高中数学 第一章 三角函数章末检测 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题

第一章 三角函数
章末检测(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
1．若点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ终边在第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三
D ．四
解析 由题意知⎩⎪⎨
⎪
⎧
sin θcos θ＜0，2cos θ＜0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＞0，
cos θ＜0，
故角θ终边在第二象限．
答案 B 2．已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝15
，那么cos α等于( )
A ．－25
B ．－1
5
C.15
D.25
解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝cos α＝15，∴cos α＝15. 答案 C
3．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( )
A.5π6
B.2π
3 C.11π6 D.5π3
解析 因为sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32，
所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限．又因为tan α＝cos
5π
6sin
5π6＝－3＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2π－π3＝
tan 5π3，所以角α的最小正值为5π
3
.故选D.
答案 D
4．已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是第________象限角( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四
解析 ∵tan x >0，∴x 是第一或第三象限角． 又∵sin x ＋cos x >0，∴x 是第一象限角． 答案 A
5．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图像如图，那么ω等于( )
A ．1
B ．2
C.12
D.13
解析 由题图像知2T ＝2π，T ＝π，∴2π
ω
＝π，ω＝2.
答案 B
6．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2
B ．2k π－π
2(k ∈Z )
C ．k π(k ∈Z )
D ．k π＋π
2
(k ∈Z )
解析 若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π
2(k ∈Z )．
答案 D
7．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π
7，则( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
解析 ∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π
7.
2π7－π4＝8π28－7π
28
>0.
∴π4<2π7<π2
. 又α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2时，sin α>cos α. ∴a ＝sin 2π7>cos 2π
7
＝b .
又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan 2π7>sin 2π
7＝a .
∴c >a .∴c >a >b . 答案 D
8．如图，2弧度的圆心所对的弦长为2，这个圆心角所对应的扇形面积是( )
A.
1sin 1B.2sin 2 1 C.
1
cos 2
1
D ．tan 1
答案 B
9．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π5
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 解析 函数y ＝sin x
y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍
纵坐标不变
y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π10. 答案 C
10．函数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的部分图像大致为( )
解析 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，故排除A ，C ，当x →＋∞时，y →1＋x ，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D. 答案 D
11．设函数f (x )＝sin(2x ＋π
3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图像关于直线x ＝
π
3
对称 B ．f (x )的图像关于点(π
4
，0)对称
C ．把f (x )的图像向左平移π
12个单位，得到一个偶函数的图像
D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π
6]上为增函数
解析 当x ＝π3时，2x ＋π
3＝π，f (x )＝sin π＝0，
不合题意，A 不正确； 当x ＝π4时，2x ＋π3＝5π
6
，
f (x )＝sin
5π6＝1
2
，B 不正确； 把f (x )的图像向左平移π
12
个单位，
得到函数f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π
2)＝cos 2x ，是偶函数，C 正确；
当x ＝π12时，f (π12)＝sin π
2＝1，
当x ＝π6时，f (π6)＝sin 2π3＝3
2
<1，
在[0，π
6]上f (x )不是增函数，D 不正确．
答案 C
12．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)图像的一条对称轴在区间(π6，π
3)内，则满足此条件的
一个φ值为( ) A.π12B.π
6 C.π3D.5π6
解析 令2x ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，
解得x ＝
k π2＋π4
－φ
2
(k ∈Z )， 因为函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π2)图像的一条对称轴在区间(π6，π3)内，所以令π6<k π
2＋
π4－φ2<π3(k ∈Z )，解得k π－π6<φ<k π＋π
6(k ∈Z )， 四个选项中只有A 符合，故选A. 答案 A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．点P (－1,2)在角α的终边上，则tan αcos 2
α
＝________. 解析 由点P (－1,2)在角α的终边上得：sin α＝255，cos α＝－5
5，tan α＝－2，
所以tan α
cos 2
α＝－10. 答案 －10
14．函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的对称中心为________． 解析 由2x －π6＝12π＋k π(k ∈Z )得x ＝13π＋k π2(k ∈Z )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋
1的对称中心为⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋k π2，1，k ∈Z .
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋k π2，1，k ∈Z
15．函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－1
2
|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．
解 因为f (x )＝12(sin x ＋cos x )－1
2|sin x －cos x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin x ，sin x ＜cos x ，cos x ，sin x ≥cos x ，
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z
cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π，k ∈Z
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z
时，f (x )∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
－1，
22，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π，k ∈Z 时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，综上f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 答案 ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，
22 16．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.则ω＝________，φ＝________. 解析 由题意可得函数f (x )的最小正周期为π，所以
2π
ω
＝π，所以ω＝2，
再根据图像关于直线x ＝π3对称，可得2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，结合－π2≤φ＜π
2，可
得φ＝－π
6.
答案 2 －π
6
三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17．(10分)已知tan α＝1
2，求下列式子的值．
(1)4sin α－cos αsin α＋cos α;
(2)sin 2
α－2sin α·cos α.
解 (1)原式＝4tan α－1tan α＋1＝4×12－112
＋1＝2
3
.
(2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
α－2tan α
tan 2
α＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×1
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋1
＝－35.
18．(12分)(1)化简：
f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋32πsin －α＋πcos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2cos －α－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2tan α＋π;
(2)求值：tan 675°＋sin(－330°)＋cos 960°. 解 (1)f (α)＝－cos α·sin α·－sin α
－cos α·sin α·tan α
＝－sin αtan α
＝－cos α. (2)原式＝tan(675°－4×180°)＋sin(－330°＋360°)＋cos(960°－3×360°) ＝tan(－45°)＋sin 30°＋cos(－120°) ＝－tan 45°＋sin 30°－cos 60° ＝－1＋12－1
2
＝－1.
19．(12分)(1)设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝2
4
x ，求sin α与tan α的值；
(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ. 解 (1)∵r ＝x 2
＋5，∴cos α＝
x
x 2＋5
， 从而
24x ＝x
x 2＋5
， 解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°， ∴x ＜0，因此x ＝－ 3.
故r ＝22，sin α＝522
＝10
4，
tan α＝5－3＝－15
3.
(2)∵θ的终边过点(x ，－1)， ∴tan θ＝－1
x
，
又tan θ＝－x ，∴x 2
＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－
22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－
22，cos θ＝－2
2
. 20．(12分)如图是正弦函数y 1＝A sin(ωx ＋φ)，|φ|<π
2
的一个周期的图像．
(1)写出y 1的解析式；
(2)若y 2与y 1的图像关于直线x ＝2对称，求y 2的解析式； (3)不作图像，试说明y 2怎样由y ＝sin x 变换得到．
解 (1)由图像可知：A ＝2，T ＝2×[3－(－1)]＝8，ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.将点(－1,0)代入得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ，∴－π4＋φ＝2k π，φ＝2k π＋π4.又∵|φ|<π2，
∴φ＝π4，∴y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
x ＋π4.
(2)设y 2图像上任意一点的坐标为(x ，y 2)，则其关于直线x ＝2对称的点的坐标为(4－x ，y 2)，由题意易知(4－x ，y 2)在y 1的图像上，故y 2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π44－x ＋π4＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π4x －π4.
(3)方法一 先平移再伸缩．
方法二 先伸缩再平移．
y ＝sin π4
x ――→向右平移1个单位长度
y ＝sin ⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π4x －1＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x －π4
――→纵坐标变为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4x －π4.
21．(12分)示波器上显示的曲线是正弦曲线，如图记录到两个坐标M (2，4)和P (6,0)，并且知道一个是最高点，你能写出该曲线的解析式吗？若又知道M 、P 是曲线上相邻的最高点和平衡位置，所得的解析式是什么？
解 设此正弦曲线的解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，依题意，得A ＝4，将(2,4)，(6,0)代入，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
4sin 2ω＋φ＝4，4sin
6ω＋φ＝0.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
2ω＋φ＝π2＋2k π，
6ω＋φ＝n π.
其中k ，n ∈Z .
∴ω＝14(n －2k )π－π8，φ＝π2＋2k π－12n π＋k π＋π4＝34π＋3k π－1
2n π.
∴y ＝4sin ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤14
n －2k π－π8x ＋34
π＋3k π－12
n π(n ，k ∈Z )．
∵M 、P 是相邻的最高点和平衡位置，由图像可知T 4＝6－2＝4，得T ＝16，ω＝π
8
，再将M (2,4)
代入得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即φ＝π4，从而知所求解析式为y ＝4sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，x ∈R .
22．(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R 的部分图像如
图所示．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式;
(2)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求y ＝f (x )的取值X 围． 解 (1)由图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π
2
，
所以T ＝2π，则ω＝1.
将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋φ＝1，
而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3
，
因此函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3.
(2)由于x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1
2，
所以f (x )的取值X 围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.。