高中数学第三章三角恒等变换3.2两角和与差的正切函数优化训练北师大版必修

学 习 资 料 专 题
3.2 两角和与差的正切函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若
A A tan 1tan 1+-=4+5，则tan （4
π
-A ）的值为（ ）
A.54--
B.54+
C.5
41+-
D.
5
41
+
解析：tan （4
π
-A ）=
54tan 1tan 1tan 4
tan
1tan 4
tan
+=+-=
∙+-A
A
A
A
π
π
.
答案：B
2.计算tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=_____________. 解析:tan60°=tan（20°+40°）=
340tan 20tan 140tan 20tan =︒
︒-︒
+︒，
则tan20°+tan40°=3（1-tan20°tan40°）=33-tan20°tan40°， 因此tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3. 答案:3 3.当α=40°时,
)
tan()2tan(1)
tan()2tan(βαβαβαβα-∙---++=________________.
解析:原式=tan ［(2α+β)+(α-β)］=tan3α=tan120°=-tan60°=3-. 答案:3-
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如果tan （α+β）=52，tan （β-4π）=41，那么tan （α+4π
）等于（ ） A.1813 B.2213 C.223 D.18
3
解析：tan （α+4
π）=tan ［（α+β）-（β4π-）］=2234
152152
=∙+.
答案：C
2.已知34tan 1tan 1+=+-αα，则cot （4
π
+α）的值等于（ ）
A.34+
B.34-
C.34--
D.34+-
解析:由)4
tan(tan 4
tan
1tan 4
tan
tan 1tan 1απ
α
π
α
π
α
α-=+-=
+-,
可知，tan （
4
π
-α）=34+. 而4π-α与4
π
+α互为余角， 则有cot （4π+α）=tan （4
π
-α）=34+.
答案：A 3.
︒
+︒︒
-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_________________.
解析：原式=
︒
︒+︒
-︒-
=+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan 115tan 115tan =-tan （45°-15°）=33-. 答案:3
3
-
4.求证：（1+tan22°）（1+tan23°）=2. 证明：∵22°+23°=45°，∴tan（22°+23°）=
︒
︒-︒
+︒23tan 22tan 123tan 22tan .
∴1-tan22°tan23°=tan22°+tan23°. 左边=（1+tan22°）（1+tan23°）=1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°=2=右边. 5.已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4
π
). 解:tan2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ =
7
4
35135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβα.
tan2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =
8
1
35135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=+++--+βαβαβαβα.
tan(2α+4π)=
1137
4174
12tan 12tan 1=+-
=-+αα. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若0＜α＜
2π,0＜β＜2π,且tan α=71,tan β=4
3
,则α+β等于（ ） A.6π B.4π C.3
π
D.43π
解析:∵tan α=71,tan β=4
3
,∴tan(α+β)=
4
37114371tan tan 1tan tan ⨯-+
=-+βαβα=1. 又∵0<α<2π,0<β<2
π
,∴0<α+β<π.
而在(0,π)内只有tan 4
π
=1.
∴α+β=4
π
.
答案:B
2.在△ABC 中，已知tanA 、tanB 是方程3x 2
+8x-1=0的两个根，则tanC 等于（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4
解析:由于tanA 、tanB 是方程3x 2
+8x-1=0的两个根， 根据韦达定理，有tanA+tanB=38-
，tanA·tanB=3
1-. 则tanC=tan ［π-（A+B ）］=-tan （A+B ）=2)
3
1(13
8tan tan 1tan tan =---
-
=-+-
B
A B
A .
答案:A
3.（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=_____________. 解析:原式=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）+…+（1+tan44°）（1+tan45°）
=［（1+tan1°）（1+tan44°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］·（1+tan45°）=2·2·…·2=223
. 4.tan70°+tan50°3-tan50°·tan70°=_______________. 解析:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-3tan70°tan50° =3-(1-tan70°tan50°)3-tan70°tan50°=3-. 答案:3-
5.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为21、51、8
1
，求证：α+β+γ=45°. 证明：由于tan α=
2
1
，tan β=51，
可知tan （α+β）=
975
121151
21tan tan 1tan tan =∙-+
=-+βαβα.
由题意可知tan γ=
8
1
，则 tan （α+β+γ）=tan ［（α+β）+γ］=
819718197tan )tan(1tan )tan(∙-+
=+-++γβαγβα=1. 根据α、β、γ都是锐角，且0＜tan α=2
1
＜1，0＜tan β=51＜1，0＜tan γ=81＜1，
可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°,
得0＜α+β+γ＜135°. 所以，α+β+γ=45°.
6.求证：tan （A-B ）+tan （B-C ）+tan （C-A ）=tan （A-B ）·tan（B-C ）·tan（C-A ）. 证明：（A-B ）+（B-C ）=A-C. 由两角和的正切公式变形为 tan ［（A-B ）+（B-C ）］=
)
tan()tan(1)
tan()tan(C B B A C B B A -∙---+-.
∴tan（A-B ）+tan （B-C ）=tan （A-C ）·［1-tan （A-B ）·tan（B-C ）］. 左=tan （A-C ）［1-tan （A-B ）·tan （B-C ）］+tan （C-A ）=tan （A-C ）-tan （A-C ）·tan （A-B ）·tan （B-C ）+tan （C-A ）=tan （C-A ）（A-B ）（B-C ）=右. 7.已知α∈(0,4π),β∈(0,π),且tan(α-β)=21,tan β=7
1
-，求tan(2α-β)的值及角2α-β.
解:tan α=tan ［(α-β)+β］=
31)7
1(21171
21tan )tan(1tan )tan(=-⨯--
=∙--+-ββαββα. tan(2α-β)=tan ［α+(α-β)］
=
2131121
31)
tan(tan 1)tan(tan ⨯-+
=-∙--+βααβαα=1. 又 β∈(0,π),tan β=71-<0,∴β∈(2
π
,π).
∵α∈(0, 4π),∴2α∈(0, 2
π
).
∴2α-β∈(-π,0).∴2α-β=4
3
-π.
8.已知sin α=53 (90°＜α＜180°),cos β=13
12
(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和
tan(α-β)的值. 解:∵sin α=
53,90°<α<180°,∴cos α=4
3-.
∴tan α=54-. ∵cos β=1312
,270°<β<360°,
∴sin β=135-.∴tan β=12
5
-.
∴tan(α+β)=
β
αβ
αtan tan 1tan tan -+
=
335616
5167)125)(43(1125
43-=-
-=----
-
. tan(α-β)=6316)
12
5)(43(112543tan tan 1tan tan -=--++
-=+-βαβα.
9.设一元二次方程mx 2
+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tan α、tan β,求tan(α+β)的取值范围. 解:因为tan α、tan β为方程的两根,则有Δ=(2m-1)2
-4m(m+1)≥0,且m≠0,解得m≤8
1
,m≠0,所以m∈(-∞,0)∪(0,8
1］. 由
韦
达
定
理
得
tan α+tan β=
m
m 12--
,tan α·tan β=
m
m 1+,于
是,tan(α+β)=
β
αβ
αtan tan 1tan tan ∙-+
=
12111
2-=+-
--
m m
m m m . 因为2m-1≤2×81-1=-43
且2m-1≠-1,
所以tan(α+β)的取值范围是(-∞,--1,-
4
3
］.。