2019高考数学全国一卷概率试题分析 (含解析)

2019全国一卷高考压轴题
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．
(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；
(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
解析：（1）首先根据题意，随机试验一轮试验共4个结果，我们用符号+-分别表示治愈和未治愈。

则
甲+乙+，甲+乙-，甲-乙+，甲-乙-。

p(X=−1)=p{甲−乙+}=(1-α)β
p(X=0)= P{甲+乙+}+P{甲−乙−}=αβ+(1−α)(1−β)
p(X=1)=p{甲+乙−}=α(1-β)
所以X的分布列为：
（2）当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。

假设四轮试验都是甲+乙—，则甲药比乙药多四只，认为甲药更有效。

此时甲药得分为4分，乙药得分为-4分，所以甲药、乙药在试验开始时都赋予4分。

(0,1,,8)
i
p i=表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00
p=表示四轮试验都是甲-乙+，乙药有效，
81
p=表示四轮试验都是甲+乙-，甲药有效。

(1)
a P X
==-，(0)
b P X
==，(1)
c P X
==．假设0.5
α=，0.8
β=．
所以p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1
可以描述为第i 步有三种走法，倒退，不动和前进，倒退的概率为a ，不动的概率为b ，后退的概率为c 。

这其实是概率论中著名的“直线的随机游走问题”。

从数列的角度分析，实质上是一个递推公式，则p i+1=5p i −4p i−1 (i) 证明：p i+1−p i p i −p i−1=4p i −4p i−1p i −p i−1=4
所以1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列
(ii) 数列1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =的通项公式为p i −p i−1=p 1×4i−1， 所以可以用叠加法求解：
p 2−p 1=p 1×4
p 3−p 2=p 1×42
﹍﹍﹍
p i −p i−1=p 1×4i−1
可得p i −p 1=p 1×(4+42+⋯+4i−1)=p 1×4×(1−4i−1)1−4
p i =4i −1p 1 81p =， 所以18341
p =- 则()()()()44433221101411.325 7
p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=
4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲
药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257
p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
另外设数列1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =的前n 项和为S n
S n =p n −p n−1+p n−1+p n−2+⋯+p 2−p 1+p 1=p n
=p 1×(1−4n )1−4=p 13
(4n −1) 81p =， 所以
18341
p =-。