高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题学业分层测评 苏教版选修23

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章计数原理 1.4 计数应用题学业分层测评苏教版选修2-3
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有________种．
【解析】分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26＝300种．
【答案】300
2．将4名教师分配到3所任教，每所至少1名教师，则不同的分配方案共有________种．
【解析】先把4名教师分成2,1,1三组，再分配到3所，共有C24A33＝36种分配方案．【答案】36
3．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
【解析】分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C23A24＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A34＝24种．故共有60种获奖情况．【答案】60
4．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________．
【解析】分两类：第一类，每个城市只能投资1个项目，共有A35种方案；第二类，有一个城市投资2个项目，共有C23·A15·A14种方案．由分类计数原理得共有A35＋C23A15A14＝120(种)方案．
【答案】120种
5．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数共________个. 【导学号：29440020】
【解析】分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，
若1与3不相邻，有A33·A33＝36(个)．
故共有72＋36＝108个．
【答案】108
6．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．
【解析】由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A37种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有C13A27种不同的站法．
因此不同的站法种数是A37＋C13A27＝336.
【答案】336
7．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有________种．
【解析】(1)若甲乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A22A14A44＝192种；
(2)若甲乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A22A14A44＝192种；
(3)若甲乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，
①若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A22A14A33＝192种；
②若丙安排在中间5天的其它3天，则丁有3种安排法，共有4×A22A13A13A33＝432种，
所有共有192＋192＋192＋432＝1 008种．
【答案】 1 008
8．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．
【解析】由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数；
(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在．
(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a ＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2；c＝1此时有2种有序数组．
(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，
则a＝3，即此种情况有1种有序数组．
(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a ＝3，c＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．综上可得共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．
【答案】 6
二、解答题
9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务，
(1)若每辆车上都需要人但最多安排男女各一名，有多少种安排方法？
(2)若男女各包2辆车，有多少种安排方法？
【解】(1)先将3名男同志安排到车上有A34种方法，在未安排男同志的那辆车安排女同志有C13种方法，还有2个女同志有A23种安排方法，故共有A34C13A23＝432种安排方法．
(2)男同志分2组有C23种方法，女同志分2组有C23种方法，将4组安排到4辆车上有A44种方法，故共有C23C23A44＝216种安排方法．
10．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，则有多少种不同的选法？
【解】设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有C39种选法．因是分步问题，所以有C33·C39种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有C23种选法，在C中选1人，有C15种选法，划右舷的人在B∪C中剩下的8个人中选3人，有C38种选法．因是分步问题，所以有C23·C15·C38种选法．类似地，第③类有C13·C25·C37种选法，第④类有C03·C35·C36种选法．故有C33·C39＋C23·C15·C38＋C13·C25·C37＋C03·C35·C36＝84＋840＋1 050＋200＝2 174种不同的选法．
能力提升]
1．如果一个三位正整数a1a2a3满足a1＜a2＜a3，则称这样的三位数为“好数”(如123,367,378)，那么三位数中所有“好数”的个数是________．(用数字作答) 【解析】由题意，在1,2，…，9这九个数字中任取3个，只能组成1个“好数”(0不能选，因为若选0，则0只能排在首位，此时已不是三位数)，故有好数C39＝84个．【答案】84个
2．今有2个红球，3个黄球，4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答). 【导学号：29440021】
【解析】法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，共有C29C37C44＝1 260种方法．法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，
先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有A99
A22A33A44
＝1 260种不同的方法．
【答案】 1 260
3．如图1­4­3，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．
图1­4­3
【解析】如图，构造三棱锥ABCD；四个顶点表示四个小岛，六
条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三
条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条
棱的不同取法有C36种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所以从六
条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C36－4＝16种．故不同的建桥方案共有16种．【答案】16
4．如图1­4­4所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：
(1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
图1­4­4
(2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？
【解】(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：
①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C46个四边形；
②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C36C16个四边形；
③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C26C26个四边形．
故满足条件的四边形共有N＝C46＋C36C16＋C26C26＝360(个)．
(2)类似于(1)可分三种情况讨论得三角形个数为C36＋C16C24＋C26C14＝116(个)．
其中含点C1的有C25＋C15C14＋C24＝36(个)．。