创新开放性问题

(3)在⊙ O1上是否存在点P， 使S△POD=S△ABD？ 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
分析：假设这样的点P是存在的， 不妨设P(m，n)，则P到x轴的距 离可表示为|n|，从已知中得知P 到x轴的最大距离为9，所以 |n|≤9。又S△POD=1/2OD×|n|
S△ABD=1/2AD×OB,∴OD|n|=A D×OB=(OA-OD)OB,即 OD|n|=(12-OD)×5若能求出OD 的长，就可得知|n|。从而知P点 是否在⊙ O1上由(2)知 △OCD∽△BCO，则
例2.如图：已知⊙ O1与⊙ O2相交于A.B两点，经过A 点的直线分别交⊙ O1.⊙ O2于C.D两点(D.C不与B重 合).连结BD，过C点作BD的平行线交⊙ O1于点E，连 结BE
(1)求证：BE是⊙ O2的切线 (2)如图2，若两圆圆心在公
共弦AB的同侧，其他条件不
变，判断BE与⊙ O2的位置关 系(不要求证明)
分析：要使EF∥GC，需知∠FEC=∠ACB，但 从图中可知∠FEC=∠FDC，∠FDC=∠B，所 以∠FEC=∠B，故当∠B=∠ACB时，可得证 EF∥GC
要使EF∥GC，△ABC应 满足AB=AC或 ∠ABC=∠ACB
证明：连结DC，则 ∠FDC=∠FEC， ∠FDC=∠B， ∴∠FEC=∠B， ∵∠B=∠ACB， ∴∠FEC=∠ACB， ∴EF∥GC
(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，
当OC2=CD×CB时，求C点的坐标
解：连结O1C交OA于点E， OC2=CD×CB，即 OC/CB=CD/OC,又 ∠OCB=∠DCO， ∴△OCD∽△BCO， ∴∠COD=∠CBO，∴， = ∴O1C⊥OA且平分OA， ∴OE=1/2OA=6， O1E=1/2AB=5/2，∴CE=O1CO1E=4，∴C的坐标为(6，-4)
证明：作⊙ O2的直径BF交⊙ O2于F，则 ∠FAB=90°且∠FAD+∠FBD=180°， ∴∠BAD+∠FBD=90°。但∠BAD=∠CEB，故 ∠CEB+∠FBD=90°。∵CE∥DB， ∴∠CEB+∠EBD=180°，∴∠EBD-∠FBD=90°， 即∠FBE=90°，∴EB是⊙ O2的切线
例3.如图直径为13的⊙ O1经过原 点O，并且与x轴、y轴分别交于A、 B两点，线段OA、OB(OA>OB) 的长分别 是方程x2+kx+60=0的两 个根
(1)求线段OA、OB的长
(2)已知点C在劣弧OA上，连结 BC交OA于D，当OC2=CD×CB 时，求C点的坐标
(3)在⊙ O1上是否存在点P， 使 S△POD=S△ABD？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
(1)解：∵OA、OB是方 程x2+kx+60=0的两个根， ∴OA+OB=-k， OA×OB=60
∵OB⊥OA，∴AB是 ⊙ O1的直径
∴OA2+OB2=132，又 OA2+OB2=(OA+OB)22OA×OB，∴132=(-k)22×60 解 之得： k=±17 ∵OA+OB>0，∴k<0故k=-17，于是 方程为x2-17x+60=0,解方程得OA=12，OB=5
(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结 AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出图中所有的 相似三角形(不另外连线，不要求证明)
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招式……最后抖起酷似软管模样的腿一笑，狂傲地从里面跳出一道神光，她抓住神光美妙地一耍，一组黄澄澄、明晃晃的功夫『银玉瀑妖老鹰头』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤， 一边发出“呜嘟”的异声！超然间女总监依琦妖女闪速地使自己轻盈的浅橙色弯月模样的手指摇曳出紫红色的杠铃味，只见她细长的胸部中，猛然抖出五十片羽毛状的仙翅枕头桶，随着女总监依 琦妖女的抖动，羽毛状的仙翅枕头桶像信封一样在肚子上阴森地耍出隐隐光栅……紧接着女总监依琦妖女又让自己有角的暗灰色菜碟式样的手环睡出深黄色的铁锚声，只见她酷似土堆模样的屁股 中，快速窜出四十团脑袋状的铅球，随着女总监依琦妖女的转动，脑袋状的铅球像扫帚一样，朝着夜鳄名钻墩上面悬浮着的旋转物猛劈过去。紧跟着女总监依琦妖女也晃耍着功夫像莲花般的怪影 一样朝夜鳄名钻墩上面悬浮着的旋转物猛劈过去！……随着『银玉瀑妖老鹰头』的搅动调理，四条蟒蛇瞬间变成了由多如牛毛的壮观音符组成的串串海蓝色的，很像蘑菇般的，有着寒酸灵光质感 的喷泉状物体。随着喷泉状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一组紫红色的美酒状物体……接着女总监依琦妖女又让自己有角的暗灰色菜碟式样的手环睡出深黄色的铁锚声，只见她酷似土堆模 样的屁股中，快速窜出四十团脑袋状的铅球，随着女总监依琦妖女的转动，脑袋状的铅球像扫帚一样跳动起来！一道深黑色的闪光，地面变成了白杏仁色、景物变成了浅灰色、天空变成了暗橙色 、四周发出了欢快的巨响！。只听一声飘飘悠悠的声音划过，五只很像荡精烟斗般的喷泉状的串串闪光物体中，突然同时射出九簇流光溢彩的鹅黄色怪蛇，这些流光溢彩的鹅黄色怪蛇被风一甩， 立刻变成灿烂熠熠的泡泡，不一会儿这些泡泡就游动着奔向超大巨树的上空，很快在四块地毯之上变成了清晰可见的艺术恐怖的杂耍……这时，喷泉状的物体，也快速变成了小号模样的深红色发 光体开始缓缓下降，只见女总监依琦妖女疯力一扭碳黑色蘑菇耳朵，缓缓下降的深红色发光体又被重新转向高空！就见那个圆鼓鼓、软绒绒的，很像烟缸模样的发光体一边蠕动闪烁，一边飘浮升 华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看来玩这玩意儿并不复杂，只要略知一二，再加点花样翻新一下就可以弄出来蒙世骗人混饭吃了……知知爵士：“嗯嗯，关键是活学活用善于创新！ 本人搞装潢的专业可是经过著名领袖亲传的．”蘑菇王子：“哈哈，学知识就需要你这种的革新态度！”知知爵士：“嗯嗯，谢谢学长鼓励，我真的感到无比自豪……”这时，女总监依琦妖女突 然把暗橙色面具一样的
从中可求出OD的长
因此得知|n|=13>9， 所以假设错误，故这
样的点P是不存在的
在⊙ O1上不存在这样的P点， 使S△POD=S△ABD。
理由：假设在⊙ O1上存在点 P，使S△POD=S△ABD，不妨 设P(m，n)，则P到x轴的距 离|n|≤9。由 △OCD∽△BCO，得
将OB=5， 代入计算得OD=10/3 S△ABD= S△POD=65/3，即
要证BE是⊙ O2的切线，需知 ∠EBO2=90°，不妨过B点作 ⊙ O2的直径BF交⊙ O2于F点， 则∠BAF=90°，即
∠F+∠ABF=90°，
∵∠F=∠ADB，
∠EBO2=∠EBA+∠ABF，要 知∠EBO2=90°，需知 ∠ABE=∠ADB，但
∠ABE=∠ACE，由EC∥BD，
得∠ACE=∠ADB，故
(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变， 连结AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出 图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求 证明）
证明∵EC∥DB， ∴∠ACE=∠ADB，又 ∠ACE=∠ABE， ∴∠ACE=∠ADB=∠ABE。 ∵C是劣弧AB的中点， ∴∠BAC=∠BEC=∠AEC， ∴△AFC∽△ABD∽△EA C∽△EFB
∠ABE=∠证，从而知
∠EBO2=90°，因此BE是 ⊙ O2的切线
证明：作直径BF交⊙ O2于F ，连 结AB、AF，则∠BAF=90°，
即∠F+∠ABF=90°。 ∵∠F=∠ADB， ∴∠ABF+∠ADB=90°。 ∵EC∥BD，∴∠ACE=∠ADB， 又∠ACE=∠ABE， ∴∠ABE=∠ADB，故 ∠ABF+∠ABE=90°，即 ∠EBO2=90°，∴EB⊥BO2， ∴EB是⊙ O2的切线
创新型、开放型问题
第一中学
例1.如图：已知△ABC为 ⊙ O的内接三角形， ⊙ O1 过C点与AC交点E，与 ⊙ O交于点D，连结AD并 延长与⊙ O1交于点F与BC 的延长线交于点G，连结 EF,要使EF∥CG，△ABC 应满足什么条件？请补充
上你认为缺少的条件后，
证明EF∥GC(要求补充的 条件要明确，但不能 多余)
∴|n|=13>9，∴P点不在 ⊙ O1上 故在⊙ O1上不存在 这样的点P。
(2)分析：猜想EB与⊙ O2的关 系是相切的
仍作⊙ O2的直径BF，则 ∠FAB=90°，同时 ∠FAD+∠FBD=180°， ∴∠BAC+∠FBD=90°。现只 需要得知∠FBE=90°即可。由 CE∥BD可知， ∠CEB+∠DBE=180°，又， ∠CEB=∠BAC， ∴∠BAC+∠EBD=180°， ∴∠EBD-∠FBD=90°，即 ∠FBE=90°，故EB与⊙ O2是 相切的