江苏省吴江高二下学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省吴江高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．已知函数()y f x =的定义域为(,)a b ，导函数()y f x '=在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()y f x =在(,)a b 内的极大值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【分析】根据导函数的图象判断导数零点两侧的符号（先正后负），即可求解. 【详解】根据导数的图象，可知导数有4个零点，从左向右分析，
第一个零点与第四个零点左侧为正右侧为负，所以函数()f x 先增后减，故第一个零点与第四个零点处函数()f x 有极大值，第二个零点左侧为负右侧为正，故函数()f x 先减后增，第二个零点处函数()f x 有极小值，第三个零点两侧，导数值同为正，故该点不是极值点， 故选：B
2．已知函数()2
ln f x x a x =+的图象在(1，f （1）)处的切线经过坐标原点，则函数y =f (x )
的最小值为（ ） A ．
11
ln 222
- B ．
1
ln 24
+ C ．
11ln 222
+ D ．1
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义求出1a =-，从而可得()2
ln f x x x =-，求出导函数，
利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值. 【详解】函数()2
ln f x x a x =+，则()2
n 11l 11f a =+=
且()2a
f x x x
'=+
，所以()12f a '=+，
所以()()10
11210
f f a -'=
==+-，解得1a =-，
所以()2
ln f x x x =-，（0x >）
()1
2f x x x
'=-
，
令()0f x '≥，即1
20x x -
≥，解得2x ≥，
令()0f x '<，即1
20x x -
<，解得02
x <<，
所以函数在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎣⎭
上单调递增.
所以()2
min 111ln ln ln 22222222f x f ⎛⎫⎛⎫==-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：C
3．若函数2
()x x f x e
=的极大值点与极大值分别为a ，b ，则（ ）
A ．a b ab <<
B ．a ab b <<
C ．b ab a <<
D ．ab b a <<
【答案】C
【分析】对函数求导得(2)()x x x f x e '
⋅-=，从而求出24
2,a b e
==，比较三个数的大
小，即可得到答案； 【详解】
()
22
2(2)
()x x
x
x x e x e x x f x e e '
⋅-⋅⋅-=
=
， ∴()00f x x '=⇒=或2x =，
()002f x x '>⇒<<，()00f x x '<⇒<或2x >，
∴()f x 在(0,2)单调递增，在(,0),(2,)-∞+∞单调递减， ∴2x =为极大值点，且24
(2)f e
=
， ∴242,a b e ==，∴2248
2,,a b ab e e
===，
∴b ab a <<，
故选：C.
4．设函数()ln e x f x e x +⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，则()f x 是（ ）
A ．奇函数，且在()0,e 上是增函数
B ．奇函数，且在()0,e 上是减函数
C ．偶函数，且在()0,e 上是增函数
D ．偶函数，且在()0,e 上是减函数 【答案】A
【分析】求出()f x 的定义域，判断其奇偶性；利用导数判断单调性即可. 【详解】()ln e x f x e x +⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
的定义域为(),e e - 而()()ln e x f x f x e x -⎛⎫
-==-
⎪+⎝⎭
,所以()f x 为奇函数； 在()0,e 上，()()()ln ln ln e x f x e x e x e x +⎛⎫==+-- ⎪-⎝⎭
，
因为()ln y e x =+在(),e e -上为增函数()ln y e x =-在(),e e -上为减函数， 所以()f x 在(),e e -上是增函数 故选：A.
【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：()()f x f x =-或()()f x f x =-； （2）函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用． 5．已知函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，其导函数是()'f x .有
()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则关于x ()2cos 6x f x π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
的解集为
（ ） A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．,63ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
D ．,26ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
【答案】B 【分析】令()()cos f x F x x
=
，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x
=
在
,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为
()6cos cos 6
f f x x ππ
⎛⎫ ⎪
⎝⎭<，结合单调性和定义域，
即可求解.
【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<， 令()()cos f x F x x
=
，则()()()2
'cos sin '0cos f x x f x x
F x x
+=
< 函数()()
cos f x F x x
=
是定义域,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，
由于cos 0x >，关于x
()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6
f f x x ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭<，
即()6F x F π⎛⎫
<
⎪
⎝⎭
，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，
()2cos 6x f x π⎛⎫
< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：B
【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.
6．某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲､乙､丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ） A ．24种 B ．16种
C ．18种
D ．20种
【答案】C
【分析】讨论甲是第2名、第3名、第4名三种情况，结合条件，分别求出对应的情况，即可得出结果.
【详解】由题意可得，第1名不可能是甲､乙､丙，只能是丁或戊；第5名不可能是甲乙，只能是丙或丁或戊；因此可分如下三种情况：
若甲是第2名，先考虑乙，则有1
2C 种情况，再考虑丙，则有1
2C 种情况，最后排丁､戊，则有22A 种情况，即此时所包含的情况有：112
2228C C A =种；
若甲是第3名，当乙是第4名时，丙只能是第5名，只需考虑丁､戊的排列，此时有2
2
A 种情况；当乙是第2名时，丙可以有1
2C 种选择，最后排丁､戊，则有2
2A 种情况；此时包含的情况共有2
1
2
2226A C A +=种；
若甲是第4名，则丙是第5名，而乙有1
2C 种选择，最后排丁､戊，则有2
2A 种情况，；此时所包含的情况有1
2
224C A =；
综上，从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有86418++=种. 故选：C.
【点睛】思路点睛：
求解排列组合的应用题时，一般需要结合题中条件，根据特殊元素优先考虑、相邻问题捆绑处理、不相邻问题插空处理等，即可求解. 7．已知10
2
1001210(1)(2)(2)(2)x a a x a x a x +=+++++++，则8a =（ ）
A ．10-
B ．10
C ．45-
D ．45
【答案】D 【分析】由于
()
()()()()1010
210
01210112222x x a a x a x a x +=-+=+++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦，求出
()10
12x -+⎡⎤⎣⎦的通项，从而可求出8a 的值
【详解】()()()()()10
10
210
01210112222x x a a x a x a x +=-+=+++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦
()1102r
r
r T C x +=-+⎡⎤⎣⎦
，()8808
1145a C =-=. 故选：D
8．埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为
1428572285714,1428573428571,1428574571428⨯=⨯=⨯=，…，所以这组数
字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：
142857999,428571999,285714999+=+=+=，…，若从这组神秘数字中任选3
个数字构成一个三位数x ，剩下的三个数字构成另一个三位数y ，999x y +=，将所有可能的三位数x 按从小到大依次排序，则第12个三位数x 为（ ） A ．214 B ．215 C ．248 D ．284
【答案】C
【分析】观察，将数字分成三组，每组取一个数字可构成符合条件的x ，由此分析求解即可.
【详解】∵1,4,7,2,8,5,这六个数中，1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3组
要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，剩下的三个数字构成另一个三位数y ，且999x y +=，
所以x 从小到大排列为：124,125,142,147,152,157,174,175,214,215,241,248,，
故第12个三位数x 为248. 故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于将这6个数分为1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3组，进而利用列举法求解.
9．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ） A ．()4
216
4
4
A
A
A +
B ．22344
646
4
42
2
C C C A A A + C ．3
422464
644C A C C A +
D ．31122144
63264244322
322
C C C C C C A A A A A + 【答案】B
【分析】根据题意，分2类来安排: ①在6本书中选出3本视作一个整体连同剩余的3本,分配给4人，②6本选出2本，剩余4本再选出2本，分别视作2个元素连同剩余的2本书，分配给4人，由分类加法计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给
4个人，共有34
64C A 种分法，
第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余
2本，视作4本书分配给4个人，共有22
4
6442
2
C C A A ， 由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为22344
646
4
42
2
C C C A A A +， 故选：B
【点睛】关键点点睛：分组分配问题中注意平均分堆问题，6本书取出2本，2本，1
本，1本时，需要注意共有22
642
2
C C A 种分法，然后分别分给4个人，共有224
64422C C A A 种分法，属于中档题.
二、多选题
10．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A ．在()1,2上函数()f x 为增函数
B ．在()3,5上函数()f x 为增函数
C ．在()1,3上函数()f x 有极大值
D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的
极小值点 【答案】AC
【分析】根据图象判断出()f x 的单调区间、极值（点）. 【详解】由图象可知()f x 在区间()1,2和()4,5上()'
0f
x >，()f x 递增；在区间
()2,4上()'0f x <，()f x 递减.
所以A 选项正确，B 选项错误.
在区间()1,3上，()f x 有极大值为()2f ，C 选项正确. 在区间[]1,5上，4x =是()f x 的极小值点，D 选项错误. 故选：AC
11．定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'f x 满足()()f x f x '>，则下列不等关系正
确的是（ ）
A ．
(2)(1)ef f -<- B ．(ln 2)2(0)f f > C ．(1)(2)ef f > D ．13 22ef f ⎛⎫
⎛⎫< ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】ABD
【分析】构造函数()
()x f x F x e
=
，利用导数研究函数的单调性，即可得到答案； 【详解】令()()x f x F x e =，则()
''2()()()()()0x x x x f x e f x e f x f x F x e e ⋅-⋅-==>'， '()()0f x f x ->，∴()0F x '>在R 上恒成立，
∴()F x 在R 上单调递增，
对A ，21(2)(1)
21(2)(1)(2)(1)f f F F e f f e e
-----<-⇒-<-⇒<⇒⋅-<-，故A 正确；
对B ，0ln 2(0)(ln 2)
0ln 2(0)(ln 2)(ln 2)2(0)f f F F f f e e <⇒<⇒<⇒>，故B 正确； 对C ，12(1)(2)
12(1)(2)(1)(2)f f F F e f f e e
<⇒<⇒<⇒⋅<，故C 错误；
对D ，
1
3
22
13()()
13131322()()()()22
2222
f f F F ef f e e <⇒<⇒<⇒<，故D 正确； 故选：ABD.
【点睛】利用导数研究抽象函数的单调性，构造怎样的函数是本题求解的难点.
12．已知2n
x ⎛
+ ⎝
的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（ ）
A ．二项展开式中各项二项式系数之和为62
B ．二项展开式中二项式系数最大的项为3
2160x C ．二项展开式中无常数项
D ．二项展开式中系数最大的项为390x 【答案】AB
【分析】令1x =，可利用各项系数和构造方程求得6n =，由此得到展开式通项公式； 由二项式系数和为2n 知A 正确；
由通项公式可知当3r =时，二项式系数最大，由此确定所求项，知B 正确；
令
12302
r
-=，可知第5项为常数项，知C 错误； 结合通项公式可得展开式，由此可确定系数最大的项，知D 错误.
【详解】令1x =，则2n
x
⎛+ ⎝
二项展开式系数和为3729n
=，解得：6n =；
2n x
⎛∴+ ⎝展开式的通项公式为()12366216622r
r
r r r r r T C x C x ---+==； 对于A ，由6n =知其二项式系数和为0166
6662C C C ++⋅⋅⋅+=，A 正确；
对于B ，当3r =时，二项式系数最大，则所求项为33322
6
8160C x x =，B 正确；
对于C ，令
12302
r
-=，解得：4r =，则展开式第5项为常数项，C 错误； 对于D ，分别令0,1,2,3,4,5,6r =，可得展开式为
936
3
2
2
64192240160x x x x ++++332
6012x
x -
-++，由此可确定系数最大的项为
3240x ，D 错误.
故选：AB.
【点睛】结论点睛：二项展开式的二项式系数和为0
1
2n
n
n n n C C C ++⋅⋅⋅+=；对于求解二项展开式系数和有关的问题时，常采用赋值法来构造方程来求解.
三、填空题
13．已知函数3()ln f x x x =+与3()g x x ax =-的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1
[,)e
-+∞
【分析】将问题转化为方程()()f x g x =--，即33ln x x x ax +=-在()0,+∞上有解求解，然后根据导数的几何意义并结合两函数的图象的相对位置可得所求范围． 【详解】函数()3
ln f x x x =+与()3
g x x ax =-的图像上存在关于原点对称的对称点，
∴方程()()f x g x =--，即33ln x x x ax +=-在()0,+∞上有解， ∴方程ln x ax =-在()0,+∞有解．
设ln y x =，y ax =-，且y ax =-为ln y x =的切线，
设切点为()00,x y ， 由ln y x =得1y x
'=
， 则有00
01a x ax lnx ⎧-=⎪
⎨⎪-=⎩，解得01x e a e =⎧⎪⎨-=⎪⎩．
由图象可得，要使直线y ax =-和ln y x =的图象有公共点，
则1
a e -≤，解得1a e
≥-．
所以实数a 的取值范围是1
,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
．
故答案为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
．
【点睛】解得本题的关键有两个：一是将两函数图象上有对称点的问题转化为方程有解的问题处理；二是解题时要利用数形结合的方法，以提高解题的直观性．考查导数几何意义及变换思想的运用，具有综合性和难度． 14．在()
()
()
2389012389112,m
n
x x a a x a x a x a x a x m n *++=++++++∈N 的展开
式中，若932a =，则8a =___________. 【答案】208
【分析】分别计算出(1)m x +和(12)n x +的展开式中含x 的最高次项的系数相乘可得n ，结合已知展开式中x 的最高次为9，可得m ；先计算4(1)x +的展开式中含3x 的项和
5(12)x +的展开式中含5x 的系数，再计算4(1)x +的展开式中含4x 的项和5(12)x +的展
开式中含4x 的项的系数可得8a .
【详解】(1)m x +的展开式中含x 的最高次项为m m
m C x ，
(12)n x +的展开式中含x 的最高次项为C (2)n n
n x ，
所以(1)(12)m n x x ++展开式中含x 的最高次项为C (2)2n n m m n m n
n m x C x x +=，
所以9322n
a ==，解得5n =，
由已知得展开式中x 的最高次为9，所以9m n +=，4m =；
4(1)x +的展开式中含3x 的项为334C x ，5(12)x +的展开式中含5x 的项为5
55
C (2)x ， 所以45553
128C 2C ⨯=，
4(1)x +的展开式中含4x 的项为444
C x ，5(12)x +的展开式中含4x 的项为445C (2)x ， 所以4454
4280C C ⨯=，
所以8208a =. 故答案为： 208.
【点睛】关键点点睛：利用展开式的最高次项的系数及幂指数可求出,n m ，这是解题的关键，再根据二项展开式分别求4(1)x +的展开式中含3x 的项3
34C x ，5
(12)x +的展开
式中含5x 的项及4(1)x +的展开式中含4x 的项为，5
(12)x +的展开式中含4x 的项，即
可求解，属于中档题.
15．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深9cm ，上口宽6cm ，水以320cm /s 的流量倒入杯中，当水深为3cm 时，水升高的瞬时变化率为___________.
【答案】
20
cm /s π
【分析】利用体积公式计算得到13
540t h π⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，再求出水深为3cm ，对应的时间为0t 的
大小，最后利用导数可求瞬时变化率.
【详解】由题意，设t 时刻水面高为h ，水面圆半径为r , 则39
r h =可得 1,3r h =
此时水的体积为
23
1327
r h h ππ⨯⨯⨯= 又由题设条件知，此时的水量为20t 故有320,27t h π
=
故有1
3
540t h π⎛⎫= ⎪⎝⎭
2
3
15405403t h ππ
-⎛⎫'=⨯⨯ ⎪
⎝⎭ 当水深为3cm ，对应的时间为0t ，则020
t π
=
2
3
5401540203t t
h πππ-
=⎛
⎫⨯ ⎪=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
'20π= 所以当水深为3 cm 时，水升高的瞬时变化率为20
cm /s π
故答案为：
20
cm /s π
【点睛】关键点点睛：首先根据题意得出杯中水的高度h 与时间t 的函数关系是解题的关键，其次利用导数求在水深为3 cm 时对应t 的导数，属于中档题.
四、双空题
16．若函数()f x 的导函数()'f x 存在导数，记()'f x 的导数为()f x ''．如果对∀x ∈(a ，b )，都有()0f x ''<，则()f x 有如下性质：
1212()()()
(
)n
n x x x f x f x f x f n
n
++
+++
+≥
，其中n N *∈，1x ，2x ，
…，n x ∈(a ，b )．若()sin f x x =，则()f x
''＝_______；在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为_______． 【答案】sin x -
【分析】构造函数()sin f x x =，(0,)x π∈，求导，则()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立，根据函数的性质sin sin sin 3sin()3
A B C
A B C ++++，即可求得sin sin sin A B C ++的最大值．
【详解】解：设()sin f x x =，(0,)x π∈，则()cos f x x '=，则()sin f x x ''=-，(0,)x π∈， ()f x 有如下性质：1212()()()
(
)
n
n x x x f x f x f x f n n
++⋯+++⋯+．
则sin sin sin 3sin(
)3sin 33A B C A B C π++++=⨯=，
sin sin sin A B C ∴++的最大值为
2
，
故答案为：sin x -，
2
． 【点睛】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．
五、解答题
17．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”.
问题：已知二项式(13)n x +，若___________(填写条件前的序号)， （1）求展开式中系数最大的项； （2）求5(13)(1)n x x +-中含2x 项的系数. 【答案】（1）5
61458T x =（2）55
【分析】当选条件①时，由题意列式求得n =6，当选条件②时，由前3项的二项式系数和为22求得n =6.
(1)把n =6代入(13)n x +，设展开式中系数最大的项为第1r +项，由二项展开式的通项建立不等式组得答案;
(2)把n =6代入5(13)(1)n x x +-，由第一个因式的常数项乘以第二个因式含2x 项的系数，由第二个因式的常数项乘以第一个因式含2x 项的系数，第一个因式含有x 项的系数乘以第二个因式含有x 项的系数，作和得答案.
【详解】若选条件①时，令1x =，可得展开式所有项的系数和为4n ，而二项式系数和为2n ，
所以42642
n
n n ==，解得6n =，
若选条件②时，由前3项的二项式系数和为22可得012
22n n n C C C ++=，解得6n =.
（1）设展开式中系数最大的项为第1r +项，则满足11
6611
663333
r r r r r r r r C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 即1361
31
7r r r r
⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩，解得172144r ≤≤，又06,r r N ≤≤∈, 所以=5r ，
即展开式中系数最大的项为55
656(3)1458T C x x =⋅=， （2）在565(13)(1)(13)(1)n x x x x +-=+-中，含2x 项的系数为
22211566533(1)55C C C C +⨯+⨯⨯⨯-=.
【点睛】关键点点睛：根据二项式定理的通项公式，二项式系数的性质，项的系数化简求值是解题的关键，多项式中求指定项的系数需要根据多项式的乘法及通项公式处理，属于中档题.
18．用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答) （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 【答案】（1）156（2）108（3）284
【分析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数；
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数与个位数字是5的四位数，分类计数再求它们的和；
（3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为四类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比2大的数，第三类是前两位是12，第三位比2大的数，第四类是前三位是123，第四位比3大的数，分类计数再求和． 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有3
5A 个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有1
4A 种），十位和百位从余下
的数字中选（有2
4A 种），于是有12
44A A ⋅个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有12
44A A ⋅个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：312125
4444156A A A A A +⋅+⋅=个． （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有3
5A 个；个位数上的数
字是5的五位数有1244A A ⋅个．故满足条件的五位数的个数共有312
5
44108A A A +⋅=个． （3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共13
45A A ⋅个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有12
34A A ⋅个； 第三类：形如124□，125□，共有11
23A A ⋅个； 第四类：形如123□，共有1
2A 个
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有：
13121114542332284A A A A A A A ⋅+⋅+=+⋅个．
【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解所研究的事件，对计数问题分类计数，本题考查了分类讨论的思想，以及运用排列组合数公式进行计算的能力，本题是计数问题中运算量较大的题，要注意准确运用分类原理与分步原理计数. 19．已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且
2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-
（1）求123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的值； （2）求(20)20f -被6整除的余数. 【答案】（1）2（2）5
【分析】(1)由题意利用二项式系数的性质，求得n 的值，再分别令x =1, x =2，可得要求式子的值.
(2)把9(361)20+-按照二项式定理展开，可得它除以6的余数.
【详解】（1）因为()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为2512n =， 所以9n =， 故9()(23)f x x =-.
[]2012(23)12(1)(1)(1)(1),n
n n n x x a a x a x a x -=-+-=+-+-+
+-
令1x =，可得9
0(213)1a =⨯-=-，
令2x =，可得01231n a a a a a ++++⋯+=， 即12311n a a a a -++++⋯+=，
1232n a a a a +++⋯+=∴.
（2）
9(20)20(403)20(361)20n f -=--=+-
091827288999999936361361361120C C C C C =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋯+⨯+⨯-
显然，展开式除了最后2项外，其余各项都能被6整除, 故展开式被6整出的余数，即912019-=-被6整除的余数为5. 20．已知()ln b x
f x ax x c
=+
-. （1）当1
1,1,2
a b c ===
时，求()f x 在[1,2]上的最大值； （2）当1,1,b c a R =-=∈时，讨论()f x 的单调性. 【答案】（1）最大值为2ln 2-；（2）答案见解析.
【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，再计算端点值，即可判断；
（2）首先求出函数的导函数22
1()ax x f x x
-+'=，再对参数a 及∆分类讨论，分别计算可得；
【详解】解：（1）当11,1,2a b c ===
时，1
()ln 2f x x x x
=+- 222
121
()1,122x x f x x x x x --'=--=<<
由()0f x '<，得1x <<
，当()0f x '>时解得122
x +<<，
所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在12⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以最大值在端点处取得，5
(1)2ln 2,(2)2ln 22
f f =-=
-
又1
(1)(2)ln 2ln 202
f f -=-
=->
所以()f x 在[]1,2上的最大值为2ln 2-. （2）当1,1b c =-=时，1
()ln f x ax x x
=-
- 222
111
(),0ax x f x a x x x x
-+'=+-=> ①当0a =时()0f x '>，得01,()0x f x '<<<，得1x > ()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.
②当0a <时，140a ∆=->，
方程210ax x -+=的两根为121122x x a a
-+=
=且21
0x x <<
所以()0f x '>，得10,()0x x f x '<<<，得1x x > 即()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减. ③当0a >时，14a ∆=-
ⅰ.当140a ∆=-≤，即1
4a ≥时，()0,()f x f x '>在(0,)+∞上单调递增. ⅱ.140a ∆=->，即1
04
a <<时
方程210ax x -+=的两根为12x x =
=且12
0x x <<
所以()0f x '>，得10x x <<或2x x >，所以()0f x '<，得12x x x << 即()f x 在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减 综上：
当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；
当0a <时，()f x 在10,
2a ⎛- ⎝⎭
上单调递增，在12a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；
当1
04a <<时，()f x 在,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在
⎝⎭
上单调递减；
当1
4
a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上单调递增 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 21．已知函数()(3)x f x x e =-. （1）求()f x 过(1,0)-的切线方程；
（2）若()()ln g x f x x x -+'=在1,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为λ，求证：
346()7e f e λ---<<-.
【答案】（1）y ex e =--；（2）证明见解析；
【分析】（1）设切点为00(,)x y ，求出切线的斜率，再代入切线方程；
（2）()()ln (2)ln x g x f x x x x e x x ='-+=--+，1[4x ∈，1]．1()(1)()x
g x x e x
'=--．由
函数1()x
h x e x
=-
在1[4x ∈，1]上单调递增，可得函数()h x 在1
[4x ∈，1]上存在唯一零
点0x ，并且01
(2
x ∈，1)，001x e x =（可得00ln )x x =-．可得函数()g x 取得极大值即最
大值0()g x λ=，进而得出结论． 【详解】解：（1）设切点为00(,)x y ，
()3x x f x xe e =-．()(2)x f x x e ∴'=-，000()(2)x k f x x e ='=-，
∴切线方程为0000003()2()()x x x y x e e x e x x --=--，
切线过点(1,0)-，∴0000003()02)()(1x x x
x e e x e x --=---，解得：01x =，
∴切线方程为y ex e =--；
（2）证明：()()ln (2)ln x g x f x x x x e x x ='-+=--+，1
[4
x ∈，1]．
11()(1)1(1)()x x g x x e x e x x
'=--+
=--． 1
[4
x ∈，1]，10x ∴-．
函数1()x
h x e x
=-
在1
[4x ∈，1]上单调递增，
又1
()202
h =<，h （1）10e =->，
因此函数()h x 在1[4x ∈，1]上存在唯一零点0x ，并且01
(2
x ∈，1)，00
1
x e x =
（可得00ln )x x =-．
当()01,,0,4x x g x ⎡⎤⎥'∈>⎢⎣⎦
当()()0,1,0x x g x ∈'<
0x x ∴=时，函数()g x 取得极大值即最大值0
0000()(2)ln x g x x e x x λ==--+
000000
11
(2)12()(4x x x x x x =-⨯
--=-+∈-，3)-． 而函数()f x 在(4,3)λ∈--上单调递减． (3)()(4)f f f λ∴-<<-，
而3(3)6f e --=-，4(4)7f e --=-，
346()7e f e λ--∴-<<-．
【点睛】本题考查利用导数的几何意义、函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，求解时注意在点的切线与过点的切线是不一样的. 22．已知函数()ax f x xe =(其中e 为自然对数的底数). （1）求函数()f x 的极值；
（2）当1a =时，若()ln 1f x x bx --恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）a =0时，无极值；0a ≠时，极小值为1
e a
-
，无极大值；（2）1b ≤ 【分析】（1）由()ax f x xe =得()(1)ax f x ax e '=+,当()(1)0ax f x ax e '=+=,得1x a
=-,即可求得函数()f x 的极值.
（2）由题意有1ln x xe x bx -≥+恒成立,即ln 1
x x b e x x
≤-
-恒成立, 设ln 1()e x
x g x x x =--,则2222
1ln 1ln ()x x
x x e x g x e x x x
-+'=-+=, 求得()g x 的最小值,即可求得实数b 的取值范围.
【详解】（1）由()ax f x xe =得()(1)ax f x ax e '=+, 当0a =时，()f x 无极值； 当0a ≠时，令()(1)0ax f x ax e '=+=,得1
x a
=-, 当1x a <-
时()0f x '<,当1
x a
>-时()0f x '>, 函数()f x 在1,a ⎛
⎫-∞-
⎪⎝
⎭上单调递减;函数()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
单调递增.
∴ 函数()f x 存在极小值.其极小值为11e f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
,无极大值.
（2）由题意有1ln x xe x bx -≥+恒成立,即ln 1
x
x b e x x
≤-
-恒成立, 设ln 1
()e x
x g x x x
=-
-, 则2222
1ln 1ln ()x x
x x e x
g x e x x x
-+'=-+=, 设2()ln x h x x e x =+,下面证明()0h x =有唯一解.
易知()h x 单调递增,且(1)0h e =>,所以若()h x 有零点x ,则01x <<,
令()0h x =,可得ln x
x
xe x
=-
,(01)x <<（※） 注意到ln (ln )x
f x x
-
=-, 所以方程（※）等价于()(ln )(01)f x f x x =-<<, 又由（1）可知,当1a =时,()f x 在(0,)+∞上单调递增, 又当01x <<时,ln (0,)x -∈+∞,
所以方程()(ln )f x f x =-等价于方程ln (01)x x x =-<<, 设函数()ln (01)m x x x x =+<<,则()m x 单调递增, 又1110m e e ⎛⎫=
-< ⎪⎝⎭,(1)10m =>,所以存在01,1x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,使得 ()00m x =,即方程ln x x =-有唯一解0x ,即00
1e x
x =
, 因此方程()(ln )f x f x =-有唯一解0x , 所以()0h x =有唯一解0x .
且当()00,x x ∈时,()0h x <,()g x 单调递减; 当()0,x x ∈+∞时,()0h x >,()g x 单调递增; 所以()g x 的最小值为()()000000000
ln 111
1x
x x g x e x x x x x -=-
-=--=, 所以1b ≤.
【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导
数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
第 21 页共 21 页。