资料：格林公式及其应用

1、利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积 1） 星形线33cos ,sin x a t y a t ==。

解：()22422
4
620
3cos sin 12cos
cos L
S xdy a t tdt a
t t dt π
π
==
=-⎰⎰
⎰
223
5331216
6168a a πππ⎛⎫=-⨯=
⎪⎝⎭。

方法二、()2242224
0113sin cos 3sin cos 22L S ydx xdy a t t a t t dt π=-+=+⎰⎰
2
2
2
22222
2
2
3331cos 43sin cos sin 22
8
8
28
a a a t a t tdt tdt dt π
π
π
π
-==
=
=⎰
⎰
⎰
2） 22916144x y +=。

解：22
220
12cos 48cos 12L
S xdy tdt tdt π
π
π==
==⎰⎰
⎰。

2、计算()()L
x y dx x y dy +--⎰，其中L 为反时针绕椭圆22
221x y a b += 一周。

解：利用格林公式
原式22D
dxdy ab π=-=-⎰⎰
3、计算
()()3
2222cos 12sin 3xy
y x dx y x x y dy -+-+⎰，其中L 为抛物线22x y π=上由
点()0,0到,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
的一段弧。

解：设()()3
2
22,2cos ,,12sin 3P x y xy y x Q x y y x x y =-=-+
因为
262cos P Q xy y x y x
∂∂=-≡∂∂，所以此曲线积分与路劲无关， 原式1
2221
22
300312444y y dy y y y πππ⎛⎫⎡⎤=-+=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎰
4、计算3133xy
xy
L
ye x y dx xe x y dy ⎡⎤⎡⎤+-+++-+⎣⎦⎣⎦⎰，其中L 为椭圆22
221x y a b +=的正
向一周。

解：利用格林公式
原式()2222
22
2
2
11
3144xy
xy xy xy x y x y a
b a
b e
xye e xye dxdy dxdy ab π+≤+≤=
++--+=
=⎰⎰⎰⎰
4）
()()2
2
L
x y dx x y dy x y
+--+⎰
，其中L 为正向椭圆22
148
x y +=。

解：在L 的内部以原点为圆心以很小正数ε为半径作取正向的圆周C ，其参数方程为
cos sin x t y t εε=⎧⎨=⎩ ，t 从0到2π。

由于()222222P x xy y Q
y x
x y ∂--∂==∂∂+，利用格林公式有 原式()()()22
22
2
sin cos sin
cos sin cos C
x y dx x y dy t t t t t t dt x y
π
+--=
=
---++⎰
⎰
20
12dt π
π=
-=-⎰。

5、计算曲线积分()()[]⎰-+'=
L
dy x y x f ydx x f I πcos sin ，其中()x f '为连续函数L 是
沿圆周()()22
2
11ππ+=-+-y x
按逆时针方向由点()π2,2A 到点()0,0O 的弧段。

解：()()x y x f Q y x f P π-='=cos ,sin
()()π-'=∂∂'=∂∂y x f x
Q
y x f y
P
cos ,
cos t t
y t x OA ⎩⎨
⎧==π22:从0变到1
原式()()()[]⎰
⎰⎰-+'--=
O A
D
dy x y x f ydx x f dxdy ππcos sin
()
()()()
⎰-+'-+-=1
2242cos 222sin 2221dt t t t f t t f πππππππ
()[
]
4
2324222sin 24
2
4
22
4
21
224
2
πππππππππ-=+--=---
-
=t
t t f
6、计算
22
L
xdy ydx
x y
-+⎰
，其中L 为 1）圆周()()2
2
111x y -+-=（按反时针方向）； 2）闭曲线1x y +=（按反时针方向）。

A
y O
D
x
解：设()()22
22,,,y x
P x y Q x y x y x y
=-
=++，它们在()0,0处无定义。

()22222P y x Q
y x
x y ∂-∂==
∂∂+ 1）因为()0,0不在圆周内，所以
22
0L
xdy ydx
x y
-=+⎰
； 2）因为()0,0在闭曲线内，所以可在闭曲线内作圆周222:r C x y r +=（取反时针方向）
2222202r
L
C xdy ydx xdy ydx
d x y x y πθπ--===++⎰
⎰⎰。

7、证明下列曲线积分在xoy 平面内与路径无关
1）
()()()()
2,14
2
3
1,0
234xy y dx x xy dy -++-⎰
解：因为()()42
33
23424xy y x
xy x y y
x
∂-+∂-=-≡
∂∂，所以以上曲线积分在xoy 平面
内与路径无关。

()()(
)
()
()2,12
1
42331,01
2343485xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-=⎰⎰⎰
2）
()()()()
,20,0
cos sin y
y
e x m dx e x my dy π-+-⎰
解：因为()()
cos sin cos y y
y
e x m e x my e x y x
∂-∂-=≡
∂∂，所以以上曲线积分在xoy 平 面内与路径无关。

()()(
)
()
()()
,22
0,00
cos sin cos 2y y e x m dx e x my dy x m dx mydy m ππ
π-+-=-+-=-+⎰⎰⎰8、计算
()()2y
y L
e
x dx xe y dy ++-⎰，其中是过三点()()()0,0,0,1,1,2A B C 的圆周。

解：设L 围成的区域为D ，利用格林公式得
()()()20y
y y y L
D
e
x dx xe y dy e e d σ++-=±-=⎰⎰⎰
9、设()f x 在(),-∞+∞上具有连续的导数，计算
()()22
211L
y f xy x dx y f xy dy y y +⎡⎤+-⎣⎦⎰ 其中L 为从点23,
3⎛
⎫
⎪⎝⎭
到点()1,2的直线段。

解：因为()()()()2222111y f xy x y f xy y y f xy xyf xy y y x
⎛⎫+∂⎡⎤ ⎪∂-⎣⎦⎝⎭'=-++≡
∂∂，所以此曲线积分与路劲无关。

取路径沿曲线2xy =从点23,
3⎛
⎫
⎪⎝⎭
到点()1,2 原式()()1
21
332
2122424x x f f dx x x x ⎡⎤⎛⎫=+-+=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎰。

10、验证()(),,P x y dx Q x y dy +在整个xoy 平面内是某个函数的全微分，并求出一个原函数。

1）()()1x y x y
x y e e dx e x e dy ⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣⎦⎣⎦
解：因为
()()1x y
x y
x y x y e e e x e e e y
x
⎡⎤⎡⎤∂+-∂-+⎣⎦
⎣⎦
=-≡
∂∂，所以上式在xoy 平面内是某个
函数的全微分。

()()()()00,111x
y
x x y x x x y
u x y xe dx e x e dy xe e e y x e ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦⎰⎰ 2）()()
223238812y
x y xy dx x x y ye dy ++++
解：因为
()
()
2232238812316y x y xy x x y ye x xy y
x
∂+∂++=+≡
∂∂，所以上式在xoy 平面内
是某个函数的全微分。

()()323220
,81241212y
y
y y y
u x y x x y ye dy x y x y ye e ⎡⎤=++=++-⎣⎦⎰
3224121212y y
x y x y ye e =++-+
3）()()
22
2cos cos 2sin sin x y y x dx y x x y dy ++-
解：因为
()
()
222cos cos 2sin sin 2cos 2sin x y y x y x x y y x x y y
x
∂+∂-=-≡
∂∂，所以上式
在xoy 平面内是某个函数的全微分。

()()2222
,22sin sin sin cos x
y
y
u x y xdx y x x y dy x y x x y ⎡⎤=+-=++⎣⎦⎰⎰
22
sin cos y x x y =+
11、设有一变力在坐标轴上的投影为2
,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场，证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。

证明：因为
()()
228
2
x y xy
y
y x
∂+∂-
=≡
∂∂
，所以场力所做的功与路径无关。