巩固练习_函数的极值与最值_基础1

【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极大值
B ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极小值
C ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极值
D ．当)(0x f 为函数f(x)的极值时，则有0)('0=x f 2．函数1
()f x x x
=+
在x=1时有（ ） A ．极小值 B ．极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．极值不存
3．函数f （x ）＝2 x 3－12 x 2＋3在区间[－1，2]上的最大、最小值的情况是（ ）．
A ．最大值为3，最小值为－29
B ．最大值为3，最小值为－61
C ．最大值为－29，最小值为－61
D ．以上答案都不对
4．下列结论正确的是（ ）
A ．若x 0是()f x 在[a ，b]上的极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值
B ．若x 0是()f x 在（a ，b ）上的极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最小值
C ．若x 0是()f x 在[a ，b]上唯一极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值
D ．若x 0是()f x 在（a ，b ）上的极大值点，且()f x 在（a ，b ）上无极小值，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值
5．设a ＜b ，函数y=(x ―a)2(x ―b)的图象可能是（ ）
6．设a ∈R ，若函数y=e ax +3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）
A ．a ＞－3
B ．a ＜－3
C ．13a >-
D ．13
a <- 7．已知函数y=―x 2―2x+3在区间[a ，2]上的最大值为
15
4
，则a 等于（ ）
A ．32-
B ．12
C ．12-
D ．12或32
- 二、填空题
8．函数y=xe x 的最小值为________。

9．若函数2()1
x a
f x x +=+在x=1处取得极值，则a=________。

10．函数3
()12f x x x =-在区间[―3，3]上的最小值是________。

11．设函数3
()31(R)f x ax x x =-+∈，若对于任意x ∈[－1，1]，都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为________。

三、解答题
12．求下列函数的极值：
（1）49623
-+-=x x x y ； （2）2
4
2x x y +-=。

13．求函数()sin 2f x x x =-，,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦的最值。

14．a 为常数，求函数3
()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值。

15．（2010年安徽高考题）设a 为实数，函数()22x
f x e x a =-+，x ∈R 。

（1）求()f x 的单调区间与极值；
（2）求证：当ln 21a >-且x ＞0时，221x e x ax >-+。

【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】由定义可知A 、B 、C 均错，故选D 。

2．【答案】A
【解析】 222
11'1x y x x -=-=。

0＜x ＜1，y ＇＜0，x ＞1，y ＇＞0，故x=1时有极小值。

3. 【答案】A
【解析】f ′(x )＝6 x 2－24 x ，令f ′(x )＝0得
x 1＝0，x 2＝4
x 2＝4∉[－1，2]，舍去．
4．【答案】D
【解析】 若()f x 在（a ，b ）上只有一个极值且为极大值0()f x 时，则在[a ，b]上0()
f x
为最大值。

5．【答案】C
【解析】 y ＇=(x ―a)(3x ―2b ―a)，由y ＇=0得x=a ， 23
b a
x +=
，∴当x=a 时，y 取极大值0，当23
a b
x +=
时，y 取极小值且极小值为负。

故选C 。

或当x ＜b 时，y ＜0，当x ＞b 时，y ＞0，选C 。

6．【答案】B
【解析】 '()3ax
f x ae =+，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即'()30ax
f x ae
=+=
有正根。

当'()30ax f x ae
=+=成立时，
显然有a ＜0，此时13ln x a a ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
， 由x ＞0，得3
01a
<-
<，所以参数a 的范围为a ＜－3。

7【答案】C
【解析】'()22f x x =--。

令'()0f x =，得x=－1。

当a ≤―1时，最大值为4，不合题意；
当―1＜a ＜2时，()f x 在[a ，2]上是减函数，()f a 最大，215234
a a --+=
，12a =-，3
2a =-（舍）。

8． 【答案】1
e
-
【解析】 ∵'(1)x
x
y e xe ex x =+=+，
∴当x ＞―1时，y ＇＞0，当x ＜―1时，y ＇＜0。

∴x=－1时，min 1y e
=-。

9． 【答案】 3
【解析】 222(1)()'()(1)x x x a f x x +-+=+， 3'(1)034
a
f a -==⇒=。

10．【答案】－16
【解析】 由2
'()1230f x x =-=，解得x=±2。

∵3(3)12(3)(3)9f -=⨯---=-，
3(2)12(2)(2)16f -=⨯---=-，
3(2)122216f =⨯-=， 3(3)12339f =⨯-=，
∴()f x 的最小值为―16。

11．【答案】4
【解析】 若x=0，则不论a 取何值，()0f x ≥显然成立；
当x ＞0，且x ∈[－1，1]，即x ∈（0，1]时，3
()310f x ax x =-+≥可化为2
331
a x x
≥-， 设2331()g x x x =
-，则4
3(12)
'()x g x x
-=。

所以，()g x 在区间10,2⎛
⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减。

因此，max 1()42g x g ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，从而a ≥4； 当x ＜0且x ∈[－1，1]，即x ∈[―1，0）时，
3()310f x ax x =-+≥可化为23
31
a x x ≤
-， ()g x 在区间[―1，0）上单调递增，因此min ()(1)4g x g =-=，从而a ≤4，综上可知a=4。

12．【解析】
（1）0)1(==f y 极大值，4)3(-==f y 极小值。

（2）提示：)1)(1(444'3
+--=+-=x x x x x y 。

令y ′=0，得11-=x ，02=x ，13=x ，当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：
由上表可知：
1)1()1(==-=f f y 极大值，0)0(==f y 极小值。

13. 【解析】
'()2cos 21f x x =-，
令'()0f x =，得1cos 22x =
，又,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，
∴2x ∈[－π，π]。

∴23
x π
=±
，即6
x π
=±。

∴函数()f x 在,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的两个极值分别为
626f ππ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，626f ππ⎛⎫
-=-+ ⎪⎝⎭。

又()f x 在区间端点的取值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22
f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

比较以上函数值可得max ()2
f x π
=，min ()2
f x π
=-。

14．【解析】
22'()333()f x x a x a =-+=--。

若a ≤0，则'()0f x <，x ∈[0，1]，函数()f x 单调递减。

∴当x=0时，有最大值(0)0f =，
若a ＞0，则令'()0f x =，解得x =
∵x ∈[0，1]，则只考虑x =
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表所示：
（1）01<
<，即0＜a ＜1，当x =()f x 有最大值2f =
（21≥，即a ≥1，当x=1时，()f x 有最大值(1)31f a =-。

综上，当a ≤0，x=0时，()f x 有最大值0；
当0＜a ＜1，x =
()f x 有最大值2
当a ≥1，x=1时，()f x 有最大值3a ―1。

15．【解析】
（1）由()22x f x e x a =-+，x ∈R 知'()2x
f x e =-，x ∈R 。

令'()0f x =，得ln 2x =。

于是当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
故()f x 的单调递减区间是（－∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），()f x 在x=ln2处取得极小值，极小值为ln 2
(ln 2)2ln 222(1ln 2)f e
a a =-+=-+。

（2）设2
()21x
g x e x ax =-+-，x ∈R 。

于是'()22x
g x e x a =-+，x ∈R 。

由（1）知当a ＞ln2―1时，'()g x 最小值为'(ln 2)2(1ln 2)0g a =-+>。

于是对于任意x ∈R ，都有'()0g x >，所以()g x 在R 内单调递增。

于是当a ＞ln2－1时，对任意x ∈（0，+∞），都有()(0)g x g >。

而(0)0g =，从而对任意x ∈（0，+∞），()0g x >。

即2210x e x ax -+->，故221x e x ax >-+。