高中数学人教版必修二(浙江专版)学案直线平面垂直的判定及其性质含答案

A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
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解析：选 D ①②不正确．
4.如图，α∩β＝l，点 A，C∈α，点 B∈β，且 BA⊥α，BC⊥β，那么
直线 l 与直线 AC 的关系是( )
A．异面
B．平行
C．垂直
D．不确定
解析：选 C ∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理 BC⊥l.又 BA∩BC＝B，∴l⊥
1BO.∵A
1O＝
A 2
1B，∴∠A1
BO＝30°.
(3)∵A1B⊥AB1，A B⊥B1C1， 1
∴A1B⊥平面 AB C D， 11
即 A1B 与平面 AB C D 所成的角的大小为 90°. 11
答案：(1)45° (2)30° (3)90°
层级一 学业水平达标 1．已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件
C．平面 OBC
D．平面 ABC
解析：选 C ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面 OBC，∴OA⊥平面 OBC.
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直
径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给
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PB⊂平面 PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A， ∴PB⊥平面 ANQ. 又 NQ⊂平面 ANQ，∴PB⊥NQ.
直线与平面所成角
[典例] 三棱锥 SABC 的所有棱长都相等且为 a，求 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值． [解] 如图，过 S 作 SO⊥平面 ABC 于点 O，连接 AO，BO，CO.则 SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥ CO. ∵SA＝SB＝SC＝a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO＝BO＝CO， ∴O 为△ABC 的外心． ∵△ABC 为正三角形， ∴O 为△ABC 的中心． ∵SO⊥平面 ABC， ∴∠SAO 即为 SA 与平面 ABC 所成的角．
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 (1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论．
[活学活用] 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任
意一点，AN⊥PM，N 为垂足． (1)求证：AN⊥平面 PBM. (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM⊥BM. 又 PA⊥平面 ABM，∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面 PAM. 又 AN⊂平面 PAM，∴BM⊥AN. 又 AN⊥PM，且 BM∩PM＝M， ∴AN⊥平面 PBM. (2)由(1)知 AN⊥平面 PBM，
即∠ABO＝60°.
6．已知直线 l，a，b，平面 α，若要得到结论 l⊥α，则需要在条件 a⊂α，b⊂α，l⊥
a，l⊥b 中另外添加的一个条件是________．
答案：a，b 相交
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7.如图所示，三棱锥 PABC 中，PA⊥平面 ABC，PA＝AB，则直线 PB 与平面 ABC 所成的角 等于________．
平面 ABC.∵AC⊂平面 ABC，∴l⊥AC.
5.如图所示，若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影 BO 的 2 倍，则 AB 与
平面 α 所成的角是( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
解析：选 A ∠ABO 即是斜线 AB 与平面 α 所成的角，
在 Rt△AOB 中，AB＝2BO，所以 cos∠ABO＝12，
答案：(1)× (2)√ (3)× 2．直线 l 与平面 α 内的两条直线都垂直，则直线 l 与平面 α 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．在平面 α 内
D．无法确定
解析：选 D 当平面 α 内的两条直线相交时，直线 l⊥平面 α，即 l 与 α 相交，当平面
α 内的两直线平行时，l⊂α 或 l∥α 或 l 与 α 垂直或 l 与 α 斜交．
定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互
相平行，不满足定理条件．故填①③④. 答案：①③④
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线面垂直的判定
[典例] 如图，在三棱锥 SABC 中，∠ABC＝90°，D 是 AC 的中 点，且 SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC. [证明] (1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点， 所以 SD⊥AC.在 Rt△ABC 中，AD＝BD， 由已知 SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以 SD⊥BD.又 AC∩BD＝D， 所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点， 所以 BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD. 又因为 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
解析：(1)∵PC⊥平面 ABC，AB，AC，BC⊂平面 ABC.
∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
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(2)∠BCA＝90°，即 BC⊥AC，又 BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AP. 答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
对直线与平面垂直的判定定理的理解
[典例] 下列说法正确的有________(填序号)． ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂 直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若 l 与平面 α 不垂直，则平面 α 内一定没有直线与 l 垂直． [解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面， 故①不正确． 由线面垂直的定义可得，故②正确． 因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确． 如图，l 与 α 不垂直，但 a⊂α，l⊥a，故④不正确． [答案] ②
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定
预习课本 P64～66， 思考并完成以下问题 1．直线与平面垂直的定义是怎样的？
2．直线与平面垂直的判定定理是什么？
3．直线与平面所成的角是怎样定义的？
4．直线与平面所成的角的范围是什么？
1．直线与平面垂直的定义
[新知初探]
(1)自然语言：如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互
23 3 在 Rt△SAO 中，SA＝a，AO＝3× 2 a＝ 3 a，
AO 3 ∴cos∠SAO＝SA＝ 3 ，
3 ∴SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为 3 .
求斜线与平面所成的角的步骤 (1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面 角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时 可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便 于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
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(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
[点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两 条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
3．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角． 如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． (2)当直线 AP 们所成的角是 0°. (4)线面角 θ 的范围：0°≤θ≤90°. [点睛] 把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点 P 的选取是任意的；②斜线在
(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平 面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
[活学活用]
1．若三条直线 OA，OB，OC 两两垂直，则直线 OA 垂直于( )
A．平面 OAB
B．平面 OAC
[活学活用] 在正方体 ABCDA B C D 中，
1111
(1)直线 A B 与平面 ABCD 所成的角的大小为________；
1
(2)直线 A1B 与平面 ABC D 所成的角的大小为________； 11
(3)直线 A1B 与平面 AB C D 所成的角的大小为________． 11 -5-
的角相等，此时两直线异面．故选 D.
3．下列四个命题中，正确的是( )
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；
④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．
相垂直，记作 l⊥α.直线 l 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 l 的垂面．直线与平面垂
直时，它们惟一的公共点 P 叫做垂足．
(2)图形语言：如图．
画直线 l 与平面 α 垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意 a⊂α，都有 l⊥a⇒l⊥α. [点睛] (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形． (2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示．
2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上皆有可能
解析：选 D 在正方体 ABCDA B1 C1 D1 中1 ，A A1，B B 与底面 ABCD 所成的角相等，此时两直 1
线平行；A1B1，B1C1 与底面 ABCD 所成的角相等，此时两直线相交；A B ，BC 与底面 ABCD 所成 11
解析：因为 PA⊥平面 ABC，所以斜线 PB 在平面 ABC 上的射影为 AB，所以∠PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成的角．在△PAB 中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线 PB 与 平面 ABC 所成的角等于 45°.
中，一定能推出 m⊥β 的是( ) A．α∥β，且 m⊂α
B．m∥n，且 n⊥β
C．m⊥n，且 n⊂β
D．m⊥n，且 n∥β
解析：选 B A 中，由 α∥β，且 m⊂α，知 m∥β；B 中，由 n⊥β，知 n 垂直于平面 β
内的任意直线，再由 m∥n，知 m 也垂直于 β 内的任意直线，所以 m⊥β，符合题意；C、D 中，m ⊂β 或 m∥β 或 m 与 β 相交，不符合题意，故选 B.
解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角，∠A BA＝45°. 1
(2)如图，连接 A1 D，设 A1 D∩AD1 ＝O，连接 BO，则易证1A D⊥平面 ABC D ，∴1A B 在平面AB1C D1 内的 11
1
射影为OB，A∴1B
与平面ABC
1D
1所成的角为∠A
3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC，△PAC 的边所在的
直线中： (1)与
PC 垂
直
的
直
线
有
________________________________________________________________________；
(2)与
AP 垂
直
的
直
线
有
________________________________________________________________________．
平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l 垂直于平面α，则l 与平面α 内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( ) (2)若 a∥b，a⊂α，l⊥α，则 l⊥b( ) (3)若 a⊥b，b⊥α，则 a∥α( )