沪科版数学八年级下册全册教案(2021年春修订)

沪科版数学八年级下册全册教案设计
2021-1-24
第16章二次根式
16.1 二次根式
第1课时二次根式的概念及性质（1）
【知识与技能】
理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．
【过程与方法】
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
【情感态度】
通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.
【教学重点】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念的理解.
【教学难点】
利用“（a≥0）”解决具体问题.
一、创设情境，提出问题
1.用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3 的正方形的边长为，面积为S 的正方形的边长为 .
问：（1）中式子你是怎么得到的？得到的两个式子有什么不同？
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为 m.
问：（2）中得到的式子有什么意义？
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则 .
【教学说明】
由数字到字母，逐步渗透二次根式的概念，使学生对二次根式的由来有一个初步的印象.
2.（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？ 5
h 表示的数怎样变化？ 【教学说明】
让学生自主选择数字代入求值，一方面感知二次根式的计算，另一方面对二次根式有意义的条件有一个具体的认识.
二、合作探究，探索新知
1.上面问题中，得到的结果分别是：
（1）这些式子分别表示什么意义？
（2）这些式子有什么共同特征？
答：（1）分别表示3，S ，65 的算术平方根．
（2）这些式子的共同特征是:都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.
【教学说明】让学生观察思考后回答，使学生掌握二次根式的本质含义.
2.根据你的理解，请写出二次根式的定义.
把形如 ,用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式.
【教学说明】用具体的例子来归纳二次根式的定义，便于学生理解掌握.
3.二次根式：一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”
称为二次根号.
二次根式→被开方数a ≥0；根指数为2.
【教学说明】教师及时归纳总结，形成相应的数学知识.
三、示例讲解，掌握新知
例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
【分析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“
”；第二，被开
方数是正数或0.
解：二次根式有：；
不是二次根式的有：.
【教学说明】教师强调要根据二次根式的定义进行判断,注意二次根式的特征.
例2 当x 是多少时，13-x 在实数范围内有意义？
【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义.
解：由3x-1≥0，得：x ≥3
1 当x ≥3
1时，13-x 在实数范围内有意义. 【教学说明】教师强调二次根式有意义的条件是被开方数要大于或等于0，然后根据这一条件列出相应的不等式.
3.小结：请比较a 和0 的大小
分类讨论思想
当a ＞0 时, 表示a 的算术平方根，因此a ＞0；当a =0 时， 表示0 的算术平方根，因此a =0； 这就是说，a （a ≥0）是一个非负数.具有双重非负性
【教学说明】教师引导学生进行总结，掌握二次根式的双重非负性.
四、练习反馈，巩固提高
1.下列各式中，是二次根式的为 .
2.当x 为何值时，下列各式有意义？
【教学说明】第1题是对二次根式定义的理解;第2题是对二次根式有意义条件的理解,第3题是对二次根式计算的应用.教师要求学生独立完成，以便于学生及时进行反馈.
五、师生互动，课堂小结
（1）本节课你学到了哪一类新的式子？
（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 中的a≥0.
（4）双重非负性
二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式.
【教学说明】让学生总结归纳，形成知识体系，更进一步掌握本节课知识.
完成同步练习册中本课时的练习.
本节课主要学习二次根式的定义和二次根式有意义的条件，以及它们的简单应用.在教学中，要与前面所学习的算数平方根紧密相连，从一个非负数的算数平方根入手，使学生逐步掌握二次根式的定义和二次根式成立的条件，关键是要学生理解为什么二次根式的被开方数是一个非负数，以及怎样应用它的非负性解决简单的问题.这里要注意除了满足被开方数为非负数以外，还要注意分母不能为0.
第2课时二次根式的概念及性质（2）
【知识与技能】
（a=a（a≥0）,2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.
理解2）
【过程与方法】
通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题. 【情感态度】
通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.
【教学重点】
（a=a（a≥0）和2a=a（a≥0），及其运用.
a（a≥0）是一个非负数；2）
【教学难点】
用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出2a
=a（a≥0）.
一、复习提问，导入新课
（学生活动）口答：
1.什么叫二次根式？
2.当a≥0时，a叫什么？当a＜0时，a有意义吗？
【教学说明】通过复习，让学生回顾二次根式的定义和有意义的条件，为本节课的学习奠定基础.
二、合作探究，探索新知
1.问题1 做一做：根据算术平方根的意义填空：
老师点评4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4.
【教学说明】这些计算，可以让学生去尝试完成，然后教师引导学生进行总结，发现规律.
【教学说明】教师及时进行总结，并用含字母的式子表示，便于学生理解和记忆.
3.问题2 （学生活动）填空：
老师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
4.小结：因此，一般地：2a =a（a≥0）
【教学说明】让学生先进行相应的计算探究，然后让学生仿照前一个探究进行总结，教师及时予以补充和强调，最后用含有字母的式子进行总结.这里要特别强调a≥0这一条件.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算
【分析】我们可以直接利用2）（a =a （a ≥0）的结论解题.
【教学说明】 这是对第一个探究的应用，可以让学生自主完成，以加深学生的印象.
例2 化简
【分析】因为（1）9=32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）去化简.
【教学说明】 这是对第二个探究的应用，相对要难一些，可以让学生先自主完成，对于出现的问题教师有针对性的进行讲解，尤其是第（2）、（4）题学生理解起来有一定的困难，教师可以在讲解后，再出1~2题相应的训练及时巩固.
四、练习反馈，巩固提高 1.23-）（= .
2.已知1 x 有意义，那么这个式子是一个 数.
3.计算
4.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3）6
1 （4）x （x ≥0） 5.已知21-++-x y x =0，求x y 的值.
【答案】1.3 2.非负数
【教学说明】 第1题、第3题是对性质的直接应用，考察学生对性质的掌握情况，第2题和第5题是对二次根式的双重非负性的应用，学生应该掌握相应的解题方法，第4题是对性质的反向应用，培养学生的逆向思维能力.
五、师生互动，课堂小结
（1）你知道了二次根式的哪些性质？
（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？
（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？
（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识.
【教学说明】 通过回顾本节课知识，查漏补缺，形成相应的知识体系和解题方法.
完成同步练习册中本课时的练习.
（a=a（a≥0）, 2a=a（a≥0）并利用它进本节课重点是学习如何理解2）
行计算和化简，难点是通过对具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．在教学中重点要引导学生对2a的结果进行分类讨论，并总结规律得出2a=|a|，然后分三种情况进行讨论，指出2a不能直接等于a.
16.2 二次根式的运算 1.二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
【知识与技能】
理解b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =b a ·（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简 【过程与方法】
由具体数据发现规律，导出b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab =b a ·（a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简. 【情感态度】
通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】
b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =b a ·（a ≥0，b ≥0）及它们的运用.
【教学难点】
发现规律，导出b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0）.
一、复习提问，导入新课
1.对于二次根式a 中的被开方数a ，我们有什么规定？
2.当a ≥0 时，2
）（a 等于多少？
3.当 a ≥0 时，2a 等于多少？
【教学说明】 通过对二次根式的性质的复习，为本节课的学习奠定知识基础.
二、合作探究，探索新知
1.请同学们完成下列各题.
参考上面的结果，用“＞、＜或＝”填空.
【教学说明】这些计算比较简单，可以让学生自主完成，然后引导学生进行总结.
2.利用计算器计算填空
【教学说明】使用计算器进行计算，对上面探究的规律进行验证，使它更具有说服力.
3.老师点评：（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.
一般地，对二次根式的乘法规定为
b
a·＝ab（a≥0，b≥0），
a·（a≥0，b≥0）
反过来：ab=b
【教学说明】教师在学生总结的基础上进行归纳，形成相应的知识点，并
用含有字母的式子表示出来.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算：
a·＝ab（a≥0，b≥0）计算即可.
【分析】直接利用b
a·（a≥0，b≥0）直接化简即可.
【分析】利用ab=b
【教学说明】在讲解例题时，可以只讲解其中一个，然后让学生尝试仿照完成剩下的计算，教师及时发现学生存在的问题，予以纠正.这里要重点强调解题的格式和对法则的应用.
四、练习反馈，巩固提高
4.自由落体的公式为S=
2
1gt 2
（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是 .
5.一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？
6.探究过程：观察下列各式及其验证过程.
【教学说明】 学生独立完成，及时进行反馈，便于教师掌握学生的掌握情况.第1题要注意a 为负数，第6题要注意寻找规律. 五、师生互动，课堂小结
本节课应掌握：（1）b a ·＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =b a ·（a ≥0，b ≥0）及其运用.
【教学说明】 教师引导学生对本节课所学知识进行总结，再用简洁的式子进行归纳，使学生掌握的更牢固.
完成同步练习册中本课时的练习.
1.在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用二次根式的几个具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.
2.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养.
3.要反复强调利用二次根式乘法法则进行计算时，要注意二次根式中被开方数的取值范围.
4.适当加强练习，使学生较好地理解二次根式的意义，较好地掌握二次根式的性质和运算，为后续的学习打下良好的基础.
第2课时 二次根式的除法
【知识与技能】
1.理解b a b a =（a ≥0，b ＞0）和b
a
b a =（a ≥0，b ＞0）及利用它们进行运算.
2.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
【过程与方法】
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简. 【情感态度】
通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 【教学重点】
理解
b a b a =（a ≥0，b ＞0），b
a b a =（a ≥0，b ＞0）及利用它们进行计算和化简. 【教学难点】
发现规律，归纳出二次根式的除法法则和对最简二次根式的理解.
一、复习提问，导入新课
请同学们完成下列各题：
1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.
2.填空
3.通过以上计算，你能得出什么规律？
【教学说明】 通过具体的计算，让学生感知二次根式除法法则的具体来源，然后让学生总结发现的规律. 二、合作探究，探索新知
1.教师引导学生总结：一般地，对二次根式的除法规定：
b a
b a =（a ≥0，b ＞0）， 反过来，
b
a
b a =
（a ≥0，b ＞0） 【教学说明】 教师及时总结二次根式除法的法则，并引导学生对法则进行逆向应用，加深对法则的理解.
2.请同学们完成下列各题
3.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
小结：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 【教学说明】 先让学生进行化简计算，然后再让学生观察计算的结果.这
里，学生可能说的不是很完整，教师及时予以补充，最后教师再将探究的结果进行归纳总结，学生做好笔记，形成概念. 三、示例讲解，掌握新知
【教学说明】 例1是对具体的数进行计算，可以让学生先自主完成，然后教师再针对发现的问题进行讲解.
例2 化简：
【分析】直接利用
b
a
b a
（a ≥0，b ＞0）就可以达到化简的目的.
【教学说明】 例2涉及到含有字母的式子进行化简，对于学生来说有一定的难度，教师可以先示范讲解（1）和（2），适当总结应该注意的问题，然后让学生自主完成（3）（4），最后再进行强调，加深学生的印象，提高学生对法则应用的熟练性.
四、练习反馈，巩固提高
1.如果
y
x
（y ＞0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）.
2.把
1
1
1---a a ）（中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）.
【教学说明】 让学生独立完成，对于第2、5、6题，学生理解有一定的困难，教师可以适当引导学生考虑a 的取值范围，再进行化简. 五、师生互动，课堂小结
1.
b a b a =（a ≥0，b ＞0）和b
a
b a =（a ≥0，b ＞0）及其运用. 2.最简二次根式有何特征？
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
完成同步练习册中本课时的练习.
本节内容是在前一节二次根式的学习基础上，在熟练计算积的算术平方根的情况下，学习商的算术平方根的性质，同时为分母有理化作准备.所以在教学中更应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质在此，过程中给予适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.要注意二次根式乘除法的计算公式的逆用.乘法公式的逆用就是用来使“被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从而保证了结果是最简二次根式.
2.二次根式的加减
第1课时二次根式的加减
【知识与技能】
理解和掌握二次根式加减的方法.
【过程与方法】
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.
【情感态度】
通过本节的学习培养学生准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.
【教学重点】
二次根式加减运算.
【教学难点】
会熟练进行二次根式的加减运算.
一、复习问题，导入新课
学生活动：计算下列各式.
（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；
（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3.
【教师点评】上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
【教学说明】通过对同类项的复习，为本节课同类二次根式的学习提供思路.
二、合作探究，探索新知
1.问题1 现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
问：能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示吗？能否进一步计算？这是一种什么运算？能进一步计算，这种计算是两个二次根式的加法运算.
【教学说明】 通过对具体问题的探究，引起学生的探究兴趣，同时引导学生思考如何进行计算.
2.问题2 怎样计算188+ 如果看不出能否化简，我们不妨把问题简化，先看算式223-能否化简. 223-＝（3－1）2＝22.
这里的两个二次根式有什么特征？被开方数相同，即为同类二次根式. 你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？
将同类二次根式用分配律合并
【教学说明】 类比于合并同类项，逐步引导学生探究二次根式加减的运算方法和步骤.
3.算式188+与算式223-有什么相同点与不同点？ 请化简算式188+，并说出每一步化简的理由.
能否把这种计算方法推广到一般？
【教学说明】通过对比，引导学生进行探究，逐步掌握相关步骤.
4.请计算3212-，并说出计算依据.
【教学说明】 让学生自主完成，并进行思考和总结.
5.请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想.
步骤：“一化简、二判断、三合并”；
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则；
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
【教学说明】 教师根据学生的回答进行总结和强调，学生做好笔记.
三、示例讲解，掌握新知
例1 计算
【分析】第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
【教学说明】 例1比较简单，可以让学生自主对照步骤进行计算，教师再根据学生出现的问题进行强调.
例2 计算
【教学说明】 例2（1）稍微复杂些，教师可以引导学生完成，然后让学生自主完成（2），重点强调化简的步骤.
四、练习反馈，巩固提高
1.以下二次根式：①12；②22；③
3
2；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）
A.①和②
B.②和③
C.①和④
D.③和④
【教学说明】1、2两题主要要掌握最简二次根式的特征和化简方法，3、
4、5主要是计算，要注意计算的步骤.
五、师生互动，课堂小结
（1）二次根式的加减运算分哪几步进行？每一个步骤的依据是什么？
（2）在二次根式的加减中，主要的想法是怎样的？
（3）在二次根式加减中，有哪些地方容易出现错误？
【教学说明】教师引导学生对本节课的重点知识进行回顾，重点强调二次根式加减的步骤以及每一步要注意什么，加深学生的印象，形成计算方法.
完成同步练习册中本课时的练习.
本节课先复习合并同类项、整式的加减，为学习二次根式的加减做好准备.通过具体的实际问题，引出二次根式的加减问题，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望.在解决实际问题时，根据所得到的式子，需要先对二次根式进行化简，化简为最简二次根式后仿照合并同类项的方式，合并同类二次根式.然后借助详细的探究再与学生共同总结出“二次根式的加减”的具体步骤和注意问题：①化成最简二次根式；②找出同类二次根式；③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并.
通过本节课的教学，应该注意以下问题：1.将二次根式化简为最简二次根式是这节课的关键一步，不化简为最简二次根式，合并同类二次根式、二次根式的加减就无从谈起，因此这一环节应多下一些功夫，多用些时间. 2.在讲授例题时应仿照合并同类项的方法进行，学生更容易接受一些，以免显得太突然. 3.对易出错的地方应重点强调，再三强调，如：“二次根式的系数是带分数的要写成假分数的形式”，真正做到让每一名学生都清楚这一要求.
第2课时二次根式的混合运算
【知识与技能】
会进行二次根式的混合运算.
【过程与方法】
通过对二次根式的加减乘除的混合运算，提高学生综合解题的能力.
【情感态度】
通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力.
【教学重点】
会进行二次根式的混合运算.
【教学难点】
二次根式混合运算的顺序的确定和运算的准确性.
一、复习问题，导入新课
【教学说明】让学生自主完成，检验计算的掌握情况.
2.在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么是完全平方式?分别用式子表示出来.
答：单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为
m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc
多项式与多项式相乘的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每项，再把所得的积相加.用式子表示为
(a＋b)(m＋n)=am＋an＋bm＋bn,其中a,b,m,n都是单项式.
完全平方式是(a+b)2=a2+b2+2ab;(a-b)2=a2+b2-2ab.
【教学说明】通过对相关的运算律的回顾，为后面的运用奠定基础.
3.在实数范围内，整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用，运用乘法法则及乘法公式可以进行二次根式的混合运算.
【教学说明】教师引导学生回答整式的运算律在二次根式的运算中同样适用.
二、示例讲解，掌握新知
例1 计算:
【分析】刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.
【教学说明】学生初次在二次根式的计算中使用运算律，还不太习惯，教师可以适当引导学生先观察式子的特征，确定可以使用什么运算律进行计算，然后再尝试运用.还要注意比较使用运算律后是否便于计算.
例2 计算
【分析】刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运
算中仍然成立.
【教学说明】 让学生先观察，再进行计算，注意计算的结果要进行化简，能合并的一定要合并.（2）可以使用平方差公式进行计算，这里可以将使用公式和不使用公式相比较，体会使用公式计算的简便性.同时对使用公式要注意的问题进行强调.
三、练习反馈，巩固提高
1.（-21+2
3）2的计算结果（用最简根式表示）是 . 2.（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是 .
3.若x=2-1，则x 2+2x+1= .
4.已知a=3+22，b=3-22，则a 2b-ab 2= .
5.化简21
15141075++++.
【答案】1.1-2
3 2.43-2
4 3.2 4.42
【教学说明】第1、2、3题要注意完全平方公式的使用，第4、5两题可以先分解因式，再进行化简比较简单.第6题比较复杂，教师可适当进行引导.
四、师生互动，课堂小结
1.进行二次根式的混合运算应该注意哪些问题？
（1）注意理清运算的顺序，（2）结果化为最简二次根式，（3）正确进行每一步的运算
2.可以利用运算律进行运算
完成同步练习册中本课时的练习.
二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用.学习二次根式的混合运算应注意以下几点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先
算括号里面的． (2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． (3)整式和分式的运算法则对于二次根式同样适用. (4)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍. (5)运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果最终结果是二次根式要化为最简二次根式.。