广西省桂林市2021届新高考数学二模考试卷含解析

广西省桂林市2021届新高考数学二模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15± B ．15- C ．15 D ．75
- 【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件利用诱导公式得3tan 4α=-
，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案. 【详解】
由题意得()tan πα-= 3tan 4α=-
， 又π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以π,πcos 0,sin 02ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55
αα==-， 所以sin cos αα+ 341555
=-=-， 故选B.
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题. 2．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）
A 5
B ．30
C 6
D 25【答案】C
【解析】
以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D
所成角的正弦值．
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v ，
取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r
， 设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6
cos ,|6EF n EF n EF n
⋅==⋅u u u v r u u u v r u u u v r ， ∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为6. 故选C ．
【点睛】
本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．
3．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )
A ．12
B ．35
C ．710
D ．45
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解.
【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，
2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010
-=.
【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 4．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）
A ．14
B ．13
C ．532
D ．316
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
样本空间样本点为5232=个，
具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，
有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，
但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，
事件的样本点数为：444228++--=个．
故不同的样本点数为8个，
81324=. 故选：A
【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
A ．121
B ．221
C ．115
D ．215
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有2721C =，
其和等于16的结果(3,13)，(5,11)共2种等可能的结果， 故概率221
P =
. 故选：B.
【点睛】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
6．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.
【详解】
由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，
而()()330f x f x --+-=，
所以()()33f x f x -=+，
所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.
由于()11f =，()22f =-，()00f =，
所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，
()()()4222f f f =-=-=，
()()()5111f f f =-=-=-，
()()600f f ==.
所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，
又202063364=⨯+，
所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.
7．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ） ①图象C 关于直线512x π=
对称； ②图象C 关于点(,0)3π
-对称；
③由y =2sin2x 的图象向右平移3
π个单位长度可以得到图象C. A ．①
B ．①②
C ．②③
D ．①②③ 【答案】B
【解析】
【分析】 根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.
【详解】
因为()sin()f x x π=-
223， 又553()2sin(2)2sin 2121236
f ππππ=⨯-==，所以①正确. ()2sin(2)2sin()0333
f ππππ--=⨯-=-=，所以②正确. 将2sin 2y x =的图象向右平移
3π个单位长度，得22sin[2()]2sin(2)33
y x x ππ=-=-，所以③错误. 所以①②正确，③错误.
故选:B
【点睛】 本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.
8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.
9．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=I ，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断．
【详解】
如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。

若令AD 1＝m ，AB ＝n ，则m ⊥n ，但m 不垂直于l
若m ⊥l ，由平面ABCD ⊥平面11ADD A 可知，直线m 垂直于平面β，所以m 垂直于平面β内的任意一条直线n
∴m ⊥n 是m ⊥l 的必要不充分条件．
故选：B ．
【点睛】
本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m ⊥n ⇒m ⊥l ？和m ⊥l ⇒m ⊥n ？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．
10．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．21π2
C ．41π4
D ．10π
【答案】C
【解析】
取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC
有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径
【详解】
如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB =
=∠，球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4， 故选：C.
【点睛】
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.
11．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）
A ．直线AD 与BC 异面
B ．过AD 只有唯一平面与B
C 平行
C ．过点
D 只能作唯一平面与BC 垂直
D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.
B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.
C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.
D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 12．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A ．93
B ．123
C ．163
D ．183
【答案】B
【解析】
【分析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163
h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则233
O A x =，
在2R t OAO ∆中，22443
h x +=，化为224163h x =-， 3S xh =Q ，
()
222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，
当且仅当x =
时取等号，此时S =故选：B.
【点睛】 本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b B a C c A =+，若ABC V 外接圆的
ABC V 面积的最大值是______.
【解析】
【分析】
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围(0,)B π∈可求B 的值，利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：2cos cos cos b B a C c A =+Q ，
∴由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，
A B C π++=Q ，
(sin s )in A C B ∴+=，
又(0,)B π∈Q ，sin 0B ∴≠，2cos 1B ∴=，即1cos 2
B =，可得：3B π=， AB
C QV
，
23sin 2b
π
∴=⨯，解得2b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得224a c ac +-=，又
222a c ac +…，
2242a c ac ac ac ac ∴=+--=…（当且仅当a c =时取等号）
，即ac 最大值为4， ABC ∴V
面积的最大值为14sin 2
B ⨯=.
.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三
角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
14．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x =与直线2x x =+围成的平面图形，向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是
_____________
【答案】35
【解析】
【分析】
联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：联立22
y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ， ()222321111922232
S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 932155
2
ABCD S P S ∴===阴影
故答案为：
35
【点睛】 本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题. 15．已知复数z 1a i i
+=-是纯虚数，则实数a ＝_____，|z|＝_____． 【答案】1 1
【解析】
【分析】
根据复数运算法则计算复数z 1122a a i -+=
+，根据复数的概念和模长公式计算得解. 【详解】
复数z ()()()()()()11111111222a i i a a i a i a a i i i i ++-+++-+====+--+，
∵复数z是纯虚数，∴
1
0 2
1
2
a
a
-
⎧
=
⎪⎪
⎨
+
⎪≠
⎪⎩
，解得a＝1，
∴z＝i，∴|z|＝1，
故答案为：1，1．
【点睛】
此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.
16．已知三棱锥P ABC
-中，AB BC
⊥，23
PA PB AB
===，2
BC=，且二面角P AB C
--的大小为135︒，则三棱锥P ABC
-外接球的表面积为__________.
【答案】32π
【解析】
【分析】
设PAB
∆的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB
的垂线，则垂线的交点为球心O，将,,
OT OM MT的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径.
【详解】
设PAB
∆的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB
的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示
因为23
PA PB AB
===2
BC=1
TN=，
2
NM=14
AC=
又二面角P AB C
--的大小为135︒，则135
TNM
∠=o，45
TOM
∠=o，所以
222
5
2cos
2
TM TN MN MN TN TNM
=+-⋅⋅∠=，
设外接球半径为R，则22
7
2
OM R
=-，224
OT R
=-，
在OTM
∆中，由余弦定理，得2222cos
TM TO MO MO TO TOM
=+-⋅⋅∠，
即
2257
422
R R =-+--28R =， 故三棱锥P ABC -外接球的表面积2432S R ππ==. 故答案为：32π. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从,,,,A B C D E 五所高校中任选2所．
（1）求甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率；
（2）若已知甲同学特别喜欢A 高校，他必选A 校，另在,,,B C D E 四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所． （i ）求甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率；
（ii ）记X 为甲、乙、丙三名同学中选D 高校的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）8125 （2）（i ）9100
（ii ）分布列见解析，21
()20E X = 【解析】 【分析】
（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D 高校的概率，利用事件的独立性即得解； （2）（i ）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；
（ii ）0,1,2,3X =，利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解. 【详解】
（1）甲从,,,,A B C D E 五所高校中任选2所，共有,,,,,,AB AC AD AE BC BD
,,,BE CD CE DE 共10种情况，
甲、乙、丙同学都选D 高校，共有, , , AD BD CD DE 四种情况， 甲同学选D 高校的概率为
42
105
=， 因此乙、丙两同学选D 高校的概率为25
, 因为每位同学彼此独立，
所以甲、乙、丙三名同学都选D 高校的概率为3
285125⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
（2）（i ）甲同学必选A 校且选D 高校的概率为14
，乙未选D 高校的概率为63
105=，
丙未选D 高校的概率为
63
105
=，因为每位同学彼此独立， 所以甲同学选D 高校且乙、丙都未选D 高校的概率为1339455100
⨯⨯=． （ii ）0,1,2,3X =，
因此33327(0),(1)455100P X P X ==
⨯⨯===13332392,45545520
⨯⨯+⨯⨯⨯= 1231323226
(2)45545545525
P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
1221
(3)45525
P X ==⨯⨯=．
即X 的分布列为
因此数学期望为
27961
21()012310020252520
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.
18．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 的
极坐标方程为2
sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，
的直线l 的参数方程为24x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（为参数），直线l 与曲线C 交于M 、N 两点。

（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程： （2）若| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值。

【答案】（1）l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；（2）1a =. 【解析】 【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PM PN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可． 【详解】
（1）由直线l
的参数方程22
42
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程
由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22
sin 2cos a ρθρθ=
2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.
（2
）将2242
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
代入抛物线2
2y ax =
得24)3280t a t a -+++=
24))4(328)0a a =+-+>V
124)0t t a +=+>
12328 0t t a =+> 120,0t t ∴>>
由已知| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，
2||||||MN PM PN ∴=⋅
即2
12
12t t t t -=⋅，
()
2
1212124t t t t t t +-=，()2
12125t t t t +=，
24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=
4a =-（舍去）或1a =.
【点睛】
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键． 19．求下列函数的导数： （1）()0.051
x f x e
-+=
（2）()()2
sin 21f x x =+
【答案】（1）()0.051
0.05x f x e -+'=-；（2）()2sin 44cos2f x x x '=+.
【解析】 【分析】
（1）根据复合函数的求导法则可得结果. （2）同样根据复合函数的求导法则可得结果. 【详解】
（1）令()0.051u x x =-+，()u
u e ϕ=，则()()f x u x ϕ=⎡⎤⎣⎦，
而()0.05u x '=-，()u
u e ϕ'=，故()()0.051
0.0510.050.05x x f x e
e -+-+'=⨯-=-.
（2）令()sin 21u x x =+，()2
u u ϕ=，则()()f x u x ϕ=⎡⎤⎣⎦，
而()2cos2u x x '=，()2u u ϕ'=，故()()2cos224cos2sin 21f x x u x x '=⨯=+， 化简得到()2sin 44cos2f x x x '=+. 【点睛】
本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的导数，本题属于容易题. 20．已知()2
21f x x x =+-.
（1）解关于x 的不等式：()2x
f x x
>
； （2）若()f x 的最小值为M ，且(),,a b c M a b c R +
++=∈，求证：222222
2a b a c c b c b a
+++++≥.
【答案】（1）())
,01,-∞⋃+∞；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；
（2）由（1）中所得函数，求得最小值M ，再利用均值不等式即可证明. 【详解】
（1）当0x <时，()2x f x x
>
等价于2
212x x +->-，该不等式恒成立， 当01x <≤时，()2x
f x x
>
等价于220x x ->，该不等式解集为φ，
当1x >时，()2x
f x x
>
等价于2222x x +->，解得1x >，
综上，0x <
或1x >，
所以不等式()2x
f x x
>
的解集为(
))
,01,-∞⋃+∞.
（2）()22
222,1
2122,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+-=⎨-+<⎩
，
易得()f x 的最小值为1，即1a b c M ++== 因为a ，b ，c +∈R ，
所以222a c ac b b +≥，22
2b a
ab c c
+≥，222c b bc a a +≥
， 所以
222222a c b a c b ac ab ab bc ac bc b c a b
c c a b a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++≥+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222a b c ≥++=，
当且仅当1
3
a b c ===时等号成立. 【点睛】
本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题. 21．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l
：22
42
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若
MN PN
PM MN
=，求实数a 的值. 【答案】（1）()2
20y ax a =>，20x y --=；（2）1a =. 【解析】 【分析】
（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2
sin 2cos a ρθθ=
求解，由24x y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）消去t 即可.
（2
）将224x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与22y ax =
联立得)()2
4840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t
，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据
MN PN
PM MN
=，即2
MN PM PN =，利用韦达定理求解.
【详解】
（1）把cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入2
sin 2cos a ρθθ=，
得()2
20y ax a =>，
由22
42
x t y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，
∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()2
20y ax a =>，20x y --=.
（2
）将242
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）代入2
2y ax =
得)()24840t a t a -+++=， 设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t
，则)124t t a +=+，()1284t t a =+， 由
MN PN PM MN
=得2
MN PM PN =， 所以()2
1212t t t t -=，即()2
12125t t t t +=， 所以()()2
84584a a +=⨯+，而0a >， 解得1a =. 【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，
离心率2
e =，右准线为l ，,M N 是l 上
的两个动点，1
20FM F N ⋅=u u u u r u u u u r
．
（Ⅰ）若1225F M F N ==u u u u r u u u u r
，求,a b 的值；
（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，1
2FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u
r 共线．
【答案】（Ⅰ）2,2a b ==（Ⅱ）证明见解析． 【解析】
由222a b c -=与2
2
a e c =
=
，得222a b =， 122
200F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，l 的方程为2x a =． 设))
1222M
a y N
a y ，，，，
则1122322F M y F N y ⎫⎫
==⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，，，，
由1
20FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得 2123
02y y a =-＜． ①
（Ⅰ）由1225F M F N ==u u u u r u u u u r
2
2
132252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， ② 2
2
22252a y ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =， 故2,22
a b ==
= （Ⅱ）()2
2
22212121212121222246MN
y y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=，
当且仅当1262y y a =-=
或2162y y =-=时，MN 6，
此时，()()
1212121232222,
22,0222F M F N a y a y a y y a F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u u r u u u u r u u u u r ，，，
故1
2FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 23．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 的纵坐标是
10
10
．
（1）求3cos 4απ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为55
-,求αβ+的值．
【答案】（1）5
2）34αβπ+= 【解析】 【分析】
（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=
,进而求出310
cos 10
α=． 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛
⎫-
⎪⎝⎭
. （2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5
5
-
,得出5cos 5β=-,进而得出
25
sin β=
利用正弦的和差公式即可求出()2sin 2αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ
+的值.
【详解】
解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标是
10
10
,
所以由任意角的三角函数的定义可知,10
sin α=
．
从而cos 10
α==
． （1）于是333cos cos cos sin sin 444
αααπππ
⎛⎫-
=+ ⎪⎝⎭
1021025⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5
-
,
所以cos 5
β=-
,从而sin 5β==．
于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
2
⎛=
+ ⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22
ππ
αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
从而34
αβπ+=． 【点睛】
本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.。