｉ）时函数的单调递增区间是和,单调递减区间是
(ＩI） a=2时,函数f（ｘ)的单调递增区间是(０,+∞)—
(IIＩ) 当0＜a<2时，函数的单调递增区间是（０,a—1),(１，＋∞）,单调递减区间是（a-1,1）
(IV)当0<a≤1时，函数的单调递增区间是 (1，＋∞), 单调递减区间是
点睛:本题以含参数的函数解析式为前提,设置了两个问题,旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值(最值)等方面的综合运用。

解答本题的第一问时，先求当时，函数
的导数,借助导数的几何意义求出切线的斜率，再运用直线的点斜式方程求出切线的方程;求解第二问时，先对含参数的函数解析式进行求导,再运用分类整合的数学思想,对实数进行分类讨论函数的单调性，最后分别求出其单调区间。

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