2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分 专题复习篇 专题七

专题七 概率与统计
1． 基本事件的定义
一次试验中可能出现的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 基本事件的特点：
(1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型
(1)古典概型
我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概率模型的概率求法
如果一次试验中基本事件共有n 个，那么每一个基本事件发生的概率都是1
n ，如果某个事
件A 包含了其中的m 个基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m
n .
3． 互斥事件与对立事件的关系
(1)对立是互斥，互斥未必对立；
(2)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．
(3)在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A )＝1－P (A )． 4． 随机抽样
抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值． 5． 总体分布的估计
在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确．
1． (2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840
人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
答案 B 解析 由
840
42
＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝240
20
＝12(人)． 2． (2013·重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：
分)
甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 7
4
2
4
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8
D ．8,8
答案 C
解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.
3． (2013·福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为
( )
A ．588
B ．480
C ．450
D ．120
答案 B
解析 少于60分的学生人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)， ∴不少于60分的学生人数为480人．
4． 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．
答案 19
解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．
(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．
因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，
所以所求概率为P ＝545＝1
9.
5． 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球
中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率是________．
答案 25
解析 设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．
∴其概率为615＝2
5
.
6． (2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 2 解析 x 甲＝
1
5
(87＋91＋90＋89＋93)＝90， x
乙＝
1
5
(89＋90＋91＋88＋92)＝90， s 2甲＝15
[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2
]＝4， s 2乙＝15
[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2
]＝2.
题型一 古典概型
例1 (1)(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，
则m ，n 都取到奇数的概率为________．
(2)设集合P ＝{a 1，a 2，a 3，…，a 10}，则从集合P 的全部子集中任取一个，取出含有3
个元素的子集的概率是 ( )
A.3
10 B.112 C.45
64
D.15128
审题破题 (1)利用古典概型概率的计算公式求解；(2)利用集合知识求出P 的全部子集个数和含3个元素的子集个数．
答案 (1)20
63
(2)D
解析 (1)P ＝4×57×9＝20
63
.
(2)集合P 的全部子集个数为210＝1 024，含三个元素的子集个数为10×9×8
6
.
∴P ＝10×9×86×210
＝15128.
反思归纳 古典概型是最基本的概率问题，可以直接利用公式P (A )＝m
n 求出事件的概率，
解题关键是求基本事件总数和事件A 所包含的基本事件个数．
变式训练1 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共 9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所
以选出的2名教师性别相同的概率为4
9.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：
(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝2
5.
题型二 互斥事件、对立事件的概率
例2 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生
和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，
将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
审题破题“不全是男生”包括“二个女生”，“一男一女”两种情况，将所求事件分解为两个互斥事件的和．
解(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如图所示)．
由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的
概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝12
20＋2
20
＝7
10
＝0.7，即连续抽取2张卡片，
取出的2人不全是男生的概率为0.7.
(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，
第二次抽取
第一次抽取1234 5
1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)
2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)
3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)
4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)
5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，
因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝5
25＝1
5
＝0.2.
反思归纳运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事
件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解． 变式训练2 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白
球，1个绿球．从中随机取出1球，求 (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．
解 方法一 (1)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，而任取1球共有12种取法．
∴任取1球是红球或黑球的概率为P 1＝912＝3
4
.
(2)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法， ∴任取1球是红球或黑球或白球的概率 P 2＝5＋4＋212＝1112
.
方法二 记事件A ＝{任取1球为红球}， B ＝{任取1球为黑球}，C ＝{任取1球为白球}， D ＝{任取1球为绿球}， 则P (A )＝5
12，
P (B )＝13，P (C )＝16，
P (D )＝1
12
.
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P 1＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝3
4.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P 2＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝11
12.
(或P 2＝1－P (D )＝1－112＝11
12)．
题型三 用样本估计总体
例3 (2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩
分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
审题破题 (1)根据样本频率之和为1，求出参数a 的值；(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式，求出样本平均值；(3)由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在[50,90)之间的人数，进而求解．
解 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，
0．04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×4
3
＝
40,20×5
4＝25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．
反思归纳 频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小．
变式训练3 (1)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统
计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则
( )
A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙
B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙
C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙
D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙
答案 B
解析由茎叶图可知甲数据集中在10至20之间，乙数据集中在20至40之间，明显x甲＜x乙，甲的中位数为20，乙的中位数为29，即m甲＜m乙．
(2)某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分
成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．
答案75%71
解析及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；
样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.
典例(14分)(2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随
一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上
顾客数(人)x 3025y 10
结算时间(分
1 1.5
2 2.5 3
钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过
．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 规范解答
解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.[2分]
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10
100
＝1.9(分钟)．[7分]
(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得
P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝3
10，
P (A 3)＝25100＝1
4.[10分]
因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)
＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝320＋310＋14＝7
10
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7
10
.[14分]
评分细则 (1)x ，y 计算正确得2分；若只有x ，y 的值而无计算过程得1分；(2)将事件A 正确拆分得1分；P (A 1)、P (A 2)、P (A 3)少一个扣1分；(3)没有指明A 1、A 2、A 3互斥扣1分．
阅卷老师提醒 (1)对复杂事件概率的计算要对事件进行拆分，转化为几个互斥事件的和；(2)事件拆分要不重不漏，否则易造成失分；(3)求概率时步骤要完备，每个小事件的概率要计算出来．
1． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可
能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
( )
A.13
B.12
C.23
D.34 答案 A
解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加
同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝1
3
.
2． 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >3
2
的概率
是
( )
A.1
18
B.536
C.16
D.13
答案 C 解析 e ＝ 1－b 2a 2>32⇒b a <1
2⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况：
当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．
所以概率为66×6＝1
6
.
3． 盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3、2、1，从中任取两球，则互斥而
不对立的两个事件为
( )
A ．至少有一个白球；都是白球
B ．至少有一个白球；至少有一个红球
C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D ．至少有一个白球；红、黑球各一个 答案 D
解析 红、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球；红、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含其他事件，所以不对立．
4． (2012·山东)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样
本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是
( )
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
答案 D
解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．
5． 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取
出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
答案 35
解析 红色球分别用A 1，A 2，A 3表示，黄色球分别用B 1，B 2表示．从中随机取出2个球：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(A 1，A 2)，
(A 2，A 3)，(A 1，A 3)共10种取法.2个球颜色不同共6种，故所求概率为610＝3
5.
6． (2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把
每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 答案 10
解析 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5
5
＝7，
(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20， 五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20， 由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4.
由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6.
由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.
专题限时规范训练
一、选择题
1． 某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在
一次射击中不超过8环的概率为
( )
A ．0.5
B ．0.3
C ．0.6
D ．0.9
答案 A
解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 2． 从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9
的概率是
( )
A.1
3 B.16125 C.18
125
D.19125
答案 D
解析 个位数字依次为1,2,3,4,5时，前两位数字之和依次为8,7,6,5,4，且依次有3,4,5,4,3种结果，故组成的三位数各位数字之和等于9的概率P (A )＝3＋4＋5＋4＋3125＝19125.
3． 一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数
字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为
( )
A.9100
B.350
C.3100
D.29 答案 A
解析 任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，
(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为9
100.
4． (2013·湖南)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方
面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
( )
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法 答案 D
解析 总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样．
5． 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，
摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率为
( )
A ．0.45
B ．0.67
C ．0.64
D ．0.32
答案 D
解析 摸出红球的概率为45
100＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出
黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.
6． 任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率
为
( )
A.25
36 B.16 C.1
4
D.112
答案 D
解析 P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，∴P ＝36×6＝1
12
.
7． 如图是2013年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m
为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则一定有
( )
甲 乙 0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7
m
9
3
A.a 1>a 2
B ．a 2>a 1
C ．a 1＝a 2
D ．a 1，a 2大小与m 的值有关
答案 B
解析 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.
8． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是 ( )
A.29
B.13
C.8
9
D ．1 答案 C
解析 有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有
①(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，此时B ＝∅； ②(2,1)，此时B ＝{1}； ③(3,2)，此时B ＝{1,2}． 所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝8
9.
二、填空题
9． 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所
得的数字分别为x ，y ，则x
y
为整数的概率是________．
答案 12
解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，
共包含16个基本事件，其中x
y
为整数的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，
(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝1
2.
10．(2013·山东改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数
的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
则7个剩余分数的方差为________．
答案 367
解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋91
7
＝91，
解得x ＝4.
所以s 2＝1
7[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－
91)2] ＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367
. 11．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，
其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．
答案 9
解析 最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.
12．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零
件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．
答案 24 23
解析 x 甲＝1
10×(19＋18＋20＋21＋23＋22＋20＋31＋31＋35)＝24.
x 乙＝1
10×(19＋17＋11＋21＋24＋22＋24＋30＋32＋30)＝23.
三、解答题
13．(2013·安徽)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考的数学成绩情况，用简单随机抽样，
从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2
的值．
解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由已知条件
30
n
＝0.05，则n ＝600. 在甲校高三年级抽取的30名学生中成绩在60分及60分以上的人数为25，因此甲校高
三年级这次联考的及格率大约是2530＝5
6
＝83.3%.
(2)x 1＝[(7＋13＋24＋26＋22＋2)＋40＋50×4＋60×9＋70×9＋80×5＋90×2]÷30＝1 042
15
；
x 2＝[(5＋14＋17＋33＋20)＋40＋50×3＋60×10＋70×10＋80×5＋90]÷30＝2 069
30
.
x 1－x 2＝2 08430－2 06930＝1
2.
14．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取
6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率． 解 (1)由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×21
21＋14＋7
＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×14
21＋14＋7
＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×7
21＋14＋7＝1.
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，
所以P (B )＝315＝1
5.。