2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破圆锥曲线含答案

圆锥曲线
目录
【题型一】轨迹
【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹【题型三】直线所过定点不在坐标轴上【题型四】面积比值范围型
【题型五】非常规型四边形面积最值型【题型六】“三定”型：圆过定点【题型七】“三定”型：斜率和定【题型八】“三定”型：斜率积定【题型九】圆锥曲线切线型【题型十】“韦达定理”不能直接用【题型十一】“非韦达”型：点带入型
【题型一】轨迹
求轨迹方程的常见方法有:
(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
(3)相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标x 0,y 0 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；
(4)参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破圆锥曲线（学生版）
1(2024·重庆·模拟预测)已知点F-1,0
和直线m:x=2，点P到m的距离d=4-2PF
.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)不经过圆点O的直线l与点P的轨迹交于A，B两点. 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，记k1k2 =t，是否存在t值使得△OAB的面积为定值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
2(2024·辽宁·一模)已知平面上一动点P到定点F
1
2
,0
的距离比到定直线x=-2023的距离小
4045
2，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)点A2,1
,M,N为C上的两个动点，若M,N,B恰好为平行四边形MANB的其中三个顶点，且该平行
四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB的面积为S，求证：S≤86 9.
3(2024·山东淄博·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点.F 5,0 ，点P x ,y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆D :x 2+y 2=1相切，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;
(2)设点A (1,0),M (0,t ),N (0,4-t )(t ≠2)，直线AM ，AN 分别与曲线C 交于点S ，T (S ，T 异于A )，过点A 作AH ⊥ST ，垂足为H ，求|OH |的最大值.
【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹
1(2024·新疆乌鲁木齐·二模)在平面直角坐标系xOy 中，
重新定义两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 之间的“距离”为AB =x 2-x 1 +y 2-y 1 ，我们把到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 c >0 的“距离”之和为常数2a a >c 的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设c =1,a =2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C ,C 的左顶点为A ，过F 2作直线交C 于M ,N 两点，△AMN 的外心为Q ，求证：直线OQ 与MN 的斜率之积为定值．
2(2024·湖南·二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的关系式；
(2)若点P x0,y0
不在直线族：Ω:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；
(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l1,l2，其交点为P.已知点C0,1
，若A,B,C三点不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由.
3(2024·全国·模拟预测)已知复平面上的点Z对应的复数z满足z2
-z2-9
=7，设点Z的运动轨迹为W．点 O 对应的数是0．
(1)证明W是一个双曲线并求其离心率e；
(2)设W的右焦点为 F1 ，其长半轴长为L，点Z到直线x=L
e的距离为d(点Z在W的右支上)，证明：ZF1
=ed；
(3)设W的两条渐近线分别为 l1，l2 ，过Z分别作 l1，l2 的平行线l3，l4分别交l2，l1于点 P，Q ，则平行四边形OPZQ的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上
存在性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
1已知点M 是抛物线C :x 2=2py p >0 的对称轴与准线的交点，
过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足PM =2
2
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过A -1,1 作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点T 0,t t >0 ，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t =λk ？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．
2已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b
2=1(a >0，
b >0)的离心率为23
3，点P 2,3 到其左右焦点F 1，F 2的距离的差为2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)在直线x +2y +t =0上存在一点Q ，过Q 作两条相互垂直的直线均与双曲线C 相切，求t 的取值范围．
3已知双曲线C ：x 2
a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)上任意一点Q (异于顶点)与双曲线两顶点连线的斜率之
积为19
，E 在双曲线C 上，F 为双曲线C 的右焦点，|EF |的最小值为10-3.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)过椭圆x 2
m 2+y 2n
2=1(m >n >0)上任意一点P (P 不在C 的渐近线上)分别作平行于双曲线两条渐近
线的直线，交两渐近线于M ，N 两点，且|PM |2+|PN |2=5，是否存在m ，n 使得椭圆的离心率为22
3
？若
存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
【题型四】面积比值范围型
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1(2022·全国·高三专题练习)F c,0
是椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1a>b>0
的右焦点，其中c∈N*.点A、
B分别为椭圆E的左、右顶点，圆F过点B与坐标原点O，P是椭圆上异于A、B的动点，且△PBF的周长小于8.
(1)求C的标准方程；
(2)连接BP与圆F交于点Q，若OQ与AP交于点M，求S△OPQ
S△MBQ的取值范围.
2(2023下·福建福州·高三校考)如图，已知圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左顶点A(-2,0)，过右焦
点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线l⊥x轴时，|MN|=3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)记△AMF,△ANF的面积分别为S1,S2，求S1
S2的取值范围.
3(2022·湖北黄冈·蕲春县第一高级中学校考模拟预测)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的左、
右顶点分别为A 1,A 2，左、右焦点分别为F 1,F 2，圆A 2:(x -2)2+y 2=r 2(r >0)，椭圆C 与圆A 2交于点D ，且k DA
2
⋅k DA 1
=-3
4
.
(1)求椭圆方程.
(2)若过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，与圆A 2交于M ,N 两点，且S △A 1PQ
S △A 2
MN
=3，求r 的取
值范围.
【题型五】非常规型四边形面积最值型
求非常规型四边形的面积最大值，首先要选择合适的面积公式，对于非常规四边形，如果使用的面积公式为
S DMEN=1
2x N-x M
y1-y2
，为此计算y1-y2，x N-x M代入转化为k的函数求最大值.
1(2023·全国·高三专题练习)已知圆O:x2+y2=4,O为坐标原点，点K在圆O上运动，L为过点K的圆的切线，以L为准线的拋物线恒过点F1-3,0
,F23,0
，抛物线的焦点为S，记焦点S的轨迹为S．
(1)求S的方程；
(2)过动点P的两条直线l1,l2均与曲线S相切，切点分别为A,B，且l1,l2的斜率之积为-1，求四边形PAOB面积的取值范围．
2(2023·全国·高三专题练习)已知F1,F2是椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点，以F1F2为直径
的圆和椭圆C在第一象限的交点为G，若三角形GF1F2的面积为1，其内切圆的半径为2-3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A是椭圆C的上顶点，过点P-2,1
的直线与椭圆C交于不同的两点D,E，点D在第二象限，直线AD、AE分别与x轴交于M,N，求四边形DMEN面积的最大值．
3(2023·全国·高三专题练习)如图．已知圆M :(x -2)2+y 2=81，圆N :(x +2)2+y 2=1．动圆S 与这两个圆均内切．
(1)求圆心S 的轨迹C 的方程；
(2)若P 2,3 、Q 2,-3 是曲线C 上的两点，A 、B 是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的
斜率为1
2
，求四边形APBQ 面积的最大值．
【题型六】“三定”型：圆过定点
圆过定点思维：
1.可以根据特殊性，计算出定点，然后证明
2.利用以“某线段为直径”，转化为向量垂直计算2.利用对称性，可以猜想出定点，并证明。

4.通过推导求出定点(计算推导难度较大)
1已知椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1a>b>0
的左、右顶点分别为A,B，且AB
=4，离心率为
1
2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上不同于A,B的一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于点M,N.试判断以MN为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
2已知椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1a>b>0
经过点A0,1
，且右焦点为F1,0
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点0,1
2
的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，问以MN为直径的圆是否过y轴上的定点，若是求出定点坐标，若不是说明理由．
3已知双曲线C:x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当
PQ⊥x轴时，PA
=10，△PAQ的面积为3.
(1)求C的方程；
(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.
【题型七】“三定”型：斜率和定
设抛物线y2=2px p>0
，其上有不同的三点：P x0,y0
,A x1,y1
,B x2,y2
x0≠x1≠x2
，当l PA,l PB的斜率k PA,k PB满足：
①k PA+k PB=t t≠0
时，l AB过定点x0-2y0
t
,
2p
t
-y0
②k PA×k PB=t t≠0
时，l AB过定点x0-2p
t
,-y0
或者y202p-2y0t,-y0
1已知点F是椭圆E:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且
tan∠PFO=3
3.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)已知M1,0
，N4,3
，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点.设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程.
2.在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程；
(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点.
3已知右焦点为F1,0
的椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1a>b>0
经过点D1,
3
2
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过F的直线l与椭圆C分别交于A、B(不与D点重合)，直线DA、DB分别与x轴交于M、N，是否存在直线l，使得∠DMN=∠DNM？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【题型八】“三定”型：斜率积定
给定椭圆x2
a2
+
y2
b2
=1（a>b>0），与椭圆上定点P x0,y0
，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B
两点，记直线PA、PB的斜率分别为K1,K2,则有
①若k1+k2=t，则直线AB过定点x0-2y0
t
,-y0-
2b2x0
a2t
②若k1⋅k2=t，则直线AB过定点
2b2x0
ta2-b2
+x0,-
2a2ty0
ta2-b2
+y0
1已知椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点3,1
2
，其左焦点为F1(-3,0).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C的右顶点为A，若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为1
20，证明：直线PQ过定点.
2已知椭圆C:x2
4
+
y2
3
=1的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆O:x2+y2=4交于M，
N两点，M在N的左侧．
(1)若直线l的斜率k=1
2，求原点O到直线l的距离；(2)记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．
3已知椭圆E:x2
a2
+
y2
b2
=1（a>b>0）的离心率为3
2，短轴长为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为△ABC的重心；
①如果直线AB，OC的斜率都存在，求证：k AB⋅k OC为定值；
②试判断△ABC的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
【题型九】圆锥曲线切线型
在利用椭圆(双曲线)的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
(1)设切线方程为y =kx +m 与椭圆方程联立，由△=0进行求解；
(2)椭圆(双曲线)x 2
a 2±y 2
b 2=1在其上一点x 0,y 0 的切线方程为x 0x a 2±y 0y b
2=1，再应用此方程时，首先应证
明直线x 0x a 2±y 0y b 2=1与椭圆(双曲线)x
2
a 2±y 2b
2=1相切.
双曲线x 2
a 2-y 2
b 2=1的以x 0,y 0 为切点的切线方程为x 0x a 2-y 0y b
2=1
抛物线的切线：
(1)点P x 0,y 0 是抛物线y 2=2mx m ≠0 上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：y 0y =m x 0+x ；(2)点P x 0,y 0 是抛物线x 2=2my m ≠0 上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：x 0x =m y 0+y ．1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2
b
2=1
（a >b >0）的焦距为23，且经过点P -3,1
2 ．(1)求椭圆E 的标准方程：
(2)过椭圆E 的左焦点F 1作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，过点A ，B 分别作椭圆的
切线，两切线交于点M ，求AB
MF 1
的最大值．
2已知椭圆C :x 2
a 2+y 2b
2=1
（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，C 上一点P 到F 1，F 2距离之和为6.(1)求C 的方程；
(2)设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：PF 1 ⋅QF 2 =PF 2 ⋅QF 1 .
3法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的
中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2
a 2+y 2b
2=1（a >b >0）中，
离心率e =1
2
，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；
(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两
切线斜率都存在且斜率之积为-1
2
，求△POH 面积的最大值.
【题型十】“韦达定理”不能直接用
x 1=λx 2
1.利用公式，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型，即题中向量(或者线段长度满足)可以利用公式，可消去
1已知椭圆C :y 2a 2+x 2
b
2=1
（a >b >0）的上下两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 1与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M ,N 两点，△MNF 2的面积为3，椭圆C 的离心率为3
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知O 为坐标原点，直线l :y =kx +m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ,B 两个不同的点，若存在实
数λ，使得OA +λOB =4OP
，求m 的取值范围.
2在平面直角坐标系xOy 中，
动点M x ,y 与定点F 1,0 的距离和M 到定直线x =2的距离的比是常数2
2
，点M 的轨迹为曲线E ．
(1)求E 的方程；
(2)直线l 交曲线E 于P ，Q 两点，交x 轴于N 点，交y 轴于R 点，若RP =λ1PN ,RQ =λ2QN
，若λ1+λ2=-4，求点N 的坐标．
3已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b
2=1
（a >b >0），倾斜角为30o 的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ，且S △ABF 1
=1+3
2
(其中A 为右顶点).
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若过点M 0,m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且PM =2MQ
，求实数m 的取值范围.
【题型十一】“非韦达”型：点带入型
1已知M 为椭圆C :x 2
25+y 29
=1上的动点，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，点P 满足PD =53
MD .(Ⅰ)求动点P 的轨迹E 的方程；
(Ⅱ)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线
QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QF
k PA
的取值范围.
2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2
a2
+
y2
b2
=1（a>b>0）的离心率为2
2，上顶点A到右
焦点的距离为 2.过点D0,m
m≠0
作不垂直于x轴，y轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⏊OC.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求实数m的取值范围；
(3)延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1,S2，若S1
S2
=8
3，求直线l的方程.
3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2
a2
+
y2
b2
=1（a>b>0）的左焦点为F-3,0
，点
A-3,1
2
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知圆O:x2+y2=a2，连接FA并延长交圆O于点B,H为椭圆长轴上一点(异于左、右焦点)，过点H作椭圆长轴的垂线分别交椭圆C和圆O于点P,Q(P,Q均在x轴上方).连接PA，QB，记PA的斜率为k1，QB的斜率为k2.
①求k2
k1的值；
②求证：直线PA，QB的交点在定直线上.
4已知双曲线Ω:x2
a2
-
y2
b2
=1（a>0,b>0），A2,0
，B-
3
2
,-15
2
，B32,152
，D-1,0
，
E4,0
五点中恰有三点在Ω上.
(1)求Ω的方程；
(2)设P是Ω上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点Q m,0
m<0
，使得∠PQA+1
2
∠PAE=
π
2
,若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
圆锥曲线
目录
【题型一】轨迹
【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上
【题型四】面积比值范围型
【题型五】非常规型四边形面积最值型
【题型六】“三定”型：圆过定点
【题型七】“三定”型：斜率和定
【题型八】“三定”型：斜率积定
【题型九】圆锥曲线切线型
【题型十】“韦达定理”不能直接用
【题型十一】“非韦达”型：点带入型
【题型一】轨迹
求轨迹方程的常见方法有:
(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
(3)相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标x0,y0
所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；
(4)参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；
(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
1(2024·重庆·模拟预测)已知点F-1,0
.
和直线m:x=2，点P到m的距离d=4-2PF
(1)求点P的轨迹方程；
(2)不经过圆点O的直线l与点P的轨迹交于A，B两点. 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，记k1k2 =t，是否存在t值使得△OAB的面积为定值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
x 22+y 2=1(2)存在，t =-1
2
【分析】
(1)利用直接法求得轨迹方程；
(2)设A x 1,k 1x 1 ，B x 2,k 2x 2 ，分别表示OA ，OB 及sin ∠AOB ，进而表示S 2
△AOB =
11+2k 2
1⋅1
1+2k 22
⋅k 1-k 2
2
=
12-t 2+t +1
4
22k 21+2k 22+4t 2+1
，可知，当t =-12时，S 2
△AOB 为定值12，即△OAB 面积为定值.【详解】(1)设点P x ,y ，由d =x -2 =4-2PF ，当x >2时，PF ≥3，d =4-2PF ≤4-32<0不成立，所以x ≤2，则2⋅
x +1 2+y 2
=2+x ，
即x 2
2+y 2=1；(2)设A x 1,k 1x 1 ，B x 2,k 2x 2 ，则OA =
1+k 21 x 2
1，
OB =1+k 22 x 2
2，
又点A x 1,k 1x 1 在椭圆上，则x 212+k 1x 1 2=1，则x 21=21+2k 21，同理x 2
2=21+2k 22
，设直线OA 与OB 的倾斜角分别为α，β，则tan ∠AOB =tan α-β =tan α-tan β1+tan α⋅tan β
=k 1-k 2
1+k 1k 2
，
则sin ∠AOB =k 1-k 2
1+k 21+k 22+k 1k 2
2
，则S 2△AOB =12OA ⋅OB ⋅sin ∠AOB 2=141+k 21 ⋅11+2k 21⋅1+k 2
2 ⋅11+2k 22⋅k 1-k 2 2
1+k 21+k 22
+k 1k 2 2=k 21+k 22-2k 1k 21+2k 21+2k 22+4k 1k 2 2=k 21+k 2
2-2t 1+2k 21+2k 22+4t 2=1
2-2t +1 221+2k 21+2k 22+4t 2
，所以当t =-12时，S 2
△AOB 为定值12
，即△OAB 面积为定值.
2(2024·辽宁·一模)已知平面上一动点P 到定点F 1
2,0
的距离比到定直线x =-2023的距离小4045
2
，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；
(2)点A 2,1 ,M ,N 为C 上的两个动点，若M ,N ,B 恰好为平行四边形MANB 的其中三个顶点，且该平行
四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形MANB 的面积为S ，求证：S ≤86
9
.
【答案】(1)y 2=2x ；(2)证明见解析.【分析】
(1)根据距离公式列等量关系即可求解，或者利用抛物线的定义求解，
(2)根据点差法可得斜率关系，联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解长度，由点到直线的距离公式表达面积，即可利用导数求解函数的最值.
【详解】(1)解法一：设P x ,y ，易知x >-2023，
根据题意可得
x -12 2+y 2=x +2023-40452，化简得y 2=2x ，所以C 的方程为y 2=2x .
解法二：因为点P 到定点F 12,0 的距离比到定直线x =-2023的距离小4045
2
，
所以点P 到定点F 12,0 的距离与到定直线x =-1
2
的距离相等，
由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以定点F 12,0 为焦点，定直线x =-1
2
为准线的抛物线，
所以C 的方程为y 2=2x .(2)证明：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的斜率为k k ≠0 ，线段MN 的中点为Q ， 因为平行四边形MANB 对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，
所以线段MN 的中点Q 在直线y =x 上，设Q m ,m m ≠0 ，所以y 21=2x 1,y 2
2=2x 2,
所以y 1-y 2 y 1+y 2 =2x 1-x 2 ，又y 1+y 2=2m ,y 1-y 2x 1-x 2=k ,所以km =1，即k =1
m
.设直线MN 的方程
为y -m =1
m
x -m ，
即x -my +m 2-m =0，联立x -my +m 2-m =0,y 2=2x ,
整理得y 2-2my +2m 2-2m =0，所以Δ=8m -4m 2>0，解得0<m <2，y 1+y 2=2m ,y 1y 2=2m 2-2m ，则MN =1+m 2y 1-y 2 =1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 24m 2-42m 2-2m =21+m 22m -m 2.又点A 到直线MN 的距离为d =
2-2m +m 2
1+m
2
，
所以S =2S △AMN =MN ⋅d =21+m 2
2m -m 2
⋅
2-2m +m 2
1+m 2
=22m -m 22-2m +m 2 ，
记t =2m -m 2，
因为0<m <2，所以t ∈0,1 ，所以S =2t 2-t 2 =-2t 3+4t ,t ∈0,1 .
令f t =-2t 3+4t ,t ∈0,1 ，则f t =-6t 2+4，
令f t =0，可得t =6
3
，
当t ∈0,63 时，f t >0,f t 在区间(0,6
3
内单调递增，当t ∈63,1 时，f t <0,f t 在区间63,1 上单调递减，所以当t =63，即m =1±3
3
时，
f t 取得最大值，即S max =f 63 =86
9
，
所以S ≤86
9
.
3(2024·山东淄博·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点.F 5,0 ，点P x ,y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆D :x 2+y 2=1相切，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;
(2)设点A (1,0),M (0,t ),N (0,4-t )(t ≠2)，直线AM ，AN 分别与曲线C 交于点S ，T (S ，T 异于A )，过点A 作AH ⊥ST ，垂足为H ，求|OH |的最大值.
【答案】(1)C :x 2
-y 2
4
=1(2)2+1
【分析】
(1)设P (x ,y )，根据|OG |=1
2
|PF |±1代入坐标化简得到轨迹方程；
(2)设直线ST :y =mx +n ，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，求出M ,N 的纵坐标，从而有
y 1
x 1-1
+y 2
x 2-1=-4，代入韦达定理式化简得m +n +2=0，从而得到直线ST 所过定点，得到H 点轨迹方程，从而得到最大值.
【详解】(1)设P (x ,y )，则PF 的中点G x +52,y 2 ，根据题意得|OG |=1
2
|PF |±1，即
x +5
2
2
+y 2
2=1
2
(x -5)2+y 2±1，整理得(x +5)2+y 2-(x -5)2+y 2 =2，
化简整理，得点P 的轨迹方程C :x 2
-y 2
4
=1.
(2)设S x 1,y 1 ,T x 2,y 2 ，由对称性可知直线ST 的斜率存在，所以可设直线ST :y =mx +n ，联立直线ST 与曲线C 的方程，得
x 2-y 2
4=1
y =mx +n ，
消元整理，得4-m 2
x 2
-2mnx -n 2
+4 =0(m ≠±2)，
则Δ>0⇒4+n 2
-m 2
>0，①x 1+x 2=-2mn m 2-4,x 1x 2=n 2+4
m 2-4
②
所以AS :y =y 1
x 1-1
(x -1)，
令x =0，得点M 纵坐标t =-y 1
x 1-1，
同理可得点N 纵坐标4-t =-y 2
x 2-1
，故y 1x 1-1+y 2
x 2-1=-4，将y 1=mx 1+n ,y 2=mx 2+n 代入上式整理，
得(2m +4)x 1x 2+(n -m -4)x 1+x 2 +4-2n =0，
将②代入得m 2+2mn +n 2+2m +2n =0⇒(m +n )(m +n +2)=0，若m +n =0，则直线ST :y =m (x -1)，恒过A (1,0)不合题意；
若m +n +2=0，则ST :y =m (x -1)-2，恒过Q (1,-2)，
因为直线ST 恒过Q (1,-2)，且与C :x 2
-y 24
=1始终有两个交点，又A (1,0)，
AH ⊥ST ，垂足为H ，所以点H 轨迹是以AQ 为直径的圆(不含点A )，设AQ 中点为E ，则圆心E (1,-1)，半径为1，所以|OH |≤|OE |+1=2+1，当且仅当点H 在线段OE 上时，OH 取最大值2+1.
【题型二】新结构卷中19题“定义”型轨迹
1(2024·新疆乌鲁木齐·二模)在平面直角坐标系xOy 中，
重新定义两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 之间的“距离”为AB =x 2-x 1 +y 2-y 1 ，我们把到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 c >0 的“距离”之和为常数2a a >c 的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设c =1,a =2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C ,C 的左顶点为A ，过F 2作直线交C 于M ,N 两点，△AMN 的外心为Q ，求证：直线OQ 与MN 的斜率之积为定值．【答案】(1)x +c +x -c +2y =2a a >c >0 (2)答案见解析(3)证明见解析
【分析】(1)设“椭圆”上任意一点为P x ,y ，则PF 1 +PF 2 =2a ，再根据两点之间的“距离”得新定义即可得解；(2)将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围；
(3)先求出椭圆方程，设直线MN 的方程为x =my +1m ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立方程，利用韦达定
理求出y 1+y 2,y 1y 2，分别求出直线AM ,AN 的方程，设Q x 0,y 0 ，再次求出y 1,y 2的关系，进而求出y 0
x 0，从而
可得出结论.【详解】(1)设“椭圆”上任意一点为P x ,y ，则PF 1 +PF 2 =2a ，即x +c +y +x -c +y =2a ，即x +c +x -c +2y =2a a >c >0 ，
所以“椭圆”的方程为x +c +x -c +2y =2a a >c >0 ；(2)由方程x +c +x -c +2y =2a ，得2y =2a -x +c -x -c ，因为y ≥0，所以2a -x +c -x -c ≥0，即2a ≥x +c +x -c ，所以x ≤-c -x -c -x +c ≤2a 或-c <x <c
x +c -x +c ≤2a 或
x ≥c x +c +x -c ≤2a ，
解得-a ≤x ≤a ，由方程x +c +x -c +2y =2a ，得x +c +x -c =2a -2y ，
即2a -2y =-2x ,x ≤-c 2c ,-c <x <c 2x ,x ≥c
，所以2a -2y ≥2c ，所以c -a ≤y ≤a -c ，所以“椭圆”的范围为-a
≤x ≤a ，c -a ≤y ≤a -c ，
将点-x ,y 代入得，-x +c +-x -c +2y =2a ，即x +c +x -c +2y =2a ，方程不变，所以“椭圆”关于y 轴对称，
将点x ,-y 代入得，x +c +x -c +2-y =2a ，即x +c +x -c +2y =2a ，方程不变，所以“椭圆”关于x 轴对称，
将点-x ,-y 代入得，-x +c +-x -c +2
-y =2a ，即x +c +x -c +2y =2a ，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，
所以“椭圆”关于x 轴，y 轴，原点对称；
(3)由题意可设椭圆C 的方程为x 24+y 2b 2=1，将点1,1 代入得14+1
b
2
=1，解得b 2=
3
4
，所以椭圆C 的方程为x 2
4+3y 24
=1，F 21,0 ,A -2,0 ，由题意可设直线MN 的方程为x =my +
1m ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立x =my +1
x 24
+3y 24=1
，得m 2+3 y 2+2my -3=0，
Δ=4m 2+12m 2+3 =16m 2+36>0恒成立，则y 1+y 2=-
2m m 2+3,y 1y 2
=-3
m 2+3
，因为AM 的中点为
x 1-22,y 1
2 ,k AM =y 1x 1+2=y 1my 1+3，所以直线AM 的中垂线的方程为y =-my 1+3y 1
x -y 1，同理直线AN 的中垂线的方程为y =-my 2+3y 2x -y 2，设Q x 0,y 0 ，则y 1,y 2是方程y 0=-my +3
y x 0-y 的两根，
即y 1,y 2是方程y 2+mx 0+y 0 y +3x 0=0的两根，所以y 1+y 2=-mx 0+y 0 ,y 1y 2=3x 0，
又因y 1+y 2=-2m m 2+3,y 1y 2=-3m 2+3，所以-mx 0+y 0 =-2m m 2+3,3x 0=-3
m 2+3，
两式相比得-mx 0-y 03x 0=2m
3，所以y 0x 0=-3m ，所以k MN ⋅k OQ =y 0x 0⋅1m
=-3，
所以直线OQ 与MN 的斜率之积为定值-3．
2(2024·湖南·二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，
例如x =ty +1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处
的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆C 1:x 2+y 2=1是直线族mx +ny =1(m ,n ∈R )的包络曲线，求m ,n 满足的关系式；(2)若点P x 0,y 0 不在直线族：Ω:(2a -4)x +4y +(a -2)2=0(a ∈R )的任意一条直线上，求y 0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E ；
(3)在(2)的条件下，过曲线E 上A ,B 两点作曲线E 的切线l 1,l 2，其交点为P .已知点C 0,1 ，若A ,B ,C 三点不共线，探究∠PCA =∠PCB 是否成立？请说明理由.
【答案】(1)m 2+n 2
=1(2)y 0>x 204,y =x 24
(3)成立，理由见解析
【分析】
(1)根据包络曲线的定义利用直线和圆相切即可得m 2+n 2=1；
(2)易知方程2a -4 x 0+4y 0+(a -2)2
=0无解，根据判别式可得y 0>x 2
04
，证明可得直线族Ω的包络曲线
E 为y =x 2
4
；
(3)法一：求出A ,B 两点处曲线E 的切线l 1,l 2的方程，解得P x 1+x 22,x 1x
24
，根据平面向量夹角的表达式
即可得CA ⋅CP CA ⋅ CP =CB ⋅CP
CB ⋅ CP
，
即∠PCA =∠PCB ；法二：过A ,B 分别作准线的垂线AA ,BB ，连接A P ,B P ，由导数求得切线斜率并利用抛物线定义和三角形内角关系即可证明∠PCA =∠PCB .
【详解】(1)由定义可知，mx +ny =1与x 2+y 2=1相切，则圆C 1的圆心0,0 到直线mx +ny =1的距离等于1，
则d =
1
m 2+n
2
=1，m 2+n 2=1.(2)点P x 0,y 0 不在直线族Ω:2a -4 x +4y +(a -2)2=0a ∈R 的任意一条直线上，所以无论a 取何值时，2a -4 x 0+4y 0+(a -2)2=0无解.将2a -4 x 0+4y 0+(a -2)2
=0整理成关于a
的一元二次方程，
即a 2
+2x 0-4 a +4+4y 0-4x 0 =0.若该方程无解，则Δ=2x 0-4 2
-44+4y 0-4x 0 <0，即y 0>x 2
04
.
证明：在y =x 24上任取一点Q x 1,x 21
4
,y =x 24在该点处的切线斜率为k =x 12
，
于是可以得到y =x 24在Q x 1,x 21
4
点处的切线方程为：y =x 12x -x 214
，即-2x 1x +4y +x 21=0.今直线族Ω:2a -4 x +4y +(a -2)2=0中2a -4=-2x 1，则直线为-2x 1x +4y +x 21=0，所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意a ∈R ,2a -4 x +4y +(a -2)2
=0都是抛物线在点2-a ,(2-a )24
处的切线.
所以直线族Ω的包络曲线E 为y =x 2
4
.
(3)法一：已知C 0,1 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则CA =x 1,y 1-1 ,CB =x 2,y 2-1 ，CA =x 21
4
+1,CB =
x 22
4
+
1；由(2)知y =x 2
4在点A x 1,y 1 处的切线方程为y =x 12x -x 214
；
同理y =x 2
4在点B x 2,y 2 处的切线方程为y =x 22x -x 2
2
4；联立y =x 12x -x 2
1
4
y =x 22x -x 224
可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，所以CP =x 1+x 22,x 1x 24-1 .因此CA ⋅CP =x 1⋅x 1+x 22 +x 1x 24-1 x 214-1
=x 21
4+x 1x 24+x 81x 216
+1=x 2
14+1
x 1x 24
+1 ，
同理CB ⋅CP =x 22
4+1
x 1x 24+1 .所以CA ⋅CP CA ⋅ CP
=
x 214
+1
x 1x
24+1
CP x 2
1
4+1
=x 1x 24
+1
CP ，CB ⋅CP CB ⋅ CP
=
x 22
4
+1
x 1x
24+1
CP x 2
2
4+1
=x 1x 24
+1
CP
，即CA ⋅CP CA ⋅ CP =CB ⋅CP
CB ⋅ CP
，
可得cos ∠PCA =cos ∠PCB ，所以∠PCA =∠PCB 成立.
法二：过A ,B 分别作准线的垂线AA ,BB ，连接A P ,B P ，如图所示：
则A x A ,-1 ，因为k PA =y |x =x A
=
x A 2,k A
C =-1-1x A =-2x A
，显然k BA ⋅k A
C =-1.又由抛物线定义得AA =AC ，故PA 为线段A C 的中垂线，得到PA =PC ，即∠PA A =∠PCA .同理可知∠PB B =∠PCB ,PB =PC ，所以PA =PC =PB ，即∠PA B =∠PB A .则∠PA A =∠PA B +90°=∠PB A +90°=∠PB B .所以∠PCA =∠PCB 成立.
3(2024·全国·模拟预测)已知复平面上的点Z 对应的复数z 满足z 2 -z 2-9 =7，设点Z 的运动轨迹为W ．点 O 对应的数是0．
(1)证明W 是一个双曲线并求其离心率e ；
(2)设W 的右焦点为 F 1 ，其长半轴长为L ，点Z 到直线x =
L
e
的距离为d (点Z 在W 的右支上)，证明：ZF 1 =ed ；
(3)设W 的两条渐近线分别为 l 1，l 2 ，过Z 分别作 l 1，l 2 的平行线l 3，l 4分别交l 2，l 1于点 P ，Q ，则平行四边形OPZQ 的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；离心率为32
4
；(2)证明见解析；(3)平行四边形OPQZ 的面积为定值2.
【分析】(1)设复数z =a +bi a ,b ∈R ，由z 2 -z 2-9 =7化简得到a 2
8
-b 2=1判断，并求离心率；
(2)由(1)得到L =22，e =324，F 1c ,0 =3,0 ，从而直线x =L e =8
3
，设z =a +bi a ,b ∈R ,a >0 ，
由d =a -8
3
和复数的模求解证明；
(3)由(1)得到W 的两条渐近线l 1：y =24x ，l 2：y =-2
4
x ，不妨设z =a +bi a ,b ∈R ,a >0 ，得到l 3：y
=24x -a +b ，l 4：y =-24
x -a +b ．联立l 2和l 3，
求得点P ，易知直线OZ ：bx -ay =0，求得点P 到直线OZ 的距离，再由S △OPZ =1
2
·d ·OZ 求解.
【详解】(1)设复数z =a +bi a ,b ∈R ，则z 2 -z 2-9 =a 2+b 2 -a 2-b 2-9 2+4a 2b 2=7�
a 2
-b 2
-9 2
+4a 2b 2=a 2
+b 2
-7
两边平方得a 2
-b 2
-9 2
+4a 2b 2
=a 2
+b 2 2
+49-14a 2
+b 2
�a 2
-8b 2
=8�a 28
-b 2=1
所以W 是一个焦点在实轴上，顶点为±22,0 ，渐近线为y =±2
4
x 的双曲线．
其离心率e =22 2+12
22
=32
4.
(2)由(1)的计算得L =22，e =324，F 1c ,0 =3,0 ，则直线x =L e =8
3，设z =a +
bi a ,b ∈R ,a >0 ，则d =a -83 =a -83，ed =324a -83 =324a -22，ZF 1 =a -3 2+b 2
由a 28-b 2=1得b 2=a 28
-1，代入得ZF 1 =a -3 2+b 2=a -3 2+a 28-1=98a 2-6a +8=
324a -22 2=324a -22=ed 所以ZF 1 =ed ，原式得证．
(3)由(1)得W 的两条渐近线l 1：y =24x ，l 2：y =-2
4
x ，由对称性，不妨设z =a +bi a ,b ∈R ,a >0 ，
则k l 3
=k l 1
=2
4
，
所以l 3：y =24x -a +b ，同理得l 4：y =-2
4x -a +b ．联立l 2和l 3：
y =-24x
y =24x -a +b
，得P a 2-2b ，b 2-2
8a
，。